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西青区2013~2014学年度第一学期高三数学期末考试(文)


西青区 2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学(文)试卷
一 题 号 1~8 分 数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间:120 分钟. 参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 V ? 球的体积公式 V ? 9~14 15 16 17 18 1

9 20 二 三 总 分

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一个 选项是符合题目要求的. 将正确答案填在下面的表格内. 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8

1,2,3? , N ? ?2,3,4?,全集 1.已知集合 M ? ?
I ?? 1,2,3,4,5?,则图中阴影部分所表示的集合为 1? A. ?
B.

M

N

?4?
2

C. ?5?

D.

?2,3?

2.命题“ ?x ? R, x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x ? 4 x ? 5 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 4 x ? 5 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 4 x ? 5 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 4 x ? 5 ? 0
2

高三数学(文)试卷 第1页(共 8 页)

3.如右图,一个等腰直角三角形的直角边长为2,分别 以三个顶点为圆心,1为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧 与斜边围成区域 M (图中白色部分) .若在此三角形内 随机取一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率为 A.

M
D. 2 ?

? 4

B.

? 2

C. 1 ?

?
4

?
2
开始 输入 p

2 ?? 2? 4.已知 sin 2? ? ,则 cos ? ? ? ? = 4? 3 ?
A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

n=0 S=0 SSS=0 n<p 输出 S

5.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? A.

7 8

B.

15 16

C.

31 32

D.

63 64

n=n+1 S=S+
1 2n

结束

?x ? 2 y ? 1 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?y ?1 ? 0 ?
A. ? 3 B. 0 C. 1 D. 3 7.已知 ? , ? 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线,下列命题中不正确的是 A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?
2 2

B.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? D.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n

8. 若直线 ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ab 的取值范围是 A. ? ? ? , ? 4

? ?

1? ?

B. ? ? ?, ? 8

? ?

1? ?

C. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

D. ? 0, ? 8

? 1? ? ?

高三数学(文)试卷 第2页(共 8 页)

第Ⅱ卷(非选择题
评卷人 得分

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题 中横线上.
2

9.已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 2i 的虚部为 10.某空间几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的

.

1 正视图

1 侧视图

2

体积是

.

2 俯视图 图1

x2 y2 2 11.已知抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 与双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线相交于 a b
一点 M ?1, m ? ,点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ,则双曲线的离心率等于 12.如右图所示,已知 C , D 是半圆周上的两个三等分点, 直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E , BD 与 CE 相交于点 F , 则 BF 的长为 .
A o

.

D

C

F E B

13 . 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?

???? ?

? 2 ??? ? 1 ??? CB ? CA , 则 6 3

???? ???? M A? M B ? _______



14 . 对 实 数 a, b 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ?

?a.......... ..a ? b ? 1 , 设 函 数 ?b.......... ..a ? b ? 1

f ?x ? ? x 2 ? 2 ? ?x ? 1?, x ? R ,若函数 y ? f ?x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数

?

?

c 的取值范围是______



高三数学(文)试卷 第3页(共 8 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 15. (本小题满分 13 分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年 龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下: B C D E 组别 A 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况 , 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委 , 其 中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 6 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委 中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

得 分

评卷人

16. (本小题满分 13 分)

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 (Ⅰ)求角 C 的大小;

a c . ? sin A 3 cos C

(Ⅱ)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

高三数学(文)试卷 第4页(共 8 页)

得 分

评卷人

17. (本小题满分 13 分)
? ?

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值的大小.

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

高三数学(文)试卷 第5页(共 8 页)

得 分

评卷人

18. (本小题满分 13 分)

设 ?a n ?是公比大于 1的等比数列, S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和.已知 S 3 ? 7 , 3a 2 是 a1 ? 3 和 a3 ? 4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

an 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . ?a n ? 1??a n?1 ? 1? 2

高三数学(文)试卷 第6页(共 8 页)

得 分

评卷人

19. (本小题满分 14 分)

设椭圆

x2 y2 3 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点为 F , 2 3 a b
4 3 . 3

线被椭圆截得的线段长为

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若

AC ? DB ? AD ? CB ? 8 , 求 k 的值.

高三数学(文)试卷 第7页(共 8 页)

cos 2? 1 ? cos 2? ? sin 2?
? ?? 1 f? ?? ? ? 得 分 3? 3 ?
评卷人

20. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ?x ? ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a?a ? 0, x ? R ? . 3 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在区间 ?? 2,0? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 1 时,设函数 f ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 M ?t ? ,最小值为 m ?t ? ,记

g ?t ? ? M ?t ? ? m?t ? ,求函数 g ?t ? 在区间 ?? 3,?1?上的最小值.

高三数学(文)试卷 第8页(共 8 页)


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