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福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考 2015 届高三 上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1.集合 A={x|x ﹣2x≤0},B={x|y=lg(1﹣x)},则 A∩B 等于( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x<1} C.{x|1<

x≤2} D.{x|1≤x<2} 考点:一元二次不等式的解法;交集及其运算;对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析:利用二次不等式求出集合 A,对数函数的定义域求出集合 B,然后求解它们的交集. 2 解答: 解:集合 A={x|x ﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},B={x|y=lg(1﹣x)}={x|x<1}, 所以集合 A∩B={x|0≤x<1}. 故选:B. 点评:本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,对数函数的定义域,考查计算能力.

2.已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,k) ,若 与 共线,则|3 + |=( A.3 B.4 C. D.5

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由 与 共线,求出 k 的值,从而计算出 3 + 及其模长. 解答: 解:∵向量 =(1,2) , =(﹣2,k) ,且 与 共线, ∴k﹣2×(﹣2)=0, 解得 k=﹣4, ∴ =(﹣2,﹣4) ; ∴3 + =(3×1﹣2,2×2﹣4)=(1,2) , ∴|3 + |= = ;

故选 C. 点评:本题考查了平面向量的坐标运算问题,是基础题. 3.已知等差数列{an}满足 a2=3,an﹣1=17, (n≥2) ,Sn=100,则 n 的值为( A.8 B.9 C.10 D.11 )

考点:等差数列的前 n 项和;等差数列. 专题:计算题. 分析:根据等差数列的前 n 项和的公式,写出求和等于 100 时的公式,整理出关于 n 的方程, 写出 n 的值. 解答: 解:∵等差数列{an}满足 a2=3,an﹣1=17, (n≥2) , Sn=100, ∵100= ∴n=10 故选 C. 点评:本题考查等差数列的前 n 项和公式,是一个基础题,题目的解决关键是看出数列中所给 的两项恰好是前 n 项和的两项. 4.给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题; a b a b ②命题“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”; 2 2 ③“?x∈R,x +1≥1”的否定是“?x∈R,x +1≤1; ④在△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点:命题的否定;正弦函数的单调性. 专题:阅读型. 分析:①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 中有一个为假命题,不一定 p、q 均为假命题;②根据 命题写出其否命题时,只须对条件与结论都要否定即得;③根据由一个命题的否定的定义可 知:改变相应的量词,然后否定结论即可;④在△ ABC 中,根据大边对大角及正弦定理即可 进行判断. 解答: 解:①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 中有一个为假命题,不一定 p、q 均为假命题; 故错; a b ②根据命题写出其否命题时,只须对条件与结论都要否定即得,故命题“若 a>b,则 2 >2 a b ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”;正确; 2 ③根据由一个命题的否定的定义可知:改变相应的量词,然后否定结论:“?x∈R,x +1≥1”的 2 否定是“?x∈R,x +1<1;故错; ④在△ ABC 中,根据大边对大角及正弦定理即可得:“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.故 正确. 其中不正确 的命题的个数是:2. 故选 C. 点评:本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等.属于基础题. ,

5.已知 0<a<1,b>1 且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=loga .三数大小关系为( A.P<N<M B.N<P<M C.N<M<P D.P<M<N

)

考点:对数值大小的比较.

专题:计算题. 分析:本题利用排除法解决.0<a<1,b>1 知 M>0.N<0,P=﹣1<0 代入选择支检(C) , (D)被排除;又 ab>1 通过对数运算可知(A)被排除.从而得出正确选项. 解答: 解:0<a<1,b>1 知 M>0.N<0,P=﹣1<0 代入选择支检(C) , (D)被排除; 又 ab>1?logaab<0?logab+logaa<0 logab<﹣1,即 logab<logb (A)被排除. 故选 B. 点评:本题考查对数值的大小,考查对数的运算法则,考查指数函数和对数函数的性质是一个 知识点比较综合的题目,注意分析题目中的大小关系. 6.对于平面 α,β,γ 和直线 a,b,m,n,下列命题中真命题是( ) A.若 a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,则 a⊥α B.若 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b C.若 a∥b,b?α,则 a∥α D.若 a?β,b?β,a∥α,b∥α,则 β∥α. 考点:命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的 位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:A.利用线面垂直的判定定理即可判断出; B.利用两个平面平行的性质定理即可判断出; C.利用线面平行的判定定理即可判断出; D.利用面面平行的判定定理即可得出. 解答: 解:A.由 a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,只有当 m 与 n 相交时,才能得到 a⊥α,因此 A 不正确; B.由 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,利用两个平面平行的性质定理即可得出 a∥b,因此正确; C.由 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α; D.由 a?β,b?β,a∥α,b∥α,只有 a 与 b 相交时,才能得出 β∥α. 故选:B. 点评:本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系,属于基础题. 7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )

A.

π

B.6π

C.

π

D.

π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥,下半部分为半圆柱组成的几何体,根据三视 图的数据求半圆柱与半圆锥的体积,再相加. 解答: 解:由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥,下半部分为半圆柱组成的几何体, 根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2,圆锥的高为 2,圆柱的高为 1, ∴几何体的体积 V=V 半圆锥+V 半圆柱= × ×π×2 ×2+ ×π×2 ×1=
2 2



故选 C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对 应的几何量.

8. 如图, 梯形 ABCD 中, AB∥CD, 且 AB=2CD, 对角线 AC、 DB 相交于点 O. 若 =( )

= , = ,

A. ﹣

B. +

C.

+

D.



考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:先证明△ DOC∽△BOA,然后根据 AB=2CD 得到 AO 与 AD 的比例关系,最后转化成 用基底表示即可. 解答: 解:∵AB∥CD,AB=2CD, ∴△DOC∽△BOA 且 AO=2OC, 则 ∴ =2 = = = ( ,∴ = )= ,而 , = + = + = ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义, 解题的关键是弄清 AO 与 AD 的比例 关系,属于基础题.

9.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中|φ|< 需把 y=f(x)的图象上所有点(

)的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图象,只

)个单位长度.

A.向右平移

B.向右平移

C.向左平移

D.向左平移

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:首先利用函数的图象求出周期,进一步利用函数周期公式求出 ω,利用在 x= 值求出 Φ 的值,最后通过平移变换求出答案. 解答: 解:根据函数的图象: 求得:T=π 进一步利用: 当 x= 所以:φ= 即函数 f(x)= 要得到 f(x)=sin2x 的图象只需将函数 f(x)= 向右平移 个单位即可. |φ|< 函数的

故选:A 点评:本题考查的知识点:利用函数的图象求函数的解析式,主要确定 A、ω、Φ 的值,函数 图象的平移变换问题. 10.函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( )

A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

专题:计算题. 分析: 通过函数的图象的奇偶性、 定义域、 验证函数的表达式, 排除部分选项, 利用图象过 ( 0) ,排除选项,得到结果. 解答: 解:依题意函数是奇函数,排除 D,函数图象过原点,排除 B,图象过( ,0)显 ,

然 A 不正确,C 正确; 故选 C 点评:本题是基础题,考查函数的图象特征,函数的性质,考查学生的视图能力,常考题型.

11.已知函数

,则使方程 x+f(x) =m 有解的实数 m 的取值范围是(

)

A. (1,2) B. (﹣∞,﹣2) C. (﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (﹣∞,1]∪ 12.定义域为的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上任意一点, 其中 x=λa+(1﹣λ)b∈,已知向量 称函数 f(x)在上“k 阶线性近似”.若函数 为( A. 考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:易得此人一共走了 8 次,由等比数列的前 n 项和公式可得. 解答: 解:∵1+2+3+4+5+6+7+8=36, ∴此人一共走了 8 次 ∵第 n 次走 n 米放 2 颗石子 2 3 8 ∴他投放石子的总数是 2+2 +2 +…+2 = =2×255=510
n

,若不等式

恒成立,则

在上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围

)

故答案为:510 点评:本题考查等比数列的求和公式,得出数列的首项和公比是解决问题的关键,属基础题.

15.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 +f(3)+f(4)+f(5)=0. 考点:奇偶函数图象的对称性. 专题:常规题型;计算题;压轴题. 分析:先由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,结合对称性变形为

对称,则 f(1)+f(2)

,f(﹣x)=f(1+x)=﹣f(x)

f(2+x)=﹣f(1+x)=f(x) ,再由 f(0)=0 求解. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 ∴f(﹣x)=﹣f(x) , , 对称,

∴f(﹣x)=f(1+x)=﹣f(x)f(2+x)=﹣f(1+x)=f(x) , ∴f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0 故答案为:0 点评:本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用. 16.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含 边界) ,则 的最大值为 9.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:先以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,求出其它各点的坐标, 然后利用点的坐标表示出 题求解即可. 解答: 解:如图, ,把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问

以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,由于菱形 ABCD 的 边长为 2,∠A=60°,M 为 DC 的中点,故点 A(0,0) ,则 B(2,0) ,C(3, ) ,D(1, ) ,M(2, ) . 设 N(x,y) ,N 为菱形内(包括边界)一动点,对应的平面区域即为菱形 ABCD 及其内部区 域.

因为 令 z=2x+ ,则



=(x,y) ,则 ,

=2x+

y,

由图象可得当目标函数 z=2x+ y 过点 C(3, )时,z=2x+ y 取得最大值, 此时 =9. 故答案为 9. 点评:本题主要考查向量在几何中的应用,以及数形结合思想的应用和转化思想的应用,是对 基础知识和基本思想的考查,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列{ 值范围. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (I)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出; (II)由于 = = .可得数列{ }的前
2

}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,Tn<m 恒成立,求实数 m 的取

*

n 项和为 Tn= 得 .

,由于任意 n∈N ,Tn

*

,对任意的 n∈N ,Tn<m 恒成立,可

*

解答: 解: (I)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1, * 当 n=1 时适合上式,∴an=2n﹣1. (n∈N ) . (II)∵ = = .

2

2

∴数列{

}的前 n 项和为 Tn=

+…+

= ∵任意 n∈N ,Tn ∴ .
*

, ,对任意的 n∈N ,Tn<m 恒成立,
*

∴实数 m 的取值范围是



点评:本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

18.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, =(cosA,cosC) , =( 2b, a) ,且 ⊥ .

c﹣

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 的长为

,求边 a 的值.

考点:余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 专题:解三角形. 分析: (1)通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数,求出 A 的余弦函数值, 即可求角 A 的大小; (2)通过 a=b,利用余弦定理,结合 BC 边上的中线 AM 的长为 ,即可求出边 a 的值 解答: (本题 12 分) 解: (1)由 ⊥ ,∴ ? =0 (2b﹣ )cosA= 所以(2sinB﹣ ∴2sinBcosA= 则 2sinBcosA= 所以 cosA= sinB ,于是 A= … )cosA= , … … …

(2)由(1)知 A= 设 AC=x,则 MC=
2 2

,又 a=b,所以 C= , AM=
2

,在△ AMC 中,由余弦定理得 … ,

AC +MC ﹣2AC?MCcosC=AM 即 x +( ) ﹣2x?
2 2

解得 x=2,即 a=2… 点评:本题考查余弦定理的应用,向量的数量积的应用,三角形的解法,考查计算能力. 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (Ⅰ)求证:BC⊥A1B; (Ⅱ)若 ,AB=BC=2,P 为 AC 的中点,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积.

考点:直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)欲证 BC⊥A1B,可寻找线面垂直,而 A1A⊥BC,AD⊥BC.又 AA1?平面 A1AB, AD?平面 A1AB,A1A∩AD=A,根据线面垂直的判定定理可知 BC⊥平面 A1AB,问题得证; (Ⅱ)根据直三棱柱的性质可知 A1A⊥面 BPC,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积可转化成求三棱锥 A1﹣PBC 的体积,先求出三角形 PBC 的面积,再根据体积公式解之即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴A1A⊥平面 ABC,又 BC?平面 ABC, ∴A1A⊥BC ∵AD⊥平面 A1BC,且 BC?平面 A1BC, ∴AD⊥BC.又 AA1?平面 A1AB, AD?平面 A1AB,A1A∩AD=A, ∴BC⊥平面 A1AB, 又 A1B?平面 A1BC, ∴BC⊥A1B; (Ⅱ)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥AB. ∵AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上, ∴AD⊥A1B. 在 Rt∠△ABD 中, ,AB=BC=2, ,∠ABD=60°, 在 Rt∠△ABA1 中, .

由(Ⅰ)知 BC⊥平面 A1AB,AB?平面 A1AB, 从而 BC⊥AB, ∵P 为 AC 的中点, ∴ = . .

点评:本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及棱柱、棱锥、棱台的体积,考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力.

20.二次函数 f(x)满足 f(0)=f(1)=0,且最小值是



(1)求 f(x)的解析式; (2)实数 a≠0,函数 g(x)=xf(x)+(a+1)x ﹣a x,若 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递 减,求实数 a 的取值范围. 考点:二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由题意可设 f(x)=ax(x﹣1) (a≠0) ,又由最小值是 ,联合解之即可;
2 2

(2)表示出 g(x) ,求导数,令导函数小于 0 得到函数的单调减区间,让区间(﹣3,2)为 函数的单调递减区间的子集即可. 解答: 解: (1)由二次函数 f(x)满足 f(0)=f(1)=0.设 f(x)=ax(x﹣1) (a≠0) , 则 又 f(x)的最小值是
2

. ,故 .解得 a=1.

∴f(x)=x ﹣x; … 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 (2)g(x)=xf(x)+(a+1)x ﹣a x=x ﹣x +ax +x ﹣a x=x +ax ﹣a x. 2 2 ∴g'(x)=3x +2ax﹣a =(3x﹣a) (x+a) .__________… 由 g'(x)=0,得 当 ,或 x=﹣a,又 a≠0,故 .… . …

,即 a>0 时,由 g'(x)<0,得

∴g(x)的减区间是

,又 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递减,



,解得

,故 a≥6(满足 a>0) ; .





,即 a<0 时,由 g'(x)<0,得

∴g(x)的减区间是

,又 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递减,



,解得

,故 a≤﹣9(满足 a<0) .



综上所述得 a≤﹣9,或 a≥6. ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣9]∪ 点评: 本题考查已知三角函数的模型的应用问题, 解题的关键是根据所研究的问题及图形建立 三角函数关系,再利用三角函数的知识求最值,得出实际问题的解,本题第二小问求面积的最 值,利用到了三角函数有界性,本题考查了函数的思想及转化的思想,本题运算量较大,计算 时要严谨. 22.已知函数 f(x)=﹣x +2lnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值;
2

(Ⅱ)若函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, (i)求实数 a 的值; (ii)若对于“x1,x2∈,不等式 ≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题:综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数 f(x)的最大值; (Ⅱ) (ⅰ)求导函数,利用函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点,可得 x=1 是函数 g(x) 的极值点,从而可求 a 的值; (ⅱ)先求出 x1∈时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1;x2∈时,g(x2)
min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=

,再将对于“x1,x2∈,不等式

≤1

恒成立,等价变形,分类讨论,即可求得实数 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)求导函数可得:f′(x)=﹣2x+ =﹣ 由 f′(x)>0 且 x>0 得,0<x<1;由 f′(x)<0 且 x>0 得,x>1. ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数. ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=﹣1. (Ⅱ)∵g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣ . (x>0)

(ⅰ)由(Ⅰ)知,x=1 是函数 f(x)的极值点, 又∵函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点, ∴g′(1)=1﹣a=0,解得 a=1. (ⅱ)∵f( )=﹣ ∵﹣9+2ln3<﹣ ﹣2,f(1)=﹣1,f(3)=﹣9+2ln3,

﹣2<﹣1,即 f(3)<f( )<f(1) ,

∴x1∈时,f(x1)min=f(3)=﹣9+2ln3,f(x1)max=f(1)=﹣1 由(ⅰ)知 g(x)=x+ ,∴g′(x)=1﹣ 当 x∈时,g′(x)>0. 故 g(x)在上为增函数. ∵ 而 2< < ,g(1)=2,g(3)= , .

,∴g(1)<g( )<g(3)

∴x2∈时,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= ①当 k﹣1>0,即 k>1 时, 对于“x1,x2∈,不等式 ≤1 恒成立,等价于 k≥max+1

∵f(x1)﹣g(x2)≤f(1)﹣g(1)=﹣1﹣2=﹣3, ∴k≥﹣2,又∵k>1,∴k>1. ②当 k﹣1<0,即 k<1 时, 对于“x1,x2∈,不等式 ∵f(x1)﹣g(x2)≥f(3)﹣g(3)=﹣ ∴k≤ 又∵k<1,∴k≤ . . ]∪(1,+∞) . ≤1 恒成立,等价于 k≤min+1 ,

综上,所求的实数 k 的取值范围为(﹣∞,

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学 思想,属于中档题.


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