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高三数学(理科)练习题(一)


高三数学 (理科)练习题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类 型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,

再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试题卷上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用涂改液、 胶带纸、 修正带. 不 按以上要求作答的答案无效. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
k k 率: P (k ) ? Cn p (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2?n). n?

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 M ? {x || x ? 1|?| x ? 2 |} , N ? {x | x2 ? x ? 0} ,则 M ? N ? A. { x | ?

1 1 1 ? x ? 0} B. {x | ?1 ? x ? ? } C. {x | ?1 ? x ? 0} D. {x | x ? ? } 2 2 2

2. 已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)(1 ? i) 在复平面内对应的点为 M ,则“ a ? 1 ”是“点 M 在 第四象限”的 A.充要条件 C.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 命题 p : ?x ? R ,函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ,则 A. p 是假命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 B. p 是假命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 C. p 是真命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 D. p 是真命题; ?p : ?x ? R , f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ? 3 4. 一个样本容量为 9 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列 ?an ? ,若 a3 ? 8 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数 列,则此样本的中位数是 A. 12 5. B. 13 C. 14 D. 15 函数 y ? x 图象
2

如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内

下方的点构成的区域. 向 D 中随机投一点, 则该点落入 E 中

的概率为

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

6. 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 , 且侧棱 AA1 ? 底面 ABC , 其正视图是边长为 2 的正方形, 则此三棱柱侧视图 的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 4

7. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? c 在区间 [0,1] 上单调递减,且 f (m) ? f (0) ,则实数 m 的取值范围是 A. (??, 0] B. [2, ??) C. (??, 0] ? [2, ??) D. [0, 2]

8. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0, ? ? A. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的解析式是
y
2

?
6

) ( x ? R)
) ( x ? R)

B. f ( x) ? 2sin(2? x ? C. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

?
3

) ( x ? R) ) ( x ? R)

O 1 3
?2

5 6

x

D. f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
3

9. 以抛物线 y 2 ? 20x 的焦点为圆心,且与双曲线 A. x 2 ? y 2 ? 20x ? 64 ? 0 C. x ? y ? 10x ? 16 ? 0
2 2

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线都相切的圆的方程为 16 9

B. x 2 ? y 2 ? 20x ? 36 ? 0 D. x ? y ? 10x ? 9 ? 0
2 2

10. 设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中错误 的为: ..

A. 若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? C. 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ?

B. 若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ? D. 若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

11. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 AB ? AC ? 2 AO ,且 OA ? AC ,则向量 BA 在向量 BC 方向 上的投影为 A.

??? ? ??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

3 2
n

B.

3 2
k

C. 3

D. ?

3 2
8

12. (1 ? x) 的展开式中, x 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个的方法总数.下列各式的展开式中 x 的 系数恰能表示从重量分别为 1, 2,3, 4?10 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为 8 克的方 法总数的选项是 A. (1 ? x)(1 ? x )(1 ? x )?(1 ? x )
2 3 10

B. (1 ? x)(1 ? 2 x)(1 ? 3x)?(1 ? 10 x)

C. (1 ? x)(1 ? 2 x2 )(1 ? 3x3 )?(1 ? 10 x10 ) D. (1 ? x)(1 ? x ? x2 )(1 ? x ? x2 ? x3 )?(1 ? x ? x 2 ? ?? x10 ) 网第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为___________; x?2 14. 阅读右侧的程序框图, 输出的结果 S 的值为___;
13. 曲线 y ? 15. 若 2 x ? y ? 2 ,则 9 ? 3 的最小值为________;
x y

开始

16. 将 石 子 摆 成 如 图 的 梯 形 形 状 . 称 数 列 “梯形数” .根据图形的构成,则数列的第 10 项

S ? 0, n ? 1
n ? 2011?
是 否

5, 9,14, ? 2为 0,

a10 = ________;
输出 S 结束 出必要的文字说 所对的边分别为

S ? S ? sin
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写 明、证明过程或演算步骤. ?ABC 的三个内角 A, B, C 17.(本小题满分 12 分)

n? 3

n ? n ?1

?? ? ? ?? 3 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) , n ? (cos B cos C ,sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2 (Ⅰ)求 A 的大小;
? (Ⅱ)现在给出下列三个条件: ① a ? 1; ② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ; ③ B ? 45 , 试从中再选择两个条件以确定 ?ABC ,

求出所确定的 ?ABC 的面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分). 18. (本小题满分 12 分) 某区组织群众性登山健身活动,招募了 N 名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分 为 15 ? 20, 20 ? 25, 25 ? 30,30 ? 35,35 ? 40, 40 ? 45 等六个层次,其频率分布直方图如图所示: 已知 30 ? 35 之 间的志愿者共 8 人. (Ⅰ)求 N 和 20 ? 30 之间的志愿者人数 N1 ; (Ⅱ)已知 20 ? 25 和 30 ? 35 之间各有 2 名英语教师, 现从这两个层次各选取 2 人担任接待工作,设两组的选 择互不影响,求两组选出的人选中都至少有 1 名英语 教师的概率是多少? ( Ⅲ )组织者从 35 ? 45 之间的志愿者 (其中共有 4 名女教 男教师)中随机选取 3 名担任后勤保障工作 ,其中女教师 概率和分布列. 19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体是由以等边 的棱柱被平面 DEF 所截而得,已知 FA ? 平面 ABC , CE ? 3 , O 为 BC 的中点, AO // 面 EFD .

频率 组距

0.04
0.02 00.01
0
15 20 25 30 35 40 45 岁数

0

师, 其余全为

的数量为 ? ,求 ? 的

E F
三角形 ABC 为底面 AB ? 2 , AF ? 2 ,

A

D

C
O
B

(Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求证:面 EFD ? 面 BCED ; (Ⅲ)求平面 DEF 与平面 ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)求证:数列 ?bn ? 为等差数列;

1 1 * , bn ? ,其中 n ? N . 4 an 2 an ? 1

1 1 1 1 ? ? ?? ? n ? bn ?1 (n ? N? , n ? 2) 2 3 4 2 ?1 1? x ? ln x . 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax
(Ⅱ)求证: (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是增函 数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 1 , k ? R 且 k ?

1 1 ,设 F ( x) ? f ( x) ? (k ? 1) ln x ,求函数 F ( x) 在 [ , e ] 上的最大值和最小值. e e

22. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C1 : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 : 下焦点及左、右顶点均在圆 O : x ? y ? 1 上.
2 2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、 a 2 b2

(Ⅰ)求抛物线 C1 和椭圆 C 2 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A 、 B 两不同点,交 y 轴于点 N ,已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求证 : ?1 ? ?2 为定值. (Ⅲ)直线 l 交椭圆 C 2 于 P、Q 两不同点, P、Q 在 x 轴的射影分别为 P?、Q? , OP? OQ ? OP?? OQ? ? 1 ? 0 ,若 点 S 满足: OS ? OP ? OQ ,证明:点 S 在椭圆 C 2 上.

??? ?

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??? ? ??? ? ???? ???? ?


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