当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何中的最值解题策略


立体几何中的最值解题策略 湖南省张家界市武陵源一中 高飞 颜建红 电话 13170446290 邮编:427400 立体几何中的最值问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能,能综合考察 学生分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,本文举列探求 立体几何中多种形式的最值问题的求解策略 一,折线段的最值问题 问题来解决 经常通过图形的变换,如平移,旋转,展开,对称等方法,把立体图形化为平面

二面角 ?

? a ? ? 的平面角为 120 0 , 在平面 ? 内,AB ? a 于 B,AB=2;在平面 ?

内,CD ? a 于 D,CD=3,BD=1,M 是棱 a 上的一个动点,求 AM+CM 的最小值 分析:通过展开把立体图形化为平面问题来解决 解:将二面角 ? AC
2

? a ? ? 展开成平面,将
2 2

AM+CM 转化为平面上距离,则 AM+CM 的最小值为 AC,

? ? AB ? CD? ? BD2 ? ?2 ? 3? ? 1 ? 26 ? Ac ? 26

2,在单位正方体 ABCD-A 1 B1C1 D1 的面对角线 A 1 B 上存在一点 P 使得 AP+ D1 P 最短,求 AP+ D1 P 的
A

D1 A1 B1

C1

A1 E A
D C

D1
H E D

P C

B G F C

最小值。

A

B

B

4 题图

分析:通过旋转把立体图形化为平面问题来解决 解:将三角形 A
1

BA 旋 转 到 与 对 角 面 A1BCD1 共 面 时 , 如 图 , 此 时
2? 2 2

AP+

D1 P ? AD1
弦 定



AD AD 1 ?

1

? 2 AE ? 2 ? 1 ? cos 22 .50 ? 2 ?

? 2? 2









12 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ? cos135 0 ? 2 ? 2

3,O 为单位正方体 ABCD-A 1 B1C1 D1 侧面 ADD 1 A1 的中心,在面 ABCD 上存在一点 P 使得 OP+ PC1 最
D1 E A1 O D C P A O1 B B1 C1

短,求 OP+ PC1 的最小值。

分析:通过对称变换“化曲为直”

解: 作 O 关于面 ABCD 的对称点 O 1 , 由对称性知 PO=PO 1 , 此时 OP+ PC1 = O 1 P+ PC1 与面 ABCD 的交点即为所求 P 点, O1C1 OP+ PC1 的最小值为
14 2
2 2 2

? O1C1 即 O1C1
14 2

? ? 14 ? ? 12 ? ? 1 ? O1E 2 ? C1E 2 ? ? 3 2 2 4 , O1C1 =



二,截面周长、面积最值问题 通过构造目标函数转化为函数的最值,注意实际问题中的自变量的取值范围 4,如图,空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 a 和 b ,所成的角为 ? , ( a, b,? 均为常数 且 b ? a )则平行于这两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中⑴求周长的取值范围 形 EFGH 面积的最大值 分析:由线面平行性质定理先确定截面形状,用平面几何知识求出 EF,EH,最后构造函数解决 解:面 EFGH,AC ? 面 ABC,面 ABC ? 面 EFGH=EF ? ⑵求截面四边

AC // EF ,同理 HG//AC ? EF//HG, 同理 EH//FG, 又 AC // EF , EH//BD, ? ?EFG ? ? 或 ? ? ? , ?四边形 EFGH 为平行四边形,
在 ?ABC 中, EF AC EH=

?

BE BA

,?ABD 中, EH BD

?

AE AB

, 令

BE BA

EF= ax , ? x 题设知 0 ? x ? 1 则 AE ?1? x , AB

?1 ? x ?b

⑴周长 l

? 2EF ? 2EH = 2?a ? b?x ? b ? ?2b,2a ? 故周长的取值范围是 ?2b,2a ?
2

⑵S ABCD ?

? ?1 EF ? EH ? sin ? ? abx?1 ? x ?sin ? ? ?ab sin ? ?x ? 1 ab sin ? , 当x ? 2 4
1 4

1 2

时即

E 为 AB 的中点时 S max ?

ab sin ? 所以截面四边形 EFGH 面积的最大值是 1 4 ab sin ?
5,构造几何模型 (海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为

三,三视图中的最值问题

7 ,在该几何体

的正视图中,这条棱的投影是长为

6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长
) A, 2

为 a 和 b 的线段,则 a ? b 的最大值为(

2

B, 2

3

C,4

D, 2

5

解:由题意可构造长方体模型,长方体的对角线 A 1 C 为题中要求的几何体的棱长,长方体的三个面分别作 为三视图中的三个投影面,设长方体的三棱长分别为

x, y, z, 将平面 DD1C1C 作为正视图投影面,则

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 7, x 2 ? z 2 ? 6,? y 2 ? 1。侧视图中棱的投影长为 a ? z 2 ? 1 ,俯视图中棱的投
影长为 b

? x2 ? 1 。 a ? b = z 2 ? 1 + x2 ? 1 ?
? 4 所以 a ? b 的最大值为 4(当 x ? z 时取等号)

2

x 2 ?1 ?1 ? z 2 2

点评,本题主要考查对三视图的理解以及不等式最值的求法,其中解决的关键就是构造长方体模型将抽象 问题具体化 6, (大联考卷)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,求 这个几何体的最大体积与最小体积的差 解析:本题主要考查空间想象力与三视图的相关知识,属于基础题。由正视图、侧视图可知,体积最小时, 底层有 5 个小正方体,上面有 2 个,公 7 个;体积最大时,底层有 9 个小正方体,上面有 2 个,公 11 个, 故这个几何体的最大体积与最小体积的差是 4 四,面积,体积最值问题 7, 半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点, 且满足 AB ? AC, AC ? AD,AD ? AB, 求 S ?ABC 的最大值。 分析:先由球的内接长方体性质得出定值关系,再由均值不等式求出最大值

? S ?C D A

? S ?D B A

解析:设

AB ? a, AC ? b, AD ? c 。由已知可将该四面体 ABCD 补成一个球的内接长方体,长方体的
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?2 R ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 64
2 1 4

体对角线就是其外接球的直径,所以得

,又

S?ABC ? 1 ab ? 2

1 4

?a

2

? b2

?; S
1 4

?ACD
2

?1 bc ? 2

?c

2

? b2

?; S

?ADB

?1 ca ? 2

1 4

?a

2

? c2

? ,故

S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB ?
A

?2a

? 2b 2 ? 2c 2

?=32,(当且仅当 a ? b ? c ?

8 3

时取等号)

8, (全国卷)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2 求四面体 ABCD 的体积的最大

P

D

B



C C l k

第 6 题图

解析:过 CD 作平面 PCD 使 AB ? 平面 PCD 交 AB 于 P,点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 V 四面体 ABCD=V
A ? PCD

?VB ? PCD

=

1 3

? 2? 1 ? 2? h ? 2 h 2 3
4 3

。 当 直 径 通 过 AB 与 CD 的 中 点 时 ,

hmax ? 2 2 2 ? 12 ? 2 3 故 V max ?
积最大,本题难度较大。

3

点评,本题主要考查简单几何体中三棱锥的体积求法,用了“割补法” ,其中解决的关键就是分析出何时体

(2011?江西)如图,在△ ABC 中,∠B=

,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥BC,P 为 AB 边上 (1)

一动点,PD∥BC 交 AC 于点 D,现将△ PDA 沿 PD 翻折至△ PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD. 当棱锥 A′﹣PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;

考点:空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的性质。 分析: (1)令 PA=x(0<x<2)求出体积表达式,利用导数确定函数的单调性,求出函数的最大值. 解答:解: (1)令 PA=x(0<x<2) ,则 A′P=PD=x.BP=2﹣x,因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD⊥平面 PBCD,故 AP⊥平面 PBCD,所以

令 f(x)=

,由 f′(x)=

得 x=

,当 x∈(0,

)时,f′

(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈( 所以,当 x=

,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, .

时,f(x)取得最大值,即:体积最大时,PA=

点评:本题是中档题,考查几何体的体积计算,函数最大值的求法,考查空间想象能力,计算能力.

cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥 (低面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的
练习:一块边长为 10
E
P

10 5 x
A D O B C F
B A

H D

定义域.及容积 V 最大值。 练习 如图 6 所示,等腰△ABC 的底边 AB=6

E

C

6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥

AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE.记 BE

?x

V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积.

(1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?(3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值



(1)

1 1 x V ? (9 6 ? ? ? x) ? x (0 ? x ? 3 6) 3 2 6
6 3 x (0 ? x ? 3 6) ; 36 6 2 6 x ? (36 ? x 2 ) , ? x ? (0, 6) 12 12
时,



V ? 3 6x ?

(2)

V? ? 3 6 ?

V ? ? 0; ? x ? (6,3 6)

时,

V ? ? 0;

? x ? 6 时 V ( x) 取得最大值. (3)以 E 为空间坐标原点,直线 EF 为 x 轴,直线 EB 为 y 轴,直线 EP 为 z 轴建立空间直角坐标
系,则

???? A(0, 6 ? 6 6, 0), C (3, 6 ? 3 6, 0), AC ? (3,3 6, 0) ;

??? ? P(0, 0, 6), F ( 6, 0, 0) ? PF ? ( 6, 0, ?6) ,设异面直线 AC 与 PF 夹角是 ?
? cos ? ? 3 6 3 7? 6 7 ? 1 7
⑴证明:AE ? PD ⑵若 H 为 PD 上的动点,且 AB=PA=2,求

五,角的最值问题 ABCD, ?ABC

9, (山东卷)如图所示,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱性,PA ? 平面

? 600 ,E 是 BC 的中点

EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值。 解析:如图,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH。由⑴知 AE ? 平面 PAD,则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所 成角。在 R t?EHA 中,AE= 时 tan
AE ? ?EHA = AH 3 2

3 所以当 AH 最短即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大,AH 最短为 2 ,此
6 2

?

,是所以 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值

6 2

点评:本题主要考查线线垂直关系以及线面角的求法和学生的空间想象能力以及思维能力,解决⑵的关键 就是分析出何时线面角最大 练习,已知直三棱柱 ABC运动,且满足 值。

A1B1C1 中,AA 1 =AB=AC=1,AB ? AC ,N 是 BC 的中点,点 P 在 A1 B1 上

A1P ? ?A1B1 ,当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大?并求该最大角的正切

练习,在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,求异面直线 CP 与 BA1 所成的角的最
建立坐标系构造坐标函数求解

大值(P 与 A 重合时最大 600) 六,空间两点距离最值问题

10,(启东卷)如图所示,在棱长为 2 的正方体 OABC- O1 A 1B1C1 的对角线 O 1B 上有一点 P,棱 B1C1 上有 一点 Q,当 Q 在 B1C1 上运动,点 P 在 O1B 上运动时,试求

PQ 的最小值

解析:建立如图的空间直角坐标系 O- xyz ,P 在 xOy 坐标平面上的射影落在线段 OB 上,在 面 上 的 射 影 落 在 线 段

yOz 坐标平
, 设

O1C



?

P

的 坐 标

? x, y , z ?

满 足

x ? y, z ? 2 ? y

P?x1 , x1 ,2 ? x1 ?

,Q 在 B1C1 上设 Q

?x2 ,2,2? , PQ = ?x1 ? x2 ?2 ? ?x1 ? 2?2 ? ?? x1 ?2 =
? x1 ? x2 ? x1 ? 1
即?

?x1 ? x2 ?2 ? 2?x1 ? 1?2 ? 2 ,当且仅当 ?
2。

? x1 ? 1 时 PQ ? x2 ? 1

有最小值,

PQ

的最小值为

点评:找出 P 点的坐标特征及配方法是本题解决的关键。

七.拼接几何体表面积(或体积)的最值问题 11 (上海卷)有两个相同的直三棱柱,高为
2 a

,底面三角形的三边长分别为 3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三

棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的一个是四棱柱,则 a 的取值范围是________。 分析:找出全面积最小的四棱柱,然后与三棱柱全面积比较即可解题 解析 : ①拼成一个三棱柱时,只有一种情况,就是将上下底面对接,其全面积为 S 4a+(3a+4a+5a)×
4 a
三 棱柱

=2 ×

1 2

× 3a ×

=12a2+48.②拼成一个四棱柱,有三种情况, 就是分别让边长为 3a,4a,5a 所在的侧面重合,
1 2

其上下底面积之和都是 2×2× 值为 2(3a+4a)× 解得 0<a<
15 3

×3a×4a=24a ,边长最长的边所在的侧面拼在一起时,其侧面积最小, 其
2

2

2 a

=28。由题意得 24a +28≤12a2+48,

.

点评:本题主要考查学生的空间想象能力以及分类讨论思想,找出全面积最小的四棱柱是本题解决的关键。 练习(2010 年江西卷)如图所示,在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA>OB>OC,分别经过 三条棱 OA,OB,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1,S2,S3, 则 S1,S2,S3, 的大小关系为
O C D

_____________。

A

B

a (S1=S△AOD,D 为 BC 的中点,设 OA=a,OB=b,OC=c,易得 S1= 1 4
1 4

b2 ? c2 ?
S1>S2>S3。)

1 4

a 2b 2 ? a 2 c 2

,S2=

a 2b 2 ? b 2 c 2

,S3=

1 4

a 2c 2 ? b 2c 2 ? a ? b ? c ?


相关文章:
解析几何中最值问题的解题策略
解析几何中最值问题的解题策略_广告/传媒_人文社科_专业资料。解析几何中最值问题的解题策略圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。 其中, 代数法是建立...
解析几何中最值问题的九种解题策略
解析几何中最值问题的九种解题策略 高考数学高考数学隐藏>> 分享到: X 分享到: 使用一键分享,轻松赚取财富值, 了解详情 嵌入播放器: 普通尺寸(450*500pix)...
几何中最值问题专题复习教学设计
几何中最值问题专题复习教学设计_初三数学_数学_初中...【解题策略】 1.观察发现,分析总结运动变化过程中的...立体几何教案 (专题复习... 19页 5下载券 九年级...
立体几何的解题技巧
沈源 立体几何大题的解题技巧 ——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点:...设四边形一边 AD,然后写出六棱柱体积,利用均值不等式,求出体积取最值时 AD ...
立体几何中的最值
立体几何中的最值_数学_高中教育_教育专区。立体几何...下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量...提炼一些不变的、 “静态”的量, 从而达到解题的...
立体几何题型的解题技巧适合总结提高用
立体几何题型的解题技巧适合总结提高用_数学_高中教育_教育专区。第六讲 立体...CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( ) A. ...
立体几何解题技巧例说
立体几何解题技巧例说_数学_高中教育_教育专区。立体几何解题技巧例说 (一)有...36 2 ∴当 x=6 时,A′O 取得最小值 6.即当 DE 恰为△ABC 的中位线...
3. 立体几何中的最值问题
3. 立体几何中的最值问题(一) 求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解。解题 的关键是恰当地引入参变量(一元或二元) ,建立...
立体几何解题方法技巧
立体几何解题方法技巧_数学_自然科学_专业资料。专题...如果可以比较容 易建立坐标系,找出各点的坐标,那么...BEF 与底面 ABC 所成角(用一个反三角函数值表示...
立体几何解题策略
立体几何解题策略_数学_高中教育_教育专区。立体几何解题策略 2016.5.26 说明:...立体几何中的最值解题策... 5页 免费 立体几何解题中的转化策... 27页 ...
更多相关标签: