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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定课时作业


3.2.2

空间线面关系的判定

课时目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法 证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

1.用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系 设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1,e2,两个平面 α 1,α 2 的法向

量分别为 n1, n2,则 平行 垂直 l1 与 l2 l1 与 α 1 α 1与 α 2 2.三垂线定理 文字语言:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条 ________在这个平面内的 ________垂直,那么它也和这条________垂直.

b?平面α
几何语言:

c是b在平面α 内的射影

? ? ?? a⊥b ? ?

3.直线与平面垂直的判定定理 文字语言:如果一条直线和平面内的________________________,那么这条直线垂直于 这个平面.

几何语言:

? ? ?? l⊥α a? α ,b? α ? ?

一、填空题 1.平面 ABCD 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为 2 平面 ABC 的法向量,则 y =______. 2.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则直线 l 与平面 α 的位置关系为__________. → → 3.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果AB=(2, -1, -4), AD=(4,2,0), → → → AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP → ∥BD.其中正确的是________.(写出所有正确的序号) 4. 已知向量 a=(1,1,0), b=(-1,0,2), 且 ka+b 与 2a-b 互相垂直, 则 k=________. 5.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与 平面 β 的位置关系是_______________________________________________. 6.已知 a=(1,1,0),b=(1,1,1),若 b=b1+b2,且 b1∥a,b2⊥a,则 b1,b2 分别为 ________________. → → 7.已知 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) ,若 a = 3 ,且 a⊥AB,a⊥AC,则向
1

量 a 的坐标为________. 8.设平面 α 、β 的法向量分别为 u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则 α 、β 的位 置关系为________. 二、解答题 9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

2

10.

如图所示, 在六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1⊥平面 A1B1C1D1,DD1⊥平面 ABCD,DD1=2. 求证:(1)A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面; (2)平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.

能力提升 11.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,G、E、F 分别是 DD1、BB1、D1B1 的中点. 求证:(1)EF⊥平面 A1DC1;(2)EF∥平面 GAC.

12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、 C1D1 的中点. 证明:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 AMN∥平面 BDFE.

3

1.运用空间向量将几何推理转化为向量运算时,应注意处理和把握以下两大关系:一是 一些几何题能用纯几何法和向量法解决, 体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透; 二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择. 2.利用向量法解立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把 立体几何问题转化为向量问题; (2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系; (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 3.2.2 空间线面关系的判定 知识梳理 1. 平行 垂直

e1∥e2 l1 与 α 1 e1⊥n1 α 1与 α 2 n1∥n2 2.斜线 射影 斜线 a ? α a⊥c 3.两条相交直线垂直 l⊥a l⊥b a∩b=A
l1 与 l2 作业设计 1.1 2.l⊥α 解析 ∵u=-2a,∴a∥u,∴l⊥α . 3.①②③ 4. 7 5

e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2

解析 ∵ka+b=(k-1,k,2), 2a-b=(3,2,-2),(ka+b)⊥(2a-b), 7 ∴3(k-1)+2k-4=0,即 k= . 5 5.垂直 解析 ∵(1,2,0)·(2,-1,0)=0,∴两法向量垂直,从而两平面也垂直. 6.(1,1,0),(0,0,1) 解析 ∵b1∥a,∴设 b1=(λ ,λ ,0),b2=b-b1
4

=(1-λ ,1-λ ,1),由 b2⊥a,即 a·b2=0, ∴1-λ +1-λ =0,得 λ =1, ∴b1=(1,1,0),b2=(0,0,1). 7.(1,1,1)或(-1,-1,-1) 解析
2 2 2

→ → 设 a = (x , y , z) , 由 题 意 AB = ( - 2 , - 1,3) , AC = (1 , - 3,2) , ∴

x +y +z =3, ? ? ?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0.
解得 x=1,y=1,z=1,或 x=-1,y=-1,z=-1, 即 a=(1,1,1)或(-1,-1,-1). 8.平行 → → 9.证明 方法一 ∵B1C=A1D,B1?A1D, ∴B1C∥A1D,又 A1D ? 面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1. → → → → → → → → → 方法二 ∵B1C=B1C1+D1D=B1O+OC1+D1O+OD=OC1+OD. → → → ∴B1C,OC1,OD共面. 又 B1C ? 面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1. 方法三

?1 1 ? 建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),O? , ,1?, ?2 2 ?
C1(0,1,1), B1C=(-1,0,-1),
→ →

? ? OD=?- ,- ,-1?,
1 ? 2 1 2

?

→ ? ? OC1=?- , ,0?. 1 1 ? 2 2

?

设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0), → ? ?n·OD=0 则? → ? ?n·OC1=0 1 1 - x - y -z =0 ? ? 2 2 ,得? 1 1 ? ?-2x +2y =0 ②
0 0 0 0 0

① .

5

令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). → 又B1C·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, → ∴B1C⊥n,∴B1C∥平面 ODC1. 10.证明 以 D 为原点

, 以 DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 如图, 则有 A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), A1(1,0,2),B1(1,1,2), C1(0,1,2),D1(0,0,2). → → (1)∵A1C1=(-1,1,0),AC=(-2,2,0),

D1B1=(1,1,0),DB=(2,2,0),
→ → → → ∴AC=2A1C1,DB=2D1B1. → → → → ∴AC与A1C1平行,DB与D1B1平行, 于是 A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面. → → (2)DD1·AC=(0,0,2)·(-2,2,0)=0, →





DB·AC=(2,2,0)·(-2,2,0)=0,
→ → → → ∴DD1⊥AC,DB⊥AC.



DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线, ∴AC⊥平面 B1BDD1.又平面 A1ACC1 过 AC, ∴平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.
11.证明

→ → → 设正方体的棱长为 2,以DA、DC、DD1为正交基底建立空间直角坐标系 D—xyz,如图,则

A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A1(2,0,2)、C(0,2,2).
6

→ (1)EF=(1,1,2)-(2,2,1) =(-1,-1,1),

A1D=(0,0,0)-(2,0,2)=(-2,0,-2), DC1=(0,2,2)-(0,0,0)=(0,2,2),
→ → ∵EF·A1D=(-1,-1,1)·(-2,0,-2) =(-1)×(-2)+(-1)×0+1×(-2)=0, → →



EF·DC1=(-1,-1,1)·(0,2,2)
=-1×0+(-1)×2+1×2=0, ∴EF⊥A1D,EF⊥DC1. 又 A1D∩DC1=D,A1D、DC1 ? 平面 A1DC1, ∴EF⊥平面 A1DC1. (2)取 AC 的中点 O,则 O(1,1,0), → ∴OG=(-1,-1,1),∴OG∥EF. 又∵OG ? 平面 GAC,EF ? 平面 GAC, ∴EF∥平面 GAC. 12.证明



不妨设正方体的棱长为 2,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),M(2,1,2), N(1,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2). → (1)EF=(-1,-1,0), →

DB=(2,2,0).
→ → → → ∵DB=-2EF,∴DB∥EF. 故 E、F、B、D 四点共面. → → → (2)DF=(0,1,2),MN=(-1,-1,0),MA=(0,-1,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDFE 的法向量, → ? ?n·DF=y+2z=0, 则? → ? ?n·EF=-x-y=0. 令 z=1,得 n=(2,-2,1).

7

→ ∵n·MN=(2,-2,1)·(-1,-1,0)=0,

n·MA=(2,-2,1)·(0,-1,-2)=0,
→ → ∴n⊥MN,n⊥MA,即 n 也是平面 AMN 的法向量. ∴平面 AMN∥平面 BDFE.



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