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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:23选择题解题技能训练


第一部分



23

一、选择题 x2 1.(文)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 2-y2=1(a>0)交于 A、B 两点,点 F 为抛物 a 线的焦点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是( A. 3 C.2 [答案] B [解析] 由题意易知,抛物线的准线方程为 x=-1,焦点为 F(1,0

),直线 x=-1 与双 曲线的交点坐标为(-1, ± 为等腰直角三角形,所以 = 6,选 B. x2 y2 (理)(2014· 中原名校联考)已知双曲线 2+ 2=1,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆 a b 被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1?2 的两部分,则双曲线的离心率为( A. 3 C. 5 [答案] B [解析] 由条件知∠OAB=120° ,从而∠BOA=30° , c2-a2 1 b 3 4 2 3 ∴ = ,∴ 2 = ,∴e2= ,∵e>1,∴e= . a 3 a 3 3 3 2 3 B. 3 D. 5 2 ) 1-a2 ), 若△FAB 为直角三角形, 则只能是∠AFB 为直角, △FAB a 1-a2 5 30 c =2?a= ,从而可得 c= ,所以双曲线的离心率 e= a 5 5 a B. 6 D.3 )

[方法点拨] 直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密地推 理和准确地运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,作出相 应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 直接法解答选择题是最基本的方法, 用直接法解题的关键是掌握相关知识, 熟练应用有

关数学方法与技巧,准确把握题目的特点.平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵 活应用.请练习下题: x2 x2 y2 (2015· 河南省高考适应性测试)已知椭圆 C1: +y2=1, 双曲线 C2: 2- 2=1(a>0, b>0), 17 a b 若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A, B 两点, 且 C1 与该渐近线的两交点将 线段 AB 三等分,则双曲线 C2 的离心率为( A.4 C. 2 [答案] C b [解析] 双曲线的一条渐近线方程为:y= x,设它与椭圆 C1 的交点为 CD,易得|CD| a 1 2 17 = |AB|= , 3 3 ) 4 13 B. 13 1+ 5 D. 2

?y=ax, 由? x ?17+y =1.
2 2

b

x2 b2 得: + 2x2=1,x=± 17 a ∴|CD|=2 b2 1+ 2· a
2

17a2 , a +17b2
2

17a2 =2 a +17b2

17?a2+b2? 2 17 = , 3 a2+17b2

整理得:a2=b2,∴e= 2. 1 2.(2015· 新课标Ⅱ文,9)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 A.2 1 C. 2 [答案] C a4 1 [解析] 由题意可得 a3a5=a2 所以 q3= =8?q=2, 故 a2=a1q= , 4=4(a4-1)?a4=2, a1 2 选 C. 3.(文)如图,在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P、Q 满足 A1P=BQ,过 P,Q, C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) B .1 1 D. 8 )

A.3?1 C.4?1 [答案] B

B.2?1 D. 3?1

[解析] 将 P,Q 置于特殊位置:使 P 与 A1 重合,Q 与 B 重合,此时仍满足条件 A1P VABC-A1B1C1 =BQ(=0),则有 VC-AA1B=VA1-ABC= ,故过 P,Q,C 三点的截面把棱 3 柱分成的两部分的体积之比为 2?1. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 a、b、c 成等差数列,则 cosA+cosC 等于( 1+cosAcosC 3 A. 5 3 C. 4 [答案] B cosA+cosC 4 4 [解析] 解法一:取特殊值 a=3,b=4,c=5,则 cosA= ,cosC=0, = , 5 1+cosAcosC 5 1 cosA+cosC 4 解法二:取特殊角 A=B=C=60° ,cosA=cosC= , = .故选 B. 2 1+cosAcosC 5 [方法点拨] 特例法 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特 殊函数或图形位置,进行判断.特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、 特殊图形. 其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立, 则对该范围内的某个特 殊情形一定成立. 请练习下题: x2 y2 已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y=kx+ m 4 1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是( A.kx+y+k=0 C.kx+y-k=0 [答案] D [解析] A 选项中, 当 k=-1 时, 两直线关于 y 轴对称, 两直线被椭圆截得的弦长相等; ) B.kx-y-1=0 D.kx+y-2=0 ) 4 B. 5 4 D. 3

B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆截得的弦长相等;C 选项中,k=1 时, 两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆截得的弦长相等,故选 D. [点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断,方便的获解,如 果盲目从直线与椭圆相交求弦长,则费神耗力无收获. π 4. (文)A、 B、 C 是△ABC 的 3 个内角, 且 A<B<C(C≠ ), 则下列结论中一定正确的是( 2 A.sinA<sinC C.tanA<tanC [答案] A [解析] 利用特殊情形,因为 A、B、C 是△ABC 的 3 个内角,因此,存在 C 为钝角的 可能,而 A 必为锐角,此时结论仍然正确.而 cosA、tanA、cotA 均为正数,cosC、tanC、cotC 均为负数,因此 B、C、D 均可排除,故选 A. (理)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+?+a6x6 且 a1+a2+a3+?+a6=63,则实数 m 的值为 ( ) A.1 C.-3 [答案] D [解析] 令 x=0,∴a0=1;令 x=1,故(1+m)6=a0+a1+a1+a2+?+a6,且因 a1+a2 +a3+?+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1 或-3. 1 π 5.已知 f(x)= x2+sin( +x),则 f ′(x)的图象是( 4 2 ) B.-1 D.1 或-3 B.cotA<cotC D.cosA<cosC )

[答案] A 1 [解析] ∵f(x)= x2+cosx, 4 1 ∴f ′(x)= x-sinx 为奇函数,排除 B、D. 2 π 1 π π 1 π 又 f ′( )= × -sin = ×( -1)<0,排除 C,选 A. 6 2 6 6 2 6 [方法点拨] 筛选法 筛选法也叫排除法(淘汰法),它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征, 通过分析、推理、计算、判断,排除不符合要求的选项,从而得出正确结论的一种方法. 6.(文)(2015· 南昌市一模)给出下列命题: ①若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=32

②α,β,γ 是三个不同的平面,则“γ⊥α,γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 π? 1 ?π ? 7 ③已知 sin? ?θ-6?=3,则 cos?3-2θ?=9.其中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] B [解析] 对于①, 由(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 得 a1<0, a2>0, a3<0, a4>0, a5<0, 取 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=(1+1)5=25,再取 x=0 得 a0=(1-0)5=1,所 以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-a1+a2-a3+a4-a5=31,即①不正确; 对于②,如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABB1A1⊥平面 ABCD,平面 ADD1A1⊥平面 ABCD,但平面 ABB1A1 与平面 ADD1A1 不平行,所以②不正确; B .1 D.3 )

π? 1 π π? π? 2? ? ? ?1? 对于③, 因为 sin? 所以 cos? ?θ-6?=3, ?3-2θ?=cos?2θ-3?=1-2sin ?θ-6?=1-2×?3?
2

7 = ,所以③正确. 9 (理)在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地

区居众显示可以过正常生活, 有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不 超过 5 人”, 根据连续 7 天的新增病例数计算, 下列各选项中, 一定符合上述指标的是( )

①平均数 x ≤3;②标准差 S≤2;③平均数 x ≤3 且标准差 S≤2;④平均数 x ≤3 且 极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1. A.①② C.③④⑤ [答案] D [解析] 对于⑤,由于众数为 1,所以 1 在数据中,又极差≤1,∴最大数≤2,符合要 求⑤正确;对于④,由于 x ≤3,∴必有数据 x0≤3,又极差小于或等于 2,∴最大数不超过 18 5,④正确;当数据为 0,3,3,3,6,3,3 时, x =3,S2= ,满足 x ≤3 且 S≤2,但不合要求, 7 ③错,∴选 D.
? ?x,x≤0, 7.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m ? ?x -x,x>0,

B.③④ D.④⑤

的取值范围为( 1 A.[- ,1] 2 1 C.(- ,0) 4 [答案] C

) 1 B.[- ,1) 2 1 D.(- ,0] 4

[解析] 由 g(x)=f(x)-m=0 得 f(x)=m.作出函数 y=f(x)的图象,当 x>0 时,f(x)=x2-x 1 1 1 =(x- )2- ≥- ,所以要使函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,只需直线 y=m 与函数 2 4 4 1 y=f(x)的图象有三个交点即可,如图只需- <m<0. 4

[方法点拨] 数形结合法 将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义, 作出相应的几何图形, 借 助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,综合几何图形的直观特征得到正确选项的一 种解题方法,其实质就是数形结合思想的运用. 1.运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的,因此要对有关的函数图象或 几何图形较熟悉,作图尽可能准确才能作出正确的选择. 2.讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数,直线与圆锥曲线或圆锥 曲线之间位置关系的题目,三角形解的讨论,立体几何中线面位置关系的判断,线性规划等 等问题常借助图形处理. 请练习下题: x-2y+1≥0 ? ? (2014· 长春市三调)已知实数 x、y 满足:?x<2 ,z=|2x-2y-1|,则 z 的取值 ? ?x+y-1≥0 范围是( ) B.[0,5] 5 D. [ ,5) 3

5 A.[ ,5] 3 C. [0,5) [答案] C

[解析] 画出 x,y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令 u=2x-2y-1,则 y=x u+1 1 2 5 - , 先画出直线 y=x, 再平移直线 y=x, 当经过点 A(2, -1), B( , )时, 可知- ≤u<5, 2 3 3 3

∴z=|u|∈[0,5),故选 C.

y≤x, ? ? 8.(2015· 辽宁葫芦岛市一模)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( A.5 C.7 [答案] B [解析] 作出可行域如图 ) B .6 D.8

且 z=2x+y 的最

平移直线 2x+y=0 知,当 z=2x+y 经过点 A(-1,-1)时取得最小值,经过点 B(2,- 1)时取得最大值, ∴m=2×2-1=3,n=2×(-1)-1=-3, ∴m-n=3-(-3)=6. 9.(2015· 安徽文,10)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的 是( )

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 [答案] A

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

[解析] 令 x=0?d>0,又 f′(x)=3ax2+2bx+c,由函数 f(x)的图象可知 x1,x2 是 f′(x)

=0 的两根, 由图可知 x1>0, x2>0, x1<x2, f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)=3ax2-3a(x1+x2)x+3ax1x2, 当 x∈(-∞,x1)时,f(x)单调递增,f′(x)>0,∴a>0.

?x +x =-3a>0, ∴? c ?x x =3a>0,
1 2 1 2

2b

?b<0, ? ?? 故 A 正确. ?c>0. ?

m-3 4-2m π θ 10.(文)已知 sinθ= ,cosθ= ( <θ<π),则 tan =( 2 2 m+5 m+5 m-3 A. 9-m 1 C.- 5 [答案] D m-3 B. |9-m| D.5

)

θ [解析] 由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,m 为一确定的值,因此 tan 也为一确定的 2 π π θ π θ 值,又 <θ<π,所以 < < ,故 tan >1,因此排除 A、B、C,选 D. 2 4 2 2 2 (理)图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图象是( )

[答案] B [解析] 由图知,随着 h 的增大,阴影部分的面积 S 逐渐减小,且减小得越来越慢,结 合选项可知选 B. [方法点拨] 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程,因此,有些题目不必进行准确的 计算, 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计, 便能作出正确的判断, 这就是估算法. 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法. 当题目从正面解答比 较麻烦,特值法又无法确定正确的选项时,如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象 的变化,几何体的表面积、体积等问题,常用此种方法确定选项. x2 y2 11.(文)(2014· 石家庄市质检)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、 a b F2,点 O 为坐标原点,点 P 在双曲线右支上,△PF1F2 内切圆的圆心为 Q,圆 Q 与 x 轴相 切于点 A,过 F2 作直线 PQ 的垂线,垂足为 B,则|OA|与|OB|的长度依次为( )

A.a,a a 3a C. , 2 2 [答案] A

B.a, a2+b2 D. a ,a 2

[解析] 如图,由题意知,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=|PC|+|CF1|,|PF2|=|PD|+|DF2|,又 |CF1|=|F1A|,|DF2|=|F2A|,∴|PF1|-|PF2|=|F1A|-|F2A|=|OF1|+|OA|-(|OF2|-|OA|)=2|OA| =2a,∴|OA|=a,同理可求得|OB|=a.

π (理)若方程 cos2x+ 3sin2x=a+1 在[0, ]上有两个不同的实数解 x,则参数 a 的取值 2 范围是( ) B.-3≤a<1 D.0<a<1

A.0≤a<1 C.a<1 [答案] A

π π [解析] cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+ )=a+1,可设 f(x)=2sin(2x+ ),g(x)=a+1,利 6 6 用数形结合,如图所示,有 1≤a+1<2,即 0≤a<1,即可得出正确答案.故选 A.

12.已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC =CA=2,则球面面积是( 16 A. π 9 C.4π [答案] D 2 3 16 [解析] ∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= , 则 S 球=4πR2≥4πr2= π>5π. 3 3 13. (文)各项均为正数的数列{an}, {bn}满足: an+2=2an+1+an, bn+2=bn+1+2bn(n∈N*), 那么( ) ) 8 B. π 3 64 D. π 9

A.?n∈N*,an>bn?an+1>bn+1 B.?m∈N*,?n>m,an>bn

C.?m∈N*,?n>m,an=bn D.?m∈N*,?n>m,an<bn [答案] B 1 [解析] 特值排除法:取 a1=1,a2=2;b1= ,b2=3,显然 a1>b1 但 a2<b2,排除 A; 2 当 a1=1,a2=2,b1=1,b2=2 时,a3=5,b3=4,a4=12,b4=8,排除 C、D,故选 B. (理)已知 0<a<b<c 且 a、b、c 成等比数列,n 为大于 1 的整数,那么 logan,logbn,logcn 是( ) A.成等比数列 B.成等差数列 C.即是等差数列又是等比数列 D.即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D [解析] 方法 1:可用特殊值法. 令 a=2,b=4,c=8,n=2,即可得出答案 D 正确. 方法 2:∵a、b、c 成等比数列, ∴可设 b=aq,c=aq2.(q>1,a>0) logan logan 则:logbn=log(aq)n= ,logcn=log(aq2)n= , 1+logaq 1+2logaq 可验证,logan,logbn,logcn 既不是等差数列又不是等比数列.故选 D. 14.(文)某兴趣小组野外露营,计划搭建一简易帐篷,关于帐篷的形状,有三人提出了 三种方案,甲建议搭建如图①所示的帐篷;乙建议搭建如②所示的帐篷;丙建议搭建如③所 示的帐篷.

设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是 α, 则用料最省的一种建法是( 成的面积相同) A.① C.③ [答案] D B.② D.都一样

)(四根立柱围

[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是 α,则不论哪种建法,顶部在地面的射影面 积都相等,由 S=S 射 cosα 得,不论哪种建法,所用料的面积都相等. (理)若等比数列的各项均为正数,前 n 项的和为 S,前 n 项的积为 P,前 n 项倒数的和

为 M,则有( A.P= S M

) B.P> S M

S C.P2=( )n M [答案] C

S D.P2>( )n M

S S [解析] 取等比数列为常数列:1,1,1,?,则 S=n,P=1,M=n,显然 P> 和 P2>( )n M M 不成立,故选项 B 和 D 排除,这时选项 A 和 C 都符合要求.再取等比数列:2,2,2,?,则 n S S S=2n,P=2n,M= ,这时有 P2=( )n,且 P≠ ,所以选项 A 不正确. 2 M M 15.(文)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π,π]的图象大致为( )

[答案] C [解析] 由函数 f(x)为奇函数,排除 B;当 0≤x<π 时,f(x)≥0,排除 A;又 f′(x)=- 2cos2x+cosx+1, 1 f′(0)=0,则 cosx=1 或 cosx=- ,结合 x∈[-π,π],求得 f(x)在(0,π]上的极大值点 2 2π 为 ,靠近 π,排除 D. 3 (理)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为( )

[答案] D [解析] 由函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,排除 B;当 x=π 时,y=-π,排除 A;当 x π = 时,y=1,排除 C. 2 16.(文)(2014· 浙江理,7)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图 象可能是( )

[答案] D [解析] 本题考查幂函数和对数函数图象. 选项 A 没有幂函数图象. 选项 B 中 y=xa(a≥0) 中 a>1.y=logax(x>0)中 0<a<1.不符合.选项 C 中 y=xa(x≥0)中 0<a<1,y=logax(x>0)中 a>1. 不符合.选项 D 中 y=xa(x≥a)中 0<a<1,y=logax(x>0)中 0<a<1,符合,选 D. (理)如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y=f ′(x)的图象可能是( )

[答案] A [解析] 由 y=f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减, 所以其导数 y=f′(x) 的函数值依次为正负正负,由此可排除 B、C、D. [方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择 题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间 不允许,甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用 技巧,以节省解题时间.解答选择题的总体策略是:充分利用题干和选项所提供的信息作出 判断,先定性后定量,先特殊后推理,先间接后直接,先排除后求解. 17.(2015· 四川文,5)下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是( π? A.y=sin? ?2x+2? C.y=sin 2x+cos 2x [答案] B [解析] A、B、C 的周期都是 π,D 的周期是 2π,但 A 中,y=cos 2x 是偶函数,C 中 π? B.y=cos? ?2x+2? D.y=sin x+cos x )

π y= 2sin (2x+ )是非奇非偶函数.故正确答案为 B. 4


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