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等比数列


如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?

拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
我国古代一些学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不 竭。”即一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完,这 样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把

“一尺之棰” 看成单位“1”,那么得到的数列是

1 1 1 1 1 1, , , , ,......, n ?1 ,... 2 4 8 16 2
某种汽车购买时的价格是10万元,每年的折旧率是15%,这 辆车各年开始时的价值(单位:万元)分别是:

10,10×0.85,10×0.852 ,10×0.853,…
上面数列有什么共同特点 ? 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。

1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一

项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。

其数学表达式:

an?1 * ? q n? N an

?

?

对等比数列的认识:

an?1 * ? q n? N an

?

?

(1)an ? 0 即等比数列的每一项都不为0;

(2)q ? 0 即等比数列的公比不为0;
(3)q ? 1 为非零常值数列;

练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
(1)4,-8,16,-32,64 (2)-3,-3,-3,-3, …… ,-3 (3)2, 0, 0, 0,0

是 是 不是 不确定

(4)1, x, x2, x3, …… xn-1

2.等比数列的通项公式
问题:如何用 a1 和 q 表示第 n 项 an. ①归纳猜想法 a2 ? a1q, a3 ? a2 q ? a1q2 , a4 ? a3q ? a1q3 ,?, an ? a1qn?1 ②叠乘法

a3 a2 a4 an an ?1 ? q, ? q, ? q, ?q ? q, ? an ? 2 a2 an ?1 a1 a3 an n ?1 ? q 这 n ? 1个式子相乘得 a ,所以 a ? a q n?1 . n 1 1

思考1:等比数列的通项公式与函数有怎样的关系?
例如:数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是:

an ? 2n -1 ______
上式还可以写成

an 8 7

·

1 n an ? ? 2 2

6
5 4

可见,这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上,如右图所示。

y ? ?2

x

3
2 1
0

· ·
1

·
2 3 4 n

结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

思考2:
若a,G,b三个数成等比数列,那么这 三个数 有何恒等关系?

结论:G2=ab
G叫做a,b的等比中项

例1.在等比数列 ?an ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.
变式:求出下列等比数列中的未知项: ( 1) 2,a, 8; a ? ?4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 .

a9 ? 9

例2:一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求 它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是 a1 ,公比是 q ,那么 ① a1q2 ? 12 作差(等差) ② a q 3 ? 18
1

把②的两边分别除以①的两边,得

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8 . 3

16 把③代入① ,得 a1 ? 3 16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 因此 3 2

3 q? 2

作商(等比)

例3:已知{an }的通项公式an ? 3 , 求证: {an }是
n

等比数列.
变式 : 数列{an }是等比数列.

an ? q(q是一个与n无关的非零常数) an ?1

定义法,只要看
n

已知数列{an }的前n项和为Sn ? 3 ? 1, 求证:

分析:当n ? 1时,a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2; n n ?1 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? 1 ? (3 ? 1)
1

an 2 ? 3n?1 ? ? ? 3为常数(n ? 2). n?2 an?1 2 ? 3

当n ? 1时,也满足an ? 2 ? 3 ?an ? 2 ? 3 .

? 3 ?3
n

n ?1

? 3? 3

n ?1

n?1

?3

n ?1

? 2?3 ,
n?1

n ?1

当堂达标:
1.下面有四个结论: (1)由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比 数列; (2)常数列b,b,…b一定为等比数列; (3)等比数列{ an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;

(4)等比数列中,各项与公比都不能为零。
其中正确结论的个数是( A. 0 A. 3n B. 1

C

) C. 2 D.3

2. 等比数列{ an}中,a1 ? 4 ,公比q=3,则通项公式( D )
B. 4 n C.3? 4n ?1 D. 4? 3n ?1 3. 在等比数列{ an }中,a2 ? 6, a5 ? 48,则 a8

?

384

.

4. 2 ? 3与2+ 3的等比中项为:

?1

小结:

an an?1 ? q(n ? 2)或 ? q. 1.等比数列的定义: an?1 an

2.等比数列的通项公式:

an=a1qn-1
推导方法: (1)归纳法;(2)累乘法.
公式的 认识: (1)函数的观点;(2)方程的思想. 3.等比中项:

4.变形公式:

G ? ab an=amqn-m
2

应用拓展
图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以 中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图 (2),如此继续下去,得图(3)……试求第n个图形的边 数,边长和周长.

思 考 按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线.可以发现, 当n增大时,这个图形的边长越来越小,但周长却越来越大,你 还能发现这个图形其他有趣的性质吗?

解:设第n个图形的边长为an.由题意知,从第二个图形起, 每一个图形的边长均为上一个图形边长的1/3,所以数列{an} 是首项为1,公比为1/3的等比数列.故

要计算第n个图形的周长,只需计算第n个图形的边 数.第1个图形的边数为3,因为从第2个图形起,每一个 图形的边数均为上一个图形边数的4倍,所以,第n个图形 的边数为3×4n-1.因此, 第n个图形的周长= .


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