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1 第2章 第1节 函数及其表示


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第一节 函数及其表示 [考情展望] 1.考查给定函数(或抽象函数)的定义域.2.以分段函数为载体,考查函数的求值、值域及参 数的范围等问题.3.以新定义、新情景为载体,考查函数的表示方法、最值等问题. 一、函数及映射的概念 函数 映射 两集合 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 A、B 如果按某一个确定的对应关系 如果按

照某种确定的对应关系 f,使对 对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 于集合 A 中的任意一个 x,在集合 B 中 f:A→B 元素 x,在集合 B 中都有唯一的 都有唯一确定的数 f(x)和它对应 元素 y 与之对应 称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 名称 函数 的一个映射 二、函数的定义域、值域、相等函数 1.定义域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域. 2.值域: 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 3.相等函数: 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. 三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 四、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为 分段函数. 分段函数三要点 (1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写 成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (2)一个函数只有一个定义域,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式. (3)求分段函数的值域,应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合,再求出它们的 并集. 【基础自测】 1.给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-3+ 2-x是一个函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ④f(x)=lg x2 与 g(x)=2lg x 是同一函数. 其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.下列函数中,与函数 y=x 相同的是( ) x2 A.y= B.y=( x)2 x C.y=lg 10x D.y=2log2x 1 2 ? 3.已知 f? ? x?=x +5x,则 f(x)=________. x +1,x≤1, ? ? 4.设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=________. ?x,x>1, ? 5.(陕西高考)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x的定义域为 M,则?RM 为( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)
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6.(浙江高考)已知函数 f(x)= x-1.若 f(a)=3,则实数 a=________. 考向一、映射和函数的概念 1.下列图像中不能作为函数 y=f(x)图像的是( )

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D


2、 设集合 A= {a, b, c} , B= {x, y, z} , A 到 B 的四种对应方式如图所示, 其中是 A 到 B 的映射的是 (

A (1) (2) (3) B (1) (2) (4) C (1) (3) (4) D (2) (3) (4) 典例示范 例 1 已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射?并说明理由。 ⑴ A=N,B=Z,对应法则: “取相反数” ; ⑵A={-1,0,2},B={-1,0,1/2},对应法则: “取倒数” ; ⑶A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则: “求平方根” ; 练习:下列对应是否为从 A 到 B 的映射?哪些为 A 到 B 的函数? (1)A=R,B=R,f:x→y=

1 ; x?1

(2)(2)A={2a|a ? N ? } ,B={b|b=

1 1 ,n ? N ? } ,f:a→b= ; n a

(3)A={x|x ? 0} ,B=R,f:x→y,y2=x; (4)A={平面α 内的矩形} ,B={平面α 内的圆} ,f:作矩形的外接圆。 例 2 对应元素的互求 已知映射 f:A→B 中,A=B={ (x,y)|x ? R,y? R} ,f: (x,y)→(x+y,x2-y) ,求: (1)求 A 中元素 (1,2)在 B 中的对应元素; (2)求与 B 中元素(1,1)对应的 A 中元素。

练习:6. 设 f : A ? B 是从 A到 B 的一个映射,其中 A ? B ?( { x, y) x, y ? R}, f : ( x, y )

? (3x ? y ? 1, x ? 2 y ? 1) ,那么 A 中元素 ?1, ?2? 的象是_________________

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巩固拓展 1、关于从集合 A 到集合 B 的映射,下面的说法错误的是( ) A.A 中的每一个元素在 B 中都有象 B.A 中的两个在 B 中的象必不同 C.B 中的元素在 A 中可以没有原象 D.象集 C 不一定等于 B 2、下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是 ( ) A.A=R,B={x|x>0 且 x∈R},x∈A,f:x→|x| + B.A=N,B=N ,x∈A,f:x→|x-1| C.A={x|x>0 且 x∈R},B=R,x∈A,f:x→x2 D.A=Q,B=Q,f:x→

1 x

3、已知集合 P ? x 0 ? x ? 4 , Q ? y 0 ? y ? 2 , 下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是映射的是( A f :x? y?

?

?

?

?



1 x 2

B. f : x ? y ? lg?2-x?

1 x 3
考向二

C. f : x ? y ?

2 x 3

D. f : x ? y ?

1 2 x 8

求函数的定义域

+(x-1)0 的定义域是( ) 12+x-x2 A.[-3,1)∪(1,2] B.(-3,2) C.(-3,1)∪(1,2) D.[-3,1)∪(1,2) ln?2+x-x2? (2)函数 f(x)= 的定义域为( ) |x|-x A.(-1,2) B.(-1,0)∪(0,2) C.(-1,0) D.(0,2) 例二(1)(大纲全国卷)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( 1 ?1,1? -1,- ?C.(-1,0) A.(-1,1) B.? D. 2? ? ?2 ? 例一 (1)郑州模拟)函数 y= (2)已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1],则 f(x)的定义域为________. 对点练习①已知函数 f ( x ) 的定义域是 [0,1] ,求 f (

)

x

2

? 1) 的定义域.

②已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 [0,1],求f (1 ? 3x) 的定义域.

当堂练习: 1、 f ( x ) = lg(1 ?

1 ) 的定义域为 ( x
5

) A、 { x | x ? 0} B、{x | x ? 1} C、{x | 0 ? x ? 1} D、{x | x ? 0或x ? 1} 的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围?

2、若函数 f ( x ) =

ax ? 1

a x ? 4ax ? a ? 3

2

3、 f ( x ) =

1 ,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是 x ?1
25 ? x ? lg cos x 的定义域是
2

.

4、函数 y ? 5、若函数 f (

2 ) 的定义域是 [?1,1] ,则函数 f (log
x

2

x ) 的定义域是

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考向三 (1)已知 f(x+1)=lg x,求 f(x);

求函数的解析式

(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x); 1? (3)已知 f(x)+2f? ?x?=x(x≠0),求 f(x).

对点训练 (1)已知 f(1-cos x)=sin2x,求 f(x)的解析式;
1? (2)若函数 F(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,且 F? ?3?=16,F(1)=8,求 F(x) 的解析式. (3)已知 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),x∈(-1,1),求 f(x)的解析式.

考向三 [012] 分段函数及其应用 2x3,x<0, ? ? ? ?π?? (1)(福建高考)已知函数 f(x)=? π ,则 f?f?4??=________. ?-tan x,0≤x<2 ?
x ? ?2 ,x∈?-∞,1?, (2)设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范围是________. ?x ,x∈[1,+∞?, ?


规律方法 3 应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解, 特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论. 对点训练 (1)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 c ,x<A, x f(x)= (A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 c ,x≥A A

? ? ?

分钟,那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 ? ?-x-1?-1≤x<0?, (2)已知函数 f(x)=? 则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为( ) ?-x+1?0<x≤1?. ? 1 1 -1,- ?∪(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.?-1,- ?∪(0,1) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.? 2? 2? ? ? 思想方法之二 分段函数求值妙招——分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对 每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各 个击破,再积零为整”的解题策略. 分段函数体现了数学的分类讨论思想,求解分段函数求值问题时应注意以下三点: (1)明确分段函数的分段区间. (2)依据自变量的取值范围,选好讨论的切入点,并建立等量或不等量关系. (3)在通过上述方法求得结果后,应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内. ? ?2x+a,x<1, 例题: (洛阳模拟)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1. ?
? ?lg x,x>0, 练习:(安庆模拟)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值为( ?x+3,x≤0. ? A.-3 B.-3 或 1

)

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C.1 一、选择题 1,x>0, ? ? 1.(高考)设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0,

D.-1 或 3 课时限时检测(四) 函数及其表示

? ?1,x为有理数, g(x)=? 则 f(g(π))的值为( ?0,x为无理数, ?

)

A.1 B.0 C.-1 D .π 2.下列各对函数中,是同一个函数的是( ) ? x≥0, ?1, |x| 3 A.f(x)= x2,g(x)= x3B.f(x)= ,g(x)=? x ?-1, x<0 ? 2n+1 2n+1 2n-1 2n-1 C.f(x)= x ,g(x)=( x) ,n∈N* D.f(x)= x· x+1,g(x)= x?x+1?
?b ? 3.已知 a,b 为实数,集合 M=?a,1?,N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 ? ?

a+b 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D .± 1 4.(高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

图 2-1-1 5.(模拟)如图 2-1-1,是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若 用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

6.(模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则 函数解析式为 y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题( lg?4-x? 7.(联考)函数 f(x)= 的定义域为________. x-3 1 ? ?log2x,x≥1, 8.(高考)函数 f(x)=? 的值域为________.

? ?2x,x<1

9.已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=3x+2,则 f(x)的函数解析式为________. 三、解答题( ? x2-1?0 10.(10 分)求函数 y= 的定义域. log2x+1?32-4x?
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11.(12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,函数 y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方,试确定实数 m 的取值范围.

12.(13 分)如图 2-1-2 所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开始 沿着折线 BC,CD,DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为 x,△PAB 的面积为 y.

图 2-1-2 (1)写出 y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并写出函数的值域.

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