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3.2.2


3.2.2

直线的两点式方程

两点确定一条直线!那么经过两个定点的直线的方程
能否用“公式”直接写出来呢?

思考1

已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),如何求直

线l的方程. 解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)

5

? ? ?5 ? ? kl ? ? ?2 ?2 ? 3
将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ).

思考2 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中
x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式方程吗?
当x1 ? x2时,k ? y2 ? y1 x2 ? x1

取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得, y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

y1 ? y2时,化成比例式:

y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式.

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.

特别地

当x1=x2时,直线l的方程是 x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是 y=y1 .

做一做

1.过点A(5,6)和点B(-1,2)的直线方程的
两点式是(
y- 5 y+ 1 A. = x- 6 x- 2 2- 6 - 1- 5 C. = y- 6 x- 5
答案:B

)
y- 6 x- 5 B. = 2- 6 - 1- 5 x- 6 y- 5 D. = 2- 6 - 1- 5

例2

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

y

. A

.
C

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

O

.M

.

x B 这就是BC边所在直线的方程.

y ?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0 整理得, 5 x ? 3 y ? 6 ? 0.

中点坐标公式
以P ( 1 x1,y1 ), P 2 ( x2 , y2 )为端点的 x1 ? x2 y1 ? y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2

设BC的中点为M ,则M 的坐标为(

3 ? 0 ?3 ? 2 3 1 , ),即( , ? ) . 2 2 2 2

3 1 y ?0 x?5 过A( ?5, 0), M ( , ? )的直线方程为 ? , 1 3 2 2 ? ?0 ?5 2 2 整理得x ? 13 y ? 5 ? 0. 这就是BC边上的中线所在的直线的方程.

例1

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: y l B(0,b) A(a,0) O x

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y 即 ? ? 1. a b

直线的截距式方程

直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线
方程的截距式方程.

x y ? ? 1. a b
在x轴上 的截距 在y轴上 的截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

做一做 2.在x,y轴上的截距分别是-3,4的直 线方程是( x y A. + = 1 -3 4 x y C. - = 1 -3 4
答案:A

)

x y B. + = 1 3 -4 x y D. + = 1 4 -3

例3

求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程.
分析:截距均为0时,设方程为y=kx, y

截距不为0,设截距式求解.

o

x

解:当截距均为0时,设方程为y=kx,
4 把P(-5,4)代入上式得 k ? ? , 5 4 即直线方程为 y ? ? x. 5 x y 当截距均不为0时,设直线方程为 ? ? 1, a a 把P(-5,4)代入上式得 a ? ?1.

直线方程为 ? x ? y ? 1,

即 x ? y ? 1 ? 0.
4 综上直线方程为 y ? ? x 或 5

x ? y ? 1 ? 0.

练习.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2.
x y 解: (1)由b ? 5, 知a ? ?3,故直线方程为 ? ? 1; ?3 5 (2)由a ? 5, 知b ? 3或b ? 7, x y x y 故直线方程为 ? ? 1, 或 ? ? 1. 5 3 5 7

各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b

y ? y1 x ? x1 1.直线的两点式方程 y ? y ? x ? x ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 2 1 2 1

两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.

x y 2.截距式方程 ? ?1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

B 1.下列四个命题中为真命题的是(

).

A.经过定点P0 (x 0 ,y0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.

2.求经过下列两点的直线方程:

(1) P , 1), P , ? 3);(2) A(0, 5), B(5,0). 1 (2 2 (0
y ?1 x ? 2 y ?5 x 解:() 1 ? ( ; 2) ? . 4 2 ?5 5

3.直线ax+by=1

1 2 ab (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.

4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?

解:

⑴ 两条

y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y ? ? 1, 当截距都不为0时,设直线的方程为: a a 1 2 ? ? 1, 把(1,2)代入得: a a 即:a=3.

所以直线方程为:x+y-3=0.


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