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2.5《等比数列前n项和》导学案(二)


《等比数列前 n 项和》导学案(二)
【学习目标】 1. 探索并学会等比数列前 n 项和公式的推导思路与方法 2. 学会灵活应用等比数列前 n 项和公式与性质解决一些相关问题 【重难点】 重点:等比数列前 n 项和公式的推导方法 难点:掌握公式的有关性质及灵活应用 【学习过程】 一.预习自学 1.等比数列的前 n 项和公式 (1) 当 q ? 1 时, S n = (2) 当 q ? 1 时, S n = =

对于等比数列相关量 a1 , a n , q, n, S n ,只三求二 2.等比数列前 n 项和的性质 (1) 数列 ?a n ?是等比数列,公比 q ? ?1 , S n 是其前 n 项和,则 S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n ,? 仍构成等比数列 (2) 若数列 ?a n ?前 n 项和公式为 S n = a(1 ? q ) (a ? 0, q ? 0且q ? 1) 则数列 ?a n ?为
n

(3) 在等比数列中,若项数为 2n, (n ? N ) , S 偶与S奇 分别为偶数项与奇数项的和,则
*

S偶 S奇

=

二.典型例题 (一)等比数列前 n 项和的基本运算 例 1.在等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a6 ?

5 , 求a4 和S5 4

变式训练:1. 在等比数列 ?a n ?中, a1 ? a n ? 66, a 2 a n ?1 ? 128, S n ? 126 ,求 n 和 q。

2.一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公比和项数

(二)等比数列前 n 项和的性质 例 2.各项均为正数的等比数列 ?a n ?,若 S10 ? 10, S 30 ? 70, 求S 40

变式训练:等比数列 ?a n ?中, S 4 ? 1, S 8 ? 3, 求a17 ? a18 ? a19 ? a 20

(三)等比数列中最值问题 例 3.数列 ?a n ?为首项是正数的等比数列,前 n 项和为 80,前 2n 项和为 6560,在前 n 项中数 值最大者为 54,求通项 a n

变式训练:数列 ?a n ?为各项都是正数的等比数列,项数是偶数,它所有项的和等于偶数项和 的 4 倍, 且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的 9 倍, 问数列 ?lg a n ? 的前 多少项和最大。

三.课堂检测 1.等比数列 ?a n ?中, a3 ? 7 , S 3 ? 21 ,则公比 q 的值为 ( A.1 B. ? )

1 2

C. 1 或 ?

1 2

D. ? 1或

1 2

2. 等比数列 ?a n ?中, 公比 q 是整数,a1 ? a 4 ? 18, a 2 ? a3 ? 12 , 则此数列前 8 项和为 ( ) A. 514 B. 513 C. 512 D.510

3. 等比数列 ?a n ?中, a6 ? a 4 ? 216 , a3 ? a1 ? 8, S n ? 40, 则公比 q= 4. 等比数列 ?a n ?中,若 S 2 ? 2, S 4 ? 6, 则a5 ? a6 ?

四.课堂小结

五.课外作业 1.数列 1, x, x ,?, x
2 n ?1

( x ? 0) 的前 n 项和为





A.

1? xn 1? x

B.

1 ? x n ?1 1? x

C.

1 ? x n ?1 1? x

D.以上都不对

2. 等比数列 ?a n ?的公比 q=2,前 n 项和为 S n ,则 A.63 B.64 C.127

S4 ? a2

( D.128

)

3. 若等比数列 ?a n ?对于一切正整数 n 都有 a n ?1 ? 1 ? 又 a1 ? 1, 则公比q为 A. 1 B. ( ) C. ?

2 S n ,其中 S n 是此数列的前 n 项和, 3

1 3

1 3
*

D. ?

2 3

4.若数列 ?x n ? 满足 lg xn ?1 ? 1 ? lg xn (n ? N ) ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x100 ? 100 ,则

lg( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x200 ) ? (
A. 102 B. 101

) C. 100
n 2 2

D. 99
2

5.已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2 ? 1 ,则 a1 ? a 2 ? ? ? a n = ( A. (2 ? 1)
n 2



B.

1 n (2 ? 1) 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n
2

1 3

6. 已知等比数列 ?a n ?的公比 q ? 1 ,若 a 2004 , a 2005 是方程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则

a2 0 0 ? a2 0 0 ? ( 6 7
A.18

) B.-18 C.9 D.36

7. 等比数列 ?a n ?中, 公比 q ? 1, 它的前 n 项和为 M, 数列 ? 值为( A. 2a q
2 n

?2? M 则 的 ? 的前 n 项和为 N, N ? an ?
n ?1

) B.

1 a1 q n ?1 2

C.

1 2 n ?1 a1 q 2

D. 2a1 q

2

8. 已知等比数列 ?a n ?的前 n 项为 S n ,且 S1 ,2 S 2 ,3S 3 成等差数列,则 ?a n ?的公比为 9. 等比数列 ?a n ?中,公比 q=2,前 99 项和 S 99 ? 56 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 的值为

10. 等比数列 ?a n ?中,公比 q=2, log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? ? log 2 a10 ? 35 ,则 a1 ? a 2 ? ?

? a10 =
11. 已知等比数列 ?a n ?的公比 q ? 1 ,前 n 项为 S n ,a3 ? 2, S 4 ? 5S 2 ,求 ?a n ?的通项公式。

a 12.已知数列{ an }中的相邻两项 a2 k ?1 、 2k 是关于 x 的方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? 2 ? 0 的两
2 k k

个根,且 a2 k ?1 ≤ a2k

(k =1,2,3,…).

(1)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2n (n≥4)(不必证明); (2)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

13. 在数列{ an }, ?bn ? 是各项均为正数的等比数列,设 cn ? (Ⅰ)数列 ?cn ? 是否为等比数列?证明你的结论;

bn ( n ? N* ) . an

(Ⅱ)设数列 ?ln a n ? , ?ln bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn .若 a1 ? 2 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和.

Sn n ? , Tn 2n ? 1


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