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2015年上海市崇明县高三一模数学试卷(WORD版)


2015 年上海市崇明县高三一模数学试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一. 填空题(每题 4 分,共 56 分) 1. 设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x 的值等于 2. 函数 f ( x) ? ; 2015.1

3x 2 ? lg(3 x ?1) 的定义域是 1? x



3. 已知线性方程组的增广矩阵为 ?

?1 0 3 ? ? ,则其对应的方程组解为 2 1 0 ? ?



2 5 4. 在二项式 ( x ? ) 的展开式中, x 的一次项系数为

2 x

; (用数字作答) ;

2 2 2 5. 已知双曲线 k x ? y ? 1 (k ? 0) 的一条渐近线的法向量是 (1, 2) ,那么 k ?

6. 圆锥的底面半径为 3,高为 1,则圆锥的侧面积为 7. 设无穷等比数列 {an } (n ? N* ) 的公比 q ? ? ;



1 i m ( a2 ?a4 ? a6 ? … ? a2 ) n ? ,a1 ? 1 , 则l n ?? 2

8. 为了估计某鱼塘中鱼的尾数,先从鱼塘中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响 存活) ,然后放回鱼塘,经过适当的时间,再从鱼塘中捕出 600 尾鱼,其中有标记的鱼为 40 尾,根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为 9. 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F , 准 线 与 ;

x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

AFK 的面积为 | AK | = 2 |AF ,则△ |



10. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?2 为公比的等比数列,若从这 10 个数中 随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ;

11. 设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 [?1,1] 上,f ( x) ? ? bx ? 2

?ax ? 1, ?1 ? x ? 0 ? , , 0 ? x ? 1 ? ? x ?1

其中 a, b ? R ,若 f ( ) ? f ( ) ,则 a ? 3b ?

1 2

3 2



b? 12. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c , 已知 a ? c sin B ? b cos C ,
则 ?ABC 面积的最大值等于 ;

2,

13. 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已知曲线

C1 : y ? x2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则
实数 a ? ;

? ?? ; 14. 若 X 是一个集合, 且满足: (1)X ?? , ? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,
(2) ? 中任意多个元素的并集属于 ? ; (3) ? 中任意多个元素的交集属于 ? ;则称 ? 是集 合 X 上的一个拓扑,已知集合 X ? {a, b, c} ,对于下面给出的四个集合 ? : ① ? ? ??,{a},{c},{a, b, c}? ; ③ ? ? ??,{a},{a, b},{a, c}? ; ② ? ? ??,{b},{c},{b, c},{a, b, c}?; ④ ? ? ??,{a, c},{b, c},{c},{a, b, c}? ; ;

其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是

二. 选择题(每题 5 分,共 20 分) 15. 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? A. p ? q ;

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系为( a b
C. p ? q ;



B. p ? q ;

D. p ? q ; ; ③ fx () a n t ? x ;

16. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 1及以下三个函数: ① f ( x) ? x3 ; ② fx () x ?c o s x 其中图像能等分圆的面积的函数个数为( A. 3; B. 2; C. 1; ) D. 0;

17. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x ) 的最小正周期是 ? ,切当

? 5? x ? [0, ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为( 2 3
A. ?



1 ; 2

B.

1 ; 2

C. ?

3 ; 2

D.

3 ; 2

18. 如图,正△ ABC 的中心位于点 G (0,1) , A(0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿△ ABC 的边 界按逆时针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ? x ? 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向 的投影为 y ( O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是( )

三. 解答题(本大题共 74 分)

AB ? BC , AD ∥ BC , 19.(本题 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 的底面梯形 ABCD 中,
AB ? 1 , AD ? 3 , ?ADC ? 45? ,又已知 PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 ,求:
(1)异面直线 PB 与 CD 所成角的大小; (2)四棱锥 P ? ABCD 的体积;

2 20.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? 3 cos x ?

1 sin 2 x 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值; 6 4

21.(本题 14 分)某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60,整治后前 四个月的污染度如下表: 月数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 …… ……

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第 一个月开始 工厂的污染模式: f ( x) ? 20 | x ? 4 | ( x ? 1) , g ( x ) ?

20 ( x ? 4) 2 ( x ? 1) , 3

h( x) ? 30 | log 2 x ? 2 | ( x ? 1) ,其中 x 表示月数,函数值分别表示污染度
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60;

22.(本题 16 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的 一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m (k ? R) ,使得 | OA ? 2OB |?

| OA ? 2OB | 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由;

23.(本题 18 分)已知等差数列 {an } 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 m ?

?1, n ? 1 2 an ,数列 {bn } 满足关系式 bn ? ? ,求数列 {bn } 的通项公式; n?2 2 ?bn ?1 ? m, n ? 2

(3)设 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n , (1 ? n)(Sn ? n ? 2) ? (n ? p)2n?1 ? 2 恒 成立,求实数 p 的取值范围;


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