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y高2013届高三数学优化设计三级排杳第1部分专题2函数与导数


在下面 9 个小题中,有 3 个表述不正确,请在题后用“√”或“×”判定, 并改正过来. 1.设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. ( )

2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(0,1);对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象过定点(1,0). ( )

3.设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变 量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则函数 f(x)在区间 D 上是增函 数. 如果对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M, 则称 M 是函数 y=f(x)的最大值. ( 4.ab=N?b=logaN(a>0,a≠1)是解决“指数、对数”运算问题的关键.( ) )

5.函数 y=f(x)的零点是方程 f(x)=0 的实数根,所以方程 f(x)=0 有实数根?函 数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. ( )

6.几个重要的求导公式:(xn)′=n·n-1(n∈N*),(sin x)′=cos x,(cos x)′= x ln a sin x,(ax)′=ax· a,(logax)′= x (a>0,a≠1). ln ( )

7.如果函数 f(x),g(x)是可导函数,则[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x), f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ? ?′= (g(x)≠0). [g?x?]2 ?g?x?? ( )

8.在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递增; 如果 f′(x)<0.那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递减. ( )

9. 函数 f(x)在 x0 处有 f′(x0)=0, 且在点 x=x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x) >0,则 f(x0)叫函数 y=f(x)的极大值;若在点 x=x0 附近的左侧 f′(x)>0,右

侧 f′(x)<0,则 f(x0)叫做函数 y=f(x)的极小值,函数的极大值可能会小于函 数的极小值. 名师点拨 1.√ 9.× 第 3 题, 9 题没有理解函数最值和极大(小)值的概念, 6 题记错 y=cos x, 第 第 y=logax 的求导公式. 订正 3 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ ( )

自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则函数 f(x)在区间 D 上是 增函数.如果对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;且存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 则 M 是函数 y=f(x)的最大值. 订正 6 几个重要的求导公式:(xn)=nxn-1(n∈N*),(sin x)′=cos x,(cos x)′=

1 -sin x,(ax)′=axln a,(loga x)′=xln a(a>0,a≠1). 订正 9 函数 f(x)在 x0 处有 f′(x0)=0,且在点 x=x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧

f′(x)>0,则 f(x0)叫函数 y=f(x)的极小值;若在点 x=x0 附近的左侧 f′(x)> 0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)叫做函数 y=f(x)的极大值.函数的极大值可能会 小于函数的极小值.

在下面 10 个小题中,有 3 个表述不正确,请在题后用“√”或“×”判定, 并改正过来. 1.函数 y=f(x)的图象与直线 x=a(a∈R)的交点可能是 0 个、1 个或 2 个.( )

2. f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称,f(x)为偶函数?f(x)的图象关于 y 轴对 称.存在既是奇函数又是偶函数的函数:f(x)=0. ( )

3.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点 对称的两个区间上具有相反的单调性. ( ) 1 , f?x? )

4.若满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周期函数,T=2a;若满足 f(x+a)= 则 f(x)是周期函数,T=2a(a≠0,a 为常数). (

5.若 f(a+x)=f(a-x),则 y=f(x)的图象关于 x=a 对称;如果 f(x)满足 f(x)=

-f(2a-x),则函数 f(x)的图象关于点(a,0)对称.

(

)

6.函数 y=ax 与 y=logax(a>0,a≠1)的图象关于直线 y=x 对称,且两函数在各 自定义域上具有相同的单调性. ( )

7.函数零点的存在性:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上,有 f(a)· f(b)<0,那么 函数 f(x)在区间(a, b)内有零点, 即存在 c∈(a, 使得 f(c)=0.如果 f(x)在(a, b), b)上单调,则 y=f(x)在(a,b)内有唯一的零点. ( )

8.f′(x0)是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线斜率,相应的切线方程是 y-y0 =f′(x0)(x-x0). ( )

9.f′(x)≥0 是可导函数 f(x)在 x∈(a,b)内是增函数的充要条件;f′(x0)=0 是 可导函数在 x=x0 处取得极值的必要条件. ( )

10.判断极值时,需检验 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果在根的 左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值;如 果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极 小值. 名师点拨 1.× 9.× 2.√ 10.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ ( )

第 1 题不符合函数定义;第 7 题不满足零点存在定理的条件;第 9 题错误理 解函数单调性与导数的关系. 订正 1 函数 y=f(x)的图象与直线 x=a(a∈R)的交点可能是 0 个或 1 个, 即最多

有一个交点. 订正 7 函数零点的存在性:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即 存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调,则函数 y =f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点. 订正 9 可导函数 f(x)在区间(a,b)上为增函数的充要条件是:对于任意 x∈(a,

b) , 有 f′(x)≥0 , 且 f′(x) 在 区 间 (a , b) 的 任 意 子 区 间 上 都 不 恒 为 零

1.函数的定义域与值域都是非空数集.求函数相关问题易忽略“定义域优先” 原则或求错函数的定义域.如求 f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,只考虑 t= 1 x2-3x+2 与函数 y=ln t 的单调性, 忽视 t>0 的限制条件; 求函数 f(x)=xln x 的定义域时,只考虑到 x>0,x≠0,而忽视 ln x≠0 的限制. 2.考生应注意函数奇偶性的定义,易忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制 条件;求函数的单调区间,易盲目在多个单调区间之间添加符号“∪”. 3.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数 y=ax(a>0,a≠1)的单调 性忽视字母 a 的取值讨论,忽视 ax>0;对数函数 y=logax(a>0,a≠1)忽视 真数与底数的限制条件. 4.考生易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点,不能把函数零点、方程的 解、不等式解集的端点值进行准确互化. 5.不能准确记忆基本初等函数的图象,不能准确利用函数图象平移、伸缩变换 得到所需函数的图象,如画出函数 f(x)=lg(1-x)的图象时,不能通过对 y=lg x 的图象正确进行变换得到. 6.不能准确把握常见的函数模型,导致函数建模出错,易忽视函数实际应用中 的定义域等;遗漏运算结果后面的单位与最后题目的结论(答案). 7.不能准确理解导函数的几何意义,易忽视切点(x0,f(x0))既在切线上,又在函 数图象上,导致某些求导数的问题不能正确解出. 8.考生易错记基本初等函数的导数以及错用函数求导法则,导致错求函数的导 数. 9.考生易混淆函数的极值与最值的概念,错以为 f′(x0)=0 是函数 y=f(x)在 x =x0 处有极值的充分条件. 10. 考生易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类 问题,求解函数的单调区间直接转化为 f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集;而已 知函数在区间 M 上单调递增(减),则要转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 的恒成 立问题.

1.思维陷阱——缺乏函数定义域的优先意识

【例 1】 (2011· 江西)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为 A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

(

).

2 4 2x -2x-4 [错解] ∵f′(x)=2x-2-x = , x

x2-x-2 ∴由 f′(x)>0,可得 >0, x 解得 x>2 或-1<x<0,故选 B. 答案 B

[错因分析] 本题产生错误的主要原因是忽视函数的定义域为(0,+∞),另外 还常因求错 f(x)的导数,导致盲目作答. [正解] 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
2 4 2x -2x-4 ∵f′(x)=2x-2- x= , x

∴由 f′(x)>0,可得 x2-x-2>0,∴x>2. 答案 C 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值集合.研究函数 问题,千万不要忽略函数的定义域这一隐含条件,树立定义域的优先意识, 这是研究函数的一条最基本原则. ln x 【补偿训练 1】 函数 f(x)= x 的单调增区间为________. 解析 1-ln x ?ln x? f′(x)=? x ?′= x2 , ? ?

令 f′(x)>0,得 0<x<e. 答案 (0,e)

2.推理陷阱——虚假依据致错 【例 2】 (2012· 青岛质检)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程 f(x)=0 在闭区间[-T,T]上的根的个数记为 n, 则 n 可能为 A.0 B.1 C.3 D.5 ( ).

[错解] 因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(0)=0 又因为 T 是函数 f(x)的一个正

周期, 所以 f(T)=f(-T)=f(0)=0. 故方程 f(x)=0 在闭区间[-T,T]上的根的个数 n 可能为 3.选 C. 答案 C

[错因分析] 以上解法是直接根据 f(T)=f(-T)=f(0)=0, 就想当然的认为方程 的根的个数就只有 3 个,这是个虚假的依据.很多同学往往没有经过严密的 逻辑思考,就根据简单的几个步骤就虚假推断,从而造成差错,因此,解题 时一定要有严密的逻辑性才行. [正解] 因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0. ? T? 又因为 T 是函数 f(x)的一个正周期,所以 f(T)=f(-T)=f(0)=0.又 f?-2?= ? ? T? ?T? ? ? T? ?T? ?T? ? T? ?T? f?T-2 ?=f?2?,且 f?-2?=-f?2 ?,所以 f?2?=0,于是可得 f?-2?=f?2 ?=0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以方程 f(x)=0 在闭区间[-T,T]上的根的个数为 5,故选择 D. 答案 D 研究抽象函数的性质,一定要充分利用奇偶性、周期性、单调 性的定义,严格推理,并注意不同语言信息的相互转化,推理有据,养成严 谨的数学思维意识,一般地,定义在 R 上,周期为 T 的奇函数 f(x)在区间 T T ? T T? ?-2 ,2?上有 3 个零点- ,0, . 2 2 ? ? 【补偿训练 2】函数 f(x)的定义域为 R, f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, 若 则( A.f(x)是偶函数 C.f(x)是奇函数 解析 B.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 ).

由 f(x+1)是奇函数,则 f(-x+1)=-f(x+1).

令 x+1=t,则 x=t-1, 所以 f(-t+2)=-f(t),即-f(x)=f(-x+2); 由 f(x-1)是奇函数可知, f(-x-1)=-f(x-1),① 令 x-1=t,则 x=t+1, 所以 f(-t-2)=-f(t),即-f(x)=f(-x-2); 故 f(-x+2)=f(-x-2),即 f(x)=f(x+4),

所以函数 f(x)的周期是 4. 结合①可得 f(-x-1+4)=-f(x-1+4), 即 f(-x+3)=-f(x+3), ∴f(x+3)是奇函数,选 D. 答案 D

3.分段函数思维定势致误
2 ?x +1,x≥0, 【例 3】(2010· 江苏)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x) ?1,x<0,

的 x 的取值范围是________. [错解] 当 x<0 时,f(x)=1; 当 x≥0,f(x)=x2+1 是增函数,由 f(1-x2)>f(2x),得 1-x2>2x,∴- 2- 1<x< 2-1, 因此实数 x 的取值范围是(- 2-1, 2-1). 答案 (- 2-1, 2-1)

[错因分析] (1)仅考虑函数 f(x)的单调性,忽略定义区间的限制(1-x2>0). (2)对于分段函数, 忽视 x 取值范围影响对应关系, 缺乏分类讨论的思想意识. [正解] 当 x≥0 时,f(x)=x2+1 是增函数;当 x<0 时,f(x)=1,因此由题设 f(1-x2)>f(2x)得,
2 2 ?1-x >0, ?1-x >2x, ? 或? ?2x<0 ?2x≥0,

解之得-1<x<0 或 0≤x< 2-1. 故所求实数 x 的取值范围是(-1, 2-1). 答案 (-1, 2-1) (1)分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数体现了 数学的分类讨论思想,“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则. (2)“对号入座”,根据自变量取值的范围,准确确定相应的对应关系,转化 为一般函数在指定区间上的问题.不能准确理解分段函数的概念是导致出错 的主要原因.

【补偿训练 3】 (2012· 泰安模拟)已知 f(x)= ??3a-1?x+4a,x<1, ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?logax,x≥1 ( A.(0,1) ?1 1? C.?7,3? ? ? 解析 1? ? B.?0,3? ? ? ?1 ? D.?7,1? ? ? ).

要使 f(x)在 R 上是减函数,只需 1 1 解之得7≤a<3.

?3a-1<0, ?0<a<1, ??3a-1?×1+4a≥loga1,
答案 C

4.漏解陷阱——函数零点定理使用不当 【例 4】 函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数零点,则实数 m 的取值范 围是 A.(-∞,1] C.(-∞,0)∪{1} B.(-∞,0]∪{1} D.(-∞,1) ( ).

1 [正解] 当 m=0 时,x=2为函数的零点. 当 m≠0 时,若 Δ=4-4m=0,即当 m=1 时,x=1 是函数唯一的零点. 若 Δ=4-4m≠0,即 m≠1 时,显然 x=0 不是函数的零点.这样函数有且仅 有一个正实数零点等价于方程 f(x)=mx2-2x+1 有一个正根一个负根.因此 mf(0)<0,∴m<0. 综合以上,可知实数 m 的取值范围是 m≤0 或 m=1. 答案 B

[易错提醒] 解本题易出现的错误是分类讨论片面,函数零点定理使用不当, 如忽视了对 m=0 的讨论,这样就会出现选 C 的错误. 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,如本题中的 x =1 就是函数的“不变号零点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是 “无能为力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.

【补偿训练 4】 已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4,其中函 数 y=g(x)的图象是一条连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个区间内必有实 数根 A.(0,1) 解析 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ( ).

f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4,

∴f(1)=0+3×1-4=-1<0,f(2)=2×3-4=2>0. 又函数 y=g(x)的图象是一条连续曲线, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程 f(x)=0 在(1,2)内必有实数根. 答案 B

5.关系陷阱——导数与单调性关系不明致错 【例 5】 已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最小值和最大值. [正解] 3? 1? ? (1)由题知 f′(x)=3x2-2ax-3,令 f′(x)≥0(x≥2),得 a≤2?x- x?. ?

3? 1? ? 记 t(x)=2?x- x?,当 x≥2 时,t(x)是增函数, ? 1? 9 3 ? 9 ∴t(x)min=2×?2-2?=4,∴a≤4. ? ? 9 验证当 a=4时,f′(x)≥0 当且仅当 x=2 时取等号, 9 ∴实数 a 的取值范围是 a≤4. (2)由题意,得 f′(3)=0,即 27-6a-3=0,∴a=4. ∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3. 1 令 f′(x)=0,得 x1=-3,x2=3,又∵x∈[1,4], 1 ∴x=-3舍去,故 x=3.当 x∈(1,3)时,f′(x)<0,∴f(x)在[1,3]上为减函数; 当 x∈(3,4)时, f′(x)>0, ∴f(x)在[3,4]上为增函数, ∴x=3 时, f(x)有极小值. 也 是最小值.于是,当 x∈[1,4]时,f(x)min=f(3)=-18,而 f(1)=-6,f(4)= -12,∴f(x)max=f(1)=-6.

[易错提醒] 求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式,受此影响,容 9 易认为函数 f(x)的导数在区间[2,+∞)上大于零,导致错求 a<4.忽视了函数 的导数在[2, +∞)上个别的点处可以等于零, 这样的点不影响函数的单调性. 1.研究函数的单调性与导数关系应注意:(1)若函数 y=f(x)在区 间(a, b)上单调递增, f′(x)≥0, 则 其逆命题不成立, 因为 f′(x)≥0 包括 f′(x) >0 或 f′(x)=0, f′(x)>0 时函数 y=f(x)在区间(a, 当 b)上单调递增, f′(x) 当 =0 时 f(x)在这个区间内为常数函数;(2)同理,若函数 y=f(x)在区间(a,b) 上单调递减,则 f′(x)≤0,其逆命题不成立. 2.使 f′(x)=0 的离散的点不影响函数的单调性. ex 【补偿训练 5】 (2011· 安徽)设 f(x)= ,a>0. 1+ax2 4 (1)当 a=3时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)是 R 上的单调函数,求实数 a 的取值范围. 解
2 ex x 1+ax -2ax 由 f(x)= ,得 f′(x)=e · .① 1+ax2 ?1+ax2?2

4 8 ? ? ex?1+3x2-3x? ? ? 4 (1)当 a=3时,f′(x)= 4 2?2 ? ?1+3x ? ? ? ex?4x2-8x+3? = .② ? 4 2?2 3?1+3x ? ? ? 令 f′(x)=0,即 ex(4x2-8x+3)=0. 1 3 ∵ex 恒大于 0,∴4x2-8x+3=0,∴x=2或 x=2. 结合②式,可知 x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞,2? ? ? + 单调递增 1 2 0 极大值 ?1 3? ?2,2? ? ? - 单调递减 3 2 0 极小值 ?3 ? ?2,+∞? ? ? + 单调递增

3 1 ∴x1=2是极小值点,x2=2是极大值点.

(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号. 结合①式及 a>0,要使得 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,所以二次方程 1 +ax2-2ax=0 无解或有两个相等的实数根,则 Δ=4a2-4a≤0,即 0<a≤1. 故实数 a 的取值范围是(0,1].

主要题型:近三年高考主要涉及:(1)运用导数研究函数的单调性、极值与最 值问题;(2)以函数为载体的数学建模;(3)利用导数研究函数零点、不等式恒成 立与相关证明问题.构建程序模板力争避免“会而不对.对而不全”解题怪圈, 达到不会做的题目“分段得分,策略得分”. 方向 1 函数模型的实际应用

【例 1】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的 某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿 还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工 每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资 料中有:①这种消费品的进价为每件 14 元; ②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关 系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润 扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大 余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? (1)认真阅读题干内容,理清数量关系;(2)分析图形提供的信息, 从图形可看出函数是分段的;(3)建立函数模型,确定解决模型的方法.

规范解答赏析

构建解题程序 [解题程序] 第一步:审题:弄清题意,分清条

解 设该店月利润余额为 L 元, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① 由销量图易得 Q= ?-2P+50,14≤P≤20 ? ? 3 - ?? 2P+40,20<P≤26, ? 代入①式得

件和结论,理顺数量关系; 第二步:建模:将文字语言转化成 数学语言,用数学知识建立相应的 数学模型; 第三步:求模:求解数学模型,得 到数学结论; 第四步:还原:将用数学方法得到 的结论还原为实际问题的意义. 第五步:反思回顾:对于数学模型

L= (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元, 此时 P=19.5 元; 当 20<P≤26 时, 1 250 Lmax= 3 元, 61 此时 P= 3 元.

得到的数学解,必须验证这个数学 解对实际问题的合理性. [批阅笔记] (1)本题经过了三次建模: ①根据月 销量图建立 Q 与 P 的函数关系; ② 建立利润余额函数;③建立脱贫不 等式.

故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 (2)本题的函数模型是分段的一次 元. (2)设可在 n 年内脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0, 解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫. 函数和二次函数,在实际问题中, 由于在不同的背景下解决的问题 发生了变化,因此在不同范围中, 建立函数模型也不一样,所以现实 生活中分段函数的应用非常广泛. (3)在构造分段函数时,分段不合 理、不准确,是易出现的错误. 方向 2 函数的单调性、极值与最值问题

2ax-a2+1 【例 2】 已知函数 f(x)= (x∈R),其中 a∈R. x2+1 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. (1)知解析式和切点求切线方程,先求斜率,用点斜式方程求切线方 程;(2)根据导数研究函数的单调性.求导→求导函数的零点→确定导函数在区间 中的正、负→确定函数在区间中的单调性. 规范解答赏析 2x 4 解 (1)当 a=1 时,f(x)= 2 ,f(2)=5, x +1 2?x2+1?-2x· 2x 2-2x2 又 f′(x)= = 2 ,f′(2) ?x2+1?2 ?x +1?2 6 =-25. 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2)) 处的切线方程 为 4 6 y-5=-25(x-2), 即 6x+25y-32=0. (2)f′(x)= 2a?x2+1?-2x?2ax-a2+1? ?x2+1?2 构建解题程序 [解题程序] 第一步:由导数几何意义,求切线 方程. 第二步:求 f(x)的导数 f′(x). 第三步:求方程 f′(x)=0 的根. 第四步:利用 f′(x)=0 的根和不 可导点的 x 的值从小到大顺次将 定义域分成若干个小开区间, 并列 出表格. 第五步:由 f′(x)在小开区间内的 正、负值判断 f(x)在小开区间内的 单调性. 第六步:明确规范地表述结论.反 思回顾.查看关键点、易错点及解 题规范.

-2?x-a??ax+1? = . ?x2+1?2 由于 a≠0,以下分两种情况讨论.

1 ①当 a>0,令 f′(x)=0,得到 x1=-a,x2=a. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x)

[批阅笔记] 1. 本题主要考 查导数的几何
a 0 极大值 (a,+∞) - 单调递减

?-∞,-1? a? ?
- 单调递减

- 0

1 a

?-1,a? ? a ?
+ 单调递增

意义,利用导 数研究函数的 单调性与极 值,并考查函 数与方程,分 类讨论等数学 思想. 2.本题中 f′(x)=0 的根 1 为 x1=-a, 2 x =a.要确定 x1,x2 的大小, 就必须对 a 的

极小值

1? ? 所以 f(x)在区间?-∞,-a?,(a,+∞)内为减函数, ? ? ? 1 ? 在区间?-a,a?内为增函数. ? ? 1 ? 1? 函数 f(x)在 x1=-a处取得极小值 f?-a?, ? ? ? 1? 且 f?-a?=-a2. ? ? 函数 f(x)在 x2=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1. ②当 a<0 时,令 f′(x)=0, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 得到 x1=a,x2=-a, 1? ? ?a,-a? ? ? - 单调递减 1 -a 0 极小值

x f′(x) f(x)

(-∞,a) + 单调递增

a 0 极大值

正、负进行分 ? 1 ? ?-a,+∞? ? ? 类讨论,这就 + 是本题的关键

单调递增 点和易错点. 3. 利用导数研

? 1 ? 所以 f(x)在区间(-∞,a),?-a,+∞?内为增函数, ? ? 1? ? 在区间?a,-a?内为减函数. ? ? 函数 f(x)在 x1=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1; 1 ? 1? ? 1? 函数 f(x)在 x2=-a处取得极小值 f?-a?,且 f?-a?=-a2. ? ? ? ?

究函数的性 质,这是历年 的重点,求解 时要养成好的 解题习惯,规 范答题.

方向 3

导数与不等式(方程)综合交汇

【例 3】 (2011· 辽宁)已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 ?1 ? ?1 ? (2)设 a>0,证明:当 0<x<a时,f?a+x?>f?a-x?; ? ? ? ? (3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证 明:f′(x0)<0. (1)求导,根据参数 a 的不同取值,讨论函数的单调性; ?1 ? ?1 ? (2)构建函数 g(x)=f?a+x?-f?a-x?,转化为求函数的取值范围; ? ? ? ? 1 (3)根据第(1)、(2)的结论,证明 x0>a,从而 f′(x0)<0. 规范解答赏析 (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞), 构建解题程序 [解题程序] ?2x+1??ax-1? 1 f′(x)= x-2ax+(2-a)=- . x ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上 单调递增. 1 ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x=a, 1? ? 且当 x∈?0,a?时,f′(x)>0, ? ? 1 当 x>a时,f′(x)<0, 1? ? 所以 f(x)在?0,a?上单调递增, ? ? ?1 ? 在?a,+∞?上单调递减. ? ? ?1 ? ?1 ? (2)证明 设函数 g(x)=f?a+x?-f?a-x?, ? ? ? ? 则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, g′(x)= a a 2a3x2 + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 第一步:求导数,确定函数定 义域. 第二步: 讨论参数 a, 判断 f(x) 的单调性. 第三步:构建函数 g(x)= ?1 ? ?1 ? f?a+x?-f?a-x?,将问题(2) ? ? ? ? 转化为判定 g(x)>0. 第四步:判定隐含条件 a>0, ?1? f?a?>0. ? ? 1 第五步:确定 x0>a,结合(1) 问,证明 f′(x0)<0. 第六步: 反思检验, 查找易错、 易漏点,规范答题的严谨性. [批阅笔记] 1.本题综合考查函数的单调

1 当 0<x<a时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x) >0. 1 ?1 ? ?1 ? 故当 0<x<a时,f?a+x?>f?a-x?. ? ? ? ? (3)证明 由(1)知,当 a≤0 时,f(x)的图象与 x 轴 最多有一个交点,故应有 a>0. ?1? ?1? 从而 a>0 时,f(x)的最大值为 f?a?,且 f?a?>0. ? ? ? ?

性,导数的综合应用,以及数 学推理证明能力. 注重分类讨 论和转化思想考查. 本题求解 的关键是重视第(1)问结论的 运用, 从整体上沟通三问间的 关系. 2.本题易错点:(1)忽视参数 a 对函数 f(x)单调性影响,求

1 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则 0<x1<a< 解不全面; x2. ?2 ? ?1 1 ? 由(2)得 f?a-x1?=f?a+a-x1?>f(x1)=0, ? ? ? ? x1+x2 1 2 从而 x2>a-x1,于是 x0= 2 >a. 所以,由(1)知,f′(x0)<0. (2)转化能力差,不能从题目 条件恰当构建函数 g(x), 无从 入手; (3)割裂题目三问之间的联 系,难以挖掘隐含条件,解题 受阻.

一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 A.y=x3 C.y=-x2+1 解析 B.y=|x|+1 D.y=2-|x| ( ).

y=x3 是奇函数,y=-x2+1 与 y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故

A、C、D 不合要求.对于选项 B,易知 y=|x|+1 为偶函数,且在(0,+∞) 上递增. 答案 B ).

2.函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间是 ( A.(0,1) C.(0,e) 解析 函数定义域为(0,+∞),

B.(-∞,1) D.(-∞,e)

1 且 f′(x)=1- x .

1 令 1- x<0 解得 0<x<1. 所以递减区间是(0,1). 答案 A 1 有相同定义域的是 x 1 B.f(x)=x D.f(x)=ex ( ).

3.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 解析 y=

1 1 的定义域为{x|x>0},与 f(x)=ln x 的定义域相同,故选 A.f(x)= x x

的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},f(x)=|x|的定义域为 R,f(x)=ex 的定义域为 R. 答案 A f?x?-f?-x? <0 的 x ( B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1) ).

4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 解集为 A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 ∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x), ∴ f?x?-f?-x? 2f?x? <0? x <0. x

∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0, ∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,且 f(-1)=0, f?x? ∴不等式 x <0 的解集为(-1,0)∪(0,1). 答案 D ).

5.设 f(x)在区间(-∞,+∞)可导,其导数为 f′(x),给出下列四组条件( ①p:f(x)是奇函数,q:f′(x)是偶函数; ②p:f(x)是以 T 为周期的函数,q:f′(x)是以 T 为周期的函数;

③p:f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数,q:f′(x)>0 在(-∞,+∞)恒成 立;

④p:f(x)在 x0 处取得极值,q:f′(x0)=0. A.①②③ C.①③④ 解析 B.①②④ D.②③④

由 f(-x)=-f(x),得-f′(-x)=-f′(x).

∴f′(-x)=f′(x).即 f′(x)是偶函数①正确.易知②正确.③不正确.根据 f′(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0 取得极值的必要不充分条件,∴④正确. 答案 B
1

6.若曲线 y=x-2在点 a,a-2 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a= A.64 C.16 解析 B.32 D.8 1 3 1 3 y′=-2x-2,切线的斜率 k=-2·-2. a ( ).

(

1

)

1 1 3 切线方程为 y-a-2=-2a-2· (x-a).

3 1 从而直线的横、纵截距分别为 3a、2a-2. 1 3 1 9 1 所以三角形的面积 S=2×3a×2a-2=4a2, 9 1 由4a2=18,得 a=64. 答案 A ( ).

7.(2012· 天津)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是 A.0 C.2 解析 B.1 D.3

利用数形结合的方法求解.函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点

个数即为函数 y=2x,y=2-x3 在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象即 可知两个函数图象在区间(0,1)内有 1 个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点 个数是 1. 答案 B

8.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象

可能是

(

).

解析

由已知图象知函数 g′(x)为增函数,f′(x)为减函数且都在 x 轴上方,

∴g(x)的图象上任一点的切线的斜率在增大,而 f(x)的图象上任一点的切线的 斜率在减小,又由 f′(x0)=g′(x0),故选 D. 答案 D

二、填空题 9.若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 1 f′(x)=3ax2+ x,

∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)=0 有解,即 3ax2+ x=0 有解, 1 ∴3a=-x3,而 x>0, ∴a∈(-∞,0). 答案 (-∞,0)

1 10. 若函数 f(x)=3x3-x 在(a,10-a2)上有最小值, 实数 a 的取值范围为_______ _. 解析 由 f′(x)=x2-1=0,得 x=± 1.

从而函数 y=f(x)在(-∞,-1)上为增函数, 在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.

2 则函数 y=f(x)在 x=1 处达到极小值 f(1)=-3. 2 而由 f(x)=-3,得 x=1 或 x=-2. 故要使函数 f(x)在(a,10-a2)上有最小值, 则-2≤a<1<10-a2,解得-2≤a<1. 答案 [-2,1)

11.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0, 那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析 由题意知,f(x)在(0,+∞)单调递增,

又 f(-1)=0,f(x)为偶函数, 所以当-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<0; 当 x<-1 或 x>1 时,f(x)>0. 故不等式 xf(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 答案 (-∞,-1)∪(0,1)

12.(2011· 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,a≠1),当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 解析 由于 f(x)=logax+x-b,2<a<3<b<4,

∴f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3=0, f(3)=loga3+3-b>1+3-4=0. 根据函数零点存在性定理,可得函数 f(x)的零点在区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2

三、解答题 13.设函数 f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a 为实数). (1)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a>2,求函数 f(x)的最小值. 解 (1)∵f(x)为偶函数,

∴f(-x)=x2+|2x+a|=f(x)=x2+|2x-a|. ∴a=0. (2)①当 2x-a≥0,

a 即 x≥2时 f(x)=x2+2x-a, a ∵a>2,∴2>1. ?a ? ∴f(x)=x2+2x-a 在?2,+∞?上为增函数, ? ?
2 a2 ?a? a ∴f(x)min=f?2?= 4 +a-a= 4 . ? ?

a ②当 2x-a<0 即 x<2时, f(x)=x2-2x+a, a ∵a>2,∴2>1, a? ? ∴f(x)=x2-2x+a 在?-∞,2?上先减后增. ? ? f(x)min=f(1)=1-2+a=a-1. a2 ? 4 ,x≥a ? 2

综上,f(x)min=? a ??a-1,x<2. ? 14.已知函数 f(x)=xex(e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 解 (1)∵f(x)=xex,

∴f′(x)=ex+xex=(1+x)ex. 令 f′(x)>0,即(x+1)ex>0. ∵ex>0,∴x>-1, ∴f(x)的单调增区间为(-1,+∞). (2)由(1)知,f′(x)=(1+x)ex. ∴f′(1)=2e,f(1)=e. ∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1), 即 2ex-y-e=0. 15.(2012· 山东实验中学模拟)已知函数 f(x)=ln x-ax-3(a≠0).

(1)讨论 f(x)的单调性; x2 (2)若对于任意的 a∈[1,2],函数 g(x)=x3+ 2 [m-2f′(x)]在区间(a,3)上有最 值,求实数 m 的取值范围. 解 (1)定义域(0,+∞),f′(x)= 1-ax x ,

1? ? ?1 ? 当 a>0 时,x∈?0,a?,f′(x)>0;x∈?a,+∞?, ? ? ? ? f′(x)<0; 当 a<0 时,x∈(0,+∞),f′(x)>0. 1? ? ?1 ? 所以当 a>0 时,f(x)的单调增区间为?0,a?,减区间为?a,+∞?; ? ? ? ? 当 a<0 时,f(x)的单增区间为(0,+∞),无减区间. ?m ? (2)g(x)=x3+? 2 +a?x2-x, ? ? g′(x)=3x2+(m+2a)x-1, ∵函数 g(x)在区间(a,3)上有最值, ∴函数 g(x)在区间(a,3)上不单调, g′(0)=-1<0. ?g′?a?<0 ∴? g′?3?>0, ??
2 ?3a +?m+2a?a-1<0 即? m+6a+26>0. ??3

对任意的 a∈[1,2]恒成立,

?m<1-5a ? a 即? 26 ??m>-2a- 3 , ?
对任意的 a∈[1,2]恒成立, 32 19 得- 3 <m<- 2 . 16.(2012· 潍坊质检)已知 f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数 f(x)的单调区间;

(2)求 f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值; (3)对一切的 x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)的定义域为(0,+∞),

∴f′(x)=ln x+1, 1 令 f′(x)<0,得 0<x< e; 1 令 f′(x)>0,得 x> e. 1? ? ∴f(x)的递减区间是?0,e?, ? ? ?1 ? 递增区间为? e,+∞?. ? ? 1 (2)(ⅰ)当 0<t<t+2< e 时,无解. 1 (ⅱ)当 0<t<e<t+2, 1 即 0<t<e , 1 ?1? 由(1)知,f(x)min=f?e?=-e . ? ? 1 (ⅲ)当 e ≤t<t+2, 1 即 t≥e 时, f(x)在区间[t,t+2]上递增,f(x)min=f(t)=tln t.

?-1,0<t<1 ? e e 因此 f(x)min=? 1 ??tln t,t≥e. ?
(3)2f(x)<g′(x)+2, 得 2xln x≤3x2+2ax+1. 3 1 ∵x>0,∴a≥ln x-2x-2x. 3 1 设 h(x)=ln x-2x-2x,

?x-1??3x+1? 1 3 1 则 h′(x)= x-2+2x2=- . 2x2 1 令 h′(x)=0,得 x=1,x=-3(舍). 当 0<x<1 时,h′(x)>0, h(x)在(0,1)上单调递增; 当 x>1 时,h′(x)<0, h(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值 h(x)max=-2. ∴a≥-2. ∴a 的取值范围是[-2,+∞).


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