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关于一道高中联赛试题的一般性结论


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2 0 0 0 年第2 期  
C ≤ 
. 

中学数学  

4 9  

t g   t g   t g  

利 用 不 等式 P   4 Rz +4 R r +3  和 著 名  的欧 拉 不 等式

尺≥ 2 r , 得 

证 明  由 等式 ( 2 )知 第 一 个不 等式 与 不 

3 p   ≤ 1 2 R 。 +1 2   +9  


等 式 等 > 1 3 √  等 价 , 由 等 式 ( 8 ) 知 第 二 个 不  
≥ 3√   与  ≤ 
例 5   式成立:  

1 6 R  +8   +, 上 一 ( 4 Rz ~4   一8  )   ( 4 R+ r )  一 4 ( 尺+ r ) ( 尺一 2 r )  



≤ ( 4 R+ r )   ,   等 式 与 不 等 式  ≤   等 价 , 但 是 , 显 然 手   不 等式 ( 9 )得证 .  

等价 , 因此结论成立.  

任意 A  AB C中 , 证 明下 列 不 等 

t g  + t g 粤+ t g   C ≥√  ,   ( 9 )   c t g z  + c t g z 粤+ c t g z   C ≥9 .  ( 1 0 )  
证 明  下 面 的 证 明 过 程 里 将 引 用  G e r r e t s e n不 等式 , 即 对任 意 AAB C,  

由上 面 的 例 2知 , 为 了证明不 等式 ( 1 0 )   只需 证 明 P   一8 Rr 一2 , 上 ≥ 9 , 上 . 为此 , 只需证  明 声   ≥ 8 R r+ 1 1 , 上 .   利用 不 等式 P   ≥ 1 6   一5 , 上 , 得  P   ≥8 R r+ 8 Rr一 5 , 上   ≥8   +1 6  一 5  
一 8   + 1 1  ,  

不等式( 1 0 ) 证 毕.   参考 文 献 

1 6 R r 一5  ≤ P   ≤4 R z +4 R r +3  .  

1   侯阿. 三角形内角的余弦方程及应用. 中学数学 ,  
1 9 9 9 , 3  

关于这个不等式的证明可以参看文献[ 2 ] .  
由 等式 ( 6 )知不 等 式 ( 9 )等价 于 不 等式  4 R + r≥ √3   P,  

2  [ 荷兰3 o . B o t t e m a 等. 几何不等式. 北京: 北京大  
学出版社 , 1 9 9 1  

因 此 只需证 明  3 声   ≤ ( 4 尺+ r )   .  

( 收稿 日 期: 1 9 9 9 — 0 8 — 1 6 )  

关孑一道高【 l 】 联赛试题昀一般牲结论 
7 4 1 6 0 0 甘肃省秦安县一中   张月顺 
题 


给 定 A( 一 2 , 2 ) ,已知 B 是 椭 圆  

时 I AM I —d .  

2  

. Z  

厶 

+  一 1 上 的 动点 , F是 左焦 点. 当f  B【  
1 口 

故 f A Bf +  f B Ff 的最 , J 、 值是 d . 此时 ,  
点 B 即为 经过  且垂 直 于 Z的直 线 与 C的 交 
点.  

+_ 兰 I f B Ff 取最小值 时, 求 B的坐标.  
这是 1 9 9 9 年 全 国 高 中数 学 联赛 第一 试 第  

下 面看 一个 例题 :  

四题 , 该题的实质是确定 l  B   l + 昔l   B F   l 的  
最 小值 . 本 文 给 出此 题 的 推 广 .  

例   给定A ( 昙, 一1 ) , 已 知B 是双曲 线  
c:   9一  一 1 上 的动 点 , F是 它 的右 焦 点 , 求 

命题  已知 B 是 离心率 为 e的 圆锥 曲线 
C上 的动 点 , F是 C的 焦点 , 若 C内部 的定 点 

f A B ! +寺l B F! 的最小值以犀相应的点B的  
坐标 .  

到 焦 点 F 对 应 的 准线 Z 的距 离为  , 则 l AB   l  
+  I BFI 的最 小值 是 d. 此时, 点 B是 经过 点 
A 且 垂 直 于 Z的 直 线  与 C 的 交点.   证 明  如 图 1 ,  

解  易知 点 A 在 双 曲线 C右 支 的 内部 ,  

右 焦点 F对 应的 准线为 z :   一 昔, 离心率 
e一 2 .由命题 知 

过点 B作 B M 上 Z于  M ,由 圆锥 曲 线 的 定 
义, 得 
? .


( I A B   I - t -   1   I   B F   I )   一 号 ~ 号 一 3 .  
此时, 点 B是 经过 A且垂 直 于 Z 的直 线Y一 一 1   与 C右 支 的 交点 . 把 Y 一 一 1代 入 C 的 方 程  图1  

=  ,  

中, 可解得点B的坐标为( 号√ 2 1 , 一1 ) .  


即 I AB   I +  1   I B F   I 的 最 小值 是 3 此 时  I   B M I 一 号 [ B F   I . 于 是 得   I A B   I + ÷   I B F   I — I A B   I +   I B M I ≥ I A M  点 I   B的坐标是( _ 鲁 - √2 1 , 一1 ) .  
0  . 一  

当且 仅 当直线 B M 经过 点 A 时上式 取“ 一” . 此 

( 收稿 日期: 1 9 9 9 — 1 1 — 1 5 )  


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