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三角函数单元检测


圆学子梦想 铸金字品牌

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单元评估检测(三)
第三章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013?哈尔滨模拟)已知角α 是第二象限角,角α 的终边经过点 P(x,4),且 cosα = ,则 tanα = ( (A) (B) ) (C)(D))

2.在△ABC 中,已知∠B=60°且 b= ,则△ABC 外接圆的面积是 ( (A) (B) (C)π (D)2π

3.下列函数中,最小正周期为π ,且图象关于直线 x= 对称的函数是 ( (A)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin( + ) (B)y=2sin(2x- ) (D)y=2sin(2x- )

)

4.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对应边分别为 a,b,c,若 a2+c2-b2= ac,则∠B 的值 为 (A) (C) 或 ( ) (B) (D) 或

5.(2012?天津高考)在△ABC 中,内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,∠C=2∠B,则 cosC= ( )
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(A)

(B)-

(C)± )

(D)

6.设 sin( +θ )= ,则 sin 2θ = ( (A)(B)(C)

(D)

7.设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得 的图象与原图象重合,则ω 的最小值等于 (A) (B)3 (C)6 ( ) (D)9

8.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.m=(bcosC,-1), n=((c-3a)cosB,1),且 m∥n,则 cosB 的值为 ( (A) (B)(C) (D))

9.(2013?东城模拟)若 2α +β =π ,则函数 y=cosβ -6sinα 的最大值和最小值为 ( (A)最大值为 2,最小值为 (B)最大值为 2,最小值为 0 (C)最大值为 2,最小值不存在 (D)最大值为 7,最小值为-5 10.在△ABC 中,若 cosAcosB=sin2 ,则△ABC 是 ( (A)等边三角形 (C)锐角三角形 (B)等腰三角形 (D)直角三角形 ) )

11.已知 tanα ,tanβ 是方程 x2+3 x+4=0 的两个根,且α ,β ∈(- , ),则α +β 等于 ( (A) ) (B)(C) 或 (D) 或-

12.(2013? 济南模拟)已知ω >0,0<φ<π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+
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φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ= ( (A) (B) (C) (D)

)

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.(2013?福州模拟)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a2-b2 = bc,sinC=2 sinB,则∠A= . , α ∈ (0, ), β ∈ (,0), 则 tan α

14. 已 知 tan( α - β )= ,sin β == .

15.(2013?潍坊模拟)已知函数 f(x)=2sin(ω x+ )(ω >0)的图象与 y 轴交于 P, 与 x 轴的相邻两个交点记为 A,B,若△PAB 的面积等于π ,则ω = .

16.( 能 力 挑 战 题 ) 函 数 y=|sinx|cosx-1 的 最 小 正 周 期 与 最 大 值 的 和 为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(12 分)(2013? 潍坊模拟)如图,角θ 的始边 OA 落在 x 轴上, 其始边、 终边分别与单位圆交于点 A,C(0<θ < ),△AOB 为等边 三角形. (1)若点 C 的坐标为( , ),求 cos∠BOC 的值. (2)设 f(θ )=|BC|2,求函数 f(θ )的解析式和值域. 18.(12 分)已知 sin(2α -β )= ,sinβ =- ,且α ∈( ,π ),β ∈(- ,0),求 sinα 的值. 19.(12 分)(2012?辽宁高考)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,
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∠A,∠B,∠C 成等差数列. (1)求 cosB 的值. (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 20.(12 分)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,∠C= ,b=5,△ABC 的 面积为 10 .

(1)求 a,c 的值. (2)求 sin(A+ )的值. 21.(13 分)(2013?德州模拟)若函数 f(x)= sin2x+2cos2x+m 在区间[0, ]上的

最大值为 2,将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变), 再将图象上所有的点向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 f(x)的解析式. (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,又 g( -A)= ,b=2,△ABC 的面积 等于 3,求边长 a 的值. 22.(13 分)以 40 千米/时的速度向北偏东 30°航行的科学探测船上释放了一个 探测气球,气球顺风向正东飘去,3 分钟后气球上升到 1 千米处,从探测船上观察 气球,仰角为 30°,求气球的水平飘移速度.

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答案解析
1.【解析】选 D.由α是第二象限角,终边过点 P(x,4)可知 x<0,又 cosα= ,故 x2+42=52,解得 x=-3, 所以 tanα= =- . 2.【思路点拨】利用正弦定理得外接圆半径,可求面积. 【解析】选 C.由 故 R=1, ∴△ABC 外接圆面积为πR2=π. 3.【解析】选 B.由 T=π可得ω=2, 又关于 x= 对称,故只有 2〓 - = , 此时,y=2sin(2x- )取得最大值,故只有 B 满足条件. 4.【解析】选 A.由 a2+c2-b2= ac 可得 ∠B= . 5.【思路点拨】在△ABC 中利用正弦定理和二倍角公式求解. 【解析】选 A.由正弦定理知 cos 2B=2cos2B-1=2〓( )2-1= . 6.【解析】选 A.由 sin( +θ)= 得 cos( +2θ)=1-2sin2( +θ)=1-2〓 = . 又 cos( +2θ)=-sin 2θ,故 sin 2θ=- . 【一题多解】选 A.由 sin( +θ)= 得 sinθ+ cosθ= , 平方得 sin2θ+ cos2θ+sinθcosθ= , 故 2sinθcosθ= -1=- ,
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=2R,得 2R=

=2,

= ,即 cosB= ,又 0<∠B<π,所以

=

及 8b=5c,∠C=2∠B 可得 cosB= ,则 cosC=

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即 sin 2θ=- . 【变式备选】已知α是第二象限角,且 sin(π+α)=- ,则 tan 2α的值为 ( (A) (B)(C) (D))

【解析】选 D.由 sin(π+α)=- 得 sinα= ,又α为第二象限角, 故 cosα=- ,所以 tanα=- , 而 tan 2α= = = =- . g(x), ), =2kπ,k∈Z,

7.【解析】选 C.f(x)=cosωx 故 g(x)=cosω(x- )=cos(ωx-

又 f(x)与 g(x)为同一函数,所以有 令 k=1,得ω=6.

【变式备选】 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ) 的简图如图,则 的值为 (A) (C) (B) (D) ( )

【解析】选 B.由图象可知 T= + = , 故 T=π, 又∵T= ,∴ω=2, 又∵|φ|< ,故 2〓(- )+φ=0,∴φ= , ∴ = = . 8.【思路点拨】由 m∥n 得△ABC 的边角关系,利用正弦定理将边化角或利用余 弦定理角化边可解.
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【解析】选 A.方法一,由 m∥n 得 bcosC=(3a-c)cosB, 即 sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB, ∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB, ∴sinA=3sinAcosB, 又∵sinA≠0,∴cosB= . 方法二:由 m∥n 得 bcosC=(3a-c)cosB, 即 b〃 =(3a-c) ,

∴c(a2+b2-c2)=(3a-c)(a2+c2-b2), ∴c(a2+b2-c2)+c(a2+c2-b2)=3a(a2+c2-b2), ∴2ca2=3a(a2+c2-b2), 即 a2+c2-b2= ac, 故 =,

∴cosB= . 9.【解析】选 D.因为 2α+β=π,所以β=π-2α, 所以 y=cosβ-6sinα=cos(π-2α)-6sinα=-cos2α-6sinα=2sin2α-6sinα-1. 因为 2α+β=π,所以 sinα∈[-1,1],故 y∈[-5,7]. 10.【解析】选 B.由 cosAcosB=sin2 = 2cosAcosB=1-cosC=1+cos(A+B), 即 2cosAcosB=1+cosAcosB-sinAsinB,
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即 cosAcosB+sinAsinB=1, 即 cos(A-B)=1, 又∵∠A,∠B 为△ABC 的内角, 故∠A-∠B=0,故∠A=∠B. 因而△ABC 是等腰三角形. 11.【解析】选 B.由已知得 tanα+tanβ=-3 <0, tanα〃tanβ=4>0, 故 tanα<0,tanβ<0, 又∵α,β∈(- , ), ∴α,β∈(- ,0), ∴α+β∈(-π,0). 又 tan(α+β)= ∴α+β=- . 12. 【解析】选 A.由题意可知 = - =π,所以函数的周期为 T=2π.即 T= =2π,所以ω=1,所以 f(x)=sin(x+φ),所以由 f( )=sin( +φ)=〒1,即 + φ= +kπ(k∈Z),所以φ= +kπ(k∈Z).又因为 0<φ<π,所以当 k=0 时,φ= , 所以选 A. 13.【思路点拨】由正弦定理角化边得 a,b,c 三边关系后用余弦定理求∠A. 【解析】由 sinC=2 即 c2=12b2, 又 a2-b2= 故 a2=7b2,
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=

= .

sinB 及正弦定理得 c=2

b,

bc=6b2,

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∴cosA=

=

=

= .

又∵0<∠A<π,∴∠A= . 答案: 14.【解析】由 sinβ=- ,- <β<0 得 cosβ= , 故 tanβ=- , tanα=tan[(α-β)+β] = = = .

答案: 15.【解析】f(0)=2sin =2〓 =1, 即 yP=1.AB= = = .

因为△PAB 的面积等于π,即 〓 〓1=π,所以ω= . 答案: 16.【解析】y=|sinx|cosx-1 = 其图象如图所示.

函数 y 的最小正周期 T=2π,最大值 ymax=- ,
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故函数 y 的最小正周期与最大值之和为 2π- . 答案:2π17.【解析】(1)由题意,∠BOC=θ+ , 因为点 C 的坐标为( , ), 所以 sinθ= ,cosθ= , 所以 cos∠BOC=cos(θ+ )= 〃 - 〃 = (2)方法一:在△BOC 中,由余弦定理, |BC|2=|OB|2+|OC|2-2|OB||OC|cos∠BOC, 所以 f(θ)=2-2cos(θ+ )(0<θ< ). 因为 0<θ< ,所以θ+ ∈( , ), 所以 f(θ)∈(1,2+ ). .

因此,函数 f(θ)=2-2cos(θ+ )(0<θ< ), f(θ)的值域是(1,2+ ).

方法二:由题意,B( ,- ),C(cosθ,sinθ), 所以|BC|2=(cosθ- )2+(sinθ+ )2=2+( 因为 0<θ< ,所以θ- ∈(- , ), 所以 f(θ)∈(1,2+ ). ). sinθ-cosθ)=2+2sin(θ- ).

所以,函数 f(θ)=2+2sin(θ- )(0<θ< ),f(θ)的值域是(1,2+

【变式备选】已知 m=(1-sin2x,sinx),n=(2,acosx)(a∈R),函数 f(x)=m〃n 且 有 f( )=0, (1)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调增区间. (2)当 x∈[- ,0]时,求 f(x)的值域.
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【解析】(1)f(x)=2(1-sin2x)+asinxcosx=2cos2x+asinxcosx=1+cos2x+ sin2x, 由 f( )=0 得 + 即 f(x)=1+cos2x=0?a=-2 ;

sin2x=2sin(2x+ )+1,

令- +2kπ<2x+ < +2kπ得- +kπ<x<- +kπ, 即单调增区间为(- +kπ,- +kπ)(k∈Z). (2)∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 即 f(x)的值域为[0,3]. 18.【思路点拨】由 sin(2α-β),sinβ可得 cos(2α-β),cosβ,即求得 cos 2α,再利用倍角公式求 sinα,注意角的范围. 【解析】∵ <α<π, ∴π<2α<2π. 又- <β<0, ∴0<-β< . ∴π<2α-β< . 而 sin(2α-β)= >0, ∴2π<2α-β< , cos(2α-β)= . 又- <β<0 且 sinβ=- , ∴cosβ= , ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ
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= 〓 - 〓(- )= . 又 cos 2α=1-2sin2α, ∴sin2α= ,

又α∈( ,π), ∴sinα= .

19.【思路点拨】 (1)结合等差数列的性质和三角形内角和定理 ,求得∠B 即得 cosB. (2)利用等比数列的性质,结合正弦定理,将边的关系转化为角的关系,借助 (1) 的结论,解决问题. 【解析】(1)由已知 2∠B=∠A+∠C 及三角形的内角和定理∠A+∠B+∠C=180°, 解得∠B=60°, 所以 cosB=cos 60°= . (2)由已知得 b2=ac,据正弦定理,设 则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC, 代入 b2=ac 得 sin2B=sinAsinC, 即 sinAsinC=sin2B=1-cos2B= . 20.【解析】(1)由已知∠C= ,b=5, S△ABC= absinC 知 10 = a〃5〃sin ,得 a=8. = = =k,

由余弦定理可得 c2=64+25-80cos =49,从而可知 c=7. (2) 由 (1) 知 cosA= sinA= = ,
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=

, 由 于 ∠ A 是 三 角 形 的 内 角 , 故

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所以 sin(A+ )=sinAcos +cosAsin = 21.【解析】(1)f(x)= =2sin(2x+ )+1+m. 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ]. 当 2x+ = ,即 x= 时, f(x)取最大值为 2,所以 2+1+m=2,m=-1, 所以 f(x)=2sin(2x+ ).

〓 + 〓 = .

sin2x+cos2x+1+m

(2)根据题意可知,将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标 不变 ), 得到 y=2sin(x+ ), 再将图象上所有的点向右平移 个单位得到函数 g(x)=2sinx,由 g( -A)= ,所以 cosA= ,sinA= ,因为△ABC 的面积等于 3,b=2, 所以 bcsinA=3,得 c=5, 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA=4+25-16=13,所以 a= .

22.【思路点拨】先根据已知作出图形,这样把实际问题转化成解三角形问题,利 用余弦定理求得. 【解析】如图,船从 A 航行到 C 处,气球飘到 D 处. 由题知,BD=1 千米, AC=2 千米, ∵∠BCD=30°, ∴BC= 千米,设 AB=x 千米, ∵∠BAC=90°-30°=60°, ∴由余弦定理得 22+x2-2〓2xcos 60°=( )2, ∴x2-2x+1=0,∴x=1.
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∴气球水平飘移速度为 =20(千米/时). 【方法技巧】运用正、余弦定理解应用题的技巧 (1)对于三角应用问题 ,关键是正确地作出图形 ,抓住条件与要求问题之间的关 系,恰当地选择三角形求解. (2)明确所需要求的边、角,①若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时,可 选择正、余弦定理求解;②若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三 角形,先解够条件的三角形 ,再逐步求出其他三角形的解 ,其中往往用到三角形 内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列方程(组)求解.

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