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平面向量的概念及其线性运算导学


平面向量概念与线性运算
一、 知识梳理: ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记 . 1. 向量的有关概念 (1).向量:既有 作: ; 的向量,叫单位向量. ;规定:零向量与任何向量

(2).平行向量(或共线向量)记作: (3).相等向量: (4).相反向量: 2.向量 加法与减法 (1).向量加法按 向量加运算律:交换律: (2).向量减法作法: 3.实数与向量的积 (1). 实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 它的长度与方向规定如下: 长度: 方向: (2).运算律 4.共线定理: 二、题型探究 探究一:平面向量的基本概念 例 1.给出下列命题: ①若| a |=| b |,则 a = b ; 条件; 法则或

法则;

;结合律:

?

?

? ?

②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要

??? ?

????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ;
③若 a = b , b = c ,则 a = c ; 其中正确的序号是 。

例 2:设 a 0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |· a 0 (2) 若 a 与 a0 平行,则 a =| a |· a 0 ;

1

(3)若 a 与 a 0 平行且| a |=1,则 a = a 0 。上述命题中,假命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

探究二:平面向量的线性运算

A a B b C O

F

? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? 心,若 BA = a , BC = b ,试用 a , b 将向量 OE , BF , ??? ? ??? ? BD , FD 表示出来。

例 3:如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中

E

D

→ → → 例 4:(山东卷)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 → → B.PC+PA=0 → → → D.PA+PB+PC=0

(

)

→ 1→ → 1→ → → 【变式训练】平行四边形 AOBD 对角线交点 C,BM= BC,CN= CD,OA=a,OB= 3 3 → → → b,用 a、b 表示OM、ON、MN.

题型三 平面向量共线定理及应用 例 3 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; → → → (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

[变式训练] 设 e1 , e 2 是两个不共线的向量,则向量 m=- e1 +k e 2 (k∈R)与向量 n= e 2 -2 e1 共线的充要条件是 A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=

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(

)

1 2

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