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全国中学生物理竞赛课件9:动量与动量守恒


? 动量定理

? I ? ?p ? Ft ? mv ? mv
t

0

? 动量定理的应用
(1)遵从矢量性与独立性原理
(2)合理与必要的近似

(3)尽量取大系统与整过程 ? Ii ? ?pi

如图所示,顶角为2θ、内壁光滑的圆锥体倒立竖

直固定在P点, 中心轴PO位于竖直方向,一质量为m的质点以角速度ω绕竖直轴沿圆锥内壁做匀 速圆周运动,已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点,求质点 m从a点经半周运动到b点,圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量.

分析受力: 运动半周动量变化量为 其中轨道半径r由 合外力冲量为
2

?p ? 2mv ? 2m?r
g
2

O

mg cot ? ? mr? r ?

?? IG ? mg 重力冲量为 ? 弹力冲量为 I ? mg 2cot ? 2 ? ? 2 ? ? N
?

g? I ? 2m cot ?

m a cot ? 2θ

b

ω
?

F向

P

mg
I

I G IN

如图所示,质量为M的小车在光滑水平面上以v0向左匀速运动,一质量为m 的小球从高h处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h.设M>>m,碰 撞时弹力FN>>mg,球与车之间的动摩擦因数为μ,则小球弹起后的水平速度为 A.

小球与车板相互作用,小球动量发生变化:水平方向动量 从0→mvx,竖直方向动量大小不变,方向反向,对小球分别 在竖直、水平方向运用动量定理。 设小球与车板相互作用时 间t,小球碰板前速度vy,由 由动量定理

2 gh

B. 0

C. 2? 2 gh

D. –v0

1 2 mv y ? mgh 得 v y ? 2 gh 2

水平方向 ? FN ? t ? mv x

竖直方向 FN ? t ? m 2 gh ? ? m 2 gh Ff v 0

?

?

FN h

m

vx ? 2? 2 gh

M

如图所示,滑块A和B用轻线连接在一起后放在水平桌面上,水平恒力F 作用在B上,使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动.已知滑块A、B与水平桌 面之间的动摩擦因数均为μ.力F作用时间t后A、B连线断开,此后力F仍作用于 B.试求滑块A刚刚停住时,滑块B的速度大小?两滑块质量分别为mA、mB.

? ? F ? ? m ? m g ? ? A B ? ? ? t ? ? mA ? mB ?V 其中 F ? ? ?F m? m g mB ? g ?? ?? m A ? BA V ? ? g ?T ? T ? ?t ?t ? mA ? ? A ? mB ? ?m g? Bm ? F ? ? ? m A ? mB ? g ? ? Ft ? ? vB ? ? mB ? m A ? mB ? g

而在t时间内对系统有

? ? F ? ? ? mA ? mB ? g ? ? ? ? t ? T ? ? mB vB

设绳断时A、B速度为V,绳断后A运 动时间为T;则在t+T时间内对系统有

A

B

F

如图所示,椭圆规的尺AB质量为2m,曲柄OC质量为m, 而套管A、B质量均为M.已知OC=AC=CB=l;曲柄和尺的重心分别在其中点上; 曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量;开始时曲柄水平向右,求:曲柄转成竖直向上 过程中,外力对系统施加的平均冲量.

专题9-例1

确定曲柄m、尺2m、套管A、B 质心的速度,确定质点系的动 量变化,对系统运用动量定理
曲柄、尺的质心及套管A、B的速度相关关系如示

?p

p0

m? l ? 动量 p ? 2 B 2 尺质心速度 vc ? ? l 动量 pc ? 2m? l O v An v 套管A速度 A pAB ? 2 M ? l vC 套管B速度 5 ? ? 系统动量大小不变为 p ? ? m ? 2 M ? ? l vC A 2 ? ? 由动量定理,在从水平变成竖直过程中 v C C v ?5 ? B I ? pt ? p0 ? 2 ? m ? 2 M ? ? l v An ? t 2 ? ? O
曲柄质心速度v ?

?l

A

pt C

如图所示,光滑的水平面上停着一只木球和载人小车,木 球质量为m,人和车总质量为M,已知M∶m=16∶1,人以速率v沿水平面将木球 推向正前方的固定挡板,木球被挡板弹回之后,人接住球后再以同样的对地速率 将球推向挡板.设木球与挡板相碰时无动能损失.求人经过几次推木球后,再也 不能接住木球?

专题9-例2

对木球与载人小车这个系统, 动量从初时的0,到最终末动 量至少为(M+m)v,是墙对 木球冲量作用的结果:

n ? 2mv ? ? m ? M ? v

17 n? 2

经9次推木球后,再也接不住木球

一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为l、质量为M.开始时, 绳的两端都固定在邻近的挂钩上,自由地悬着,如图(甲).某时刻绳的一端松 开了,缆绳开始下落,如图(乙),每个挂钩可承受的最大负荷为FN(大于缆绳 的重力Mg),为使缆绳在下落时,其上端不会把挂钩拉断,Mg与FN必须满足什 么条件?假定下落时,缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动.

专题9-例3

松开左缆绳,自由下落h时,左侧绳速度为 2 gh
挂钩所受的力由两部分组成:一是承静止悬挂在 钩下的那部分缆绳的重;一是受紧接着落向静止 部分最下端的绳元段的冲力F,挂钩不被拉断,这 两部分力的总和不得超过钩的最大负荷

研究左边绳处于最下端的极小段绳元Δx:受右 边静止绳作用,使之速度在极短时间Δt内减为0, A 由动量定理 F ? ? ?t ? ?m ? v
因时间极短内,忽略重力冲量,元段的平均速度取

B ?x

v ?

Mgh 2 gh M F ? ? ?t ? ? ? ?t ? 2 gh F ? ? l l 2 当左边绳全部落下并伸下时,h=l F ? ? Mg
挂钩不断的条件是

2 gh 甲 2

C

?x


FN > 2 Mg

一根铁链,平放在桌面上,铁链每单位长度的质量为 λ.现用手提起链的一端,使之以速度 v竖直地匀速上升,试求在从 一端离地开始到全链恰离地,手的拉力的冲量,链条总长为L. 图示是链的一微元段离地的情景,该段微元长 ?x ? L ? n ? 0 ? n 该段微元质量 ?m ? ? ? ?x

设该元段从静止到被提起历时Δt, 那么竖直上升部分长x的链条在手的拉 力F、重力的冲量作用下,发生了末段 微元动量的变化,由动量定理:

?x Δx F ? ? xg= ? ? ? v ? ? ? v2 ?t ? L? 2 2 F ? ? v ? ? xg ? ? gvt ? ? v t ? ? 0, ? 力随时间线性变化,故可用算术平均力求整个过程手拉力F的总冲量: ? v ? 2 ? gL 1 ? ? L 2 ? ? Lv I ? ? ? ? v ? ? gL ? ? ? 2 2v ? ? v

? F ? ? xg? ?t ? ?m ? v

F

如图所示,水车有一孔口,水自孔口射出.已知水面 距孔口高h,孔口截面积为a,水的密度为ρ.若不计水车与地面的摩 擦,求水车加于墙壁的水平压力.
先求水从孔口射出的速度v

1 2 ? gha ? ?x ? ? a ? ?x ? v v ? 2 gh 2

对处于孔口的一片水由动能定理:

h

对整个水车,水平方向受墙壁的压力F,在时间Δt内有质量为

? 2 gh ? ?t ? a的水获得速度 2 gh
由动量定理:

F ? ?t ? ? 2 gh ? ?t ? a ? 2 gh

F ? 2 ? ahg
水车加于墙壁的压力是该力的反作用力 ,大小为

F ? ? 2 ? ahg

逆风行船问题: 如图,帆船在逆风的情况下仍能 只依靠风力破浪航行.设风向从B向A,.位于A点处的帆船要想 在静水中最后驶达目标B点,应如何操纵帆船?要说明风对船帆的 作用力是如何使船逆风前进达到目标的.

专题9-例4

设计如示航线
航向与风向成θ 角 风帆与船行方向成φ 角

F风对帆 A
航线

风向

B

F1
φ

F2
船帆 风向 B

? A 只要适时地改变 船身走向,同时 调整帆面的方位, 船就可以依靠风 风吹到帆面,与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射 角折回.风与帆的碰撞,对帆面施加了一个冲量, 力沿锯齿形航线 使船受到了一个方向与帆面垂直的压力F,这个力 沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和F2,F2正 从A驶向B.
是船沿航线前进的动力,F1则有使船侧向漂移的作 用,可以认为被水对船的横向阻力平衡.

续解

将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞! F1 设帆面受风面积为S,空气密度为ρ,风速为 v,在Δt时间内到达帆面并被反弹的空气质 F风对帆 量是 ?m ? ? ? v sin ? ? ? ? ?t ? S

?

?

反弹空气动量变化量

?

φ

F2
Δmv

?p ? 2? ? v sin ?? ? ? ? ? ?t ? S ? v sin ?? ? ? ? 2 2 ? 2 ? S ? v sin ?? ? ? ? ? ?t
由动量定理,帆(船)对风的冲力 帆(船)受到的前进动力F2为

Δp

Δmv

F ??t ? 2? S ? v 2 sin2 ?? ? ? ? ? ?t F2 ? 2? S ? v 2 sin2 ?? ? ? ? ? sin?

船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关,帆面 与船行方向的夹角φ适当,可使船获得尽大的动力.

放风筝时,风沿水平方向吹来,要使风筝得到最大上 升力,求风筝平面与水平面的夹角.设风被风筝面反射后的方向遵 守反射定律.
Fy 设风筝面与水平成θ角,风对 风筝截面 风筝的冲力为F,其中作为风 ? F 筝升力的分量为Fy,风筝面积 m ? ? vt ? S sin ? 为S,右图给出各矢量间关系 ? 由动量定理:

mv mΔv θ

F ? t ? 2 ? v S sin ? ? cos ? 90 ? ? ? mv 2 2 Fy ? 2?v S sin ? ? cos? 2sin4 ? cos2 ?
2

? 2? Sv 2
2 2

? 2? Sv

2

根据基本不等式性质

1 当2cos ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 时 3 4 3 ? Sv 2
2 2

2 ? 1 ? cos ? ? cos2 ?

2

Fy ? Fmax ?

9

? 反冲模型

0 ? m1v1 ? m2 v 2

※系统总动量为零

Sm 2 在系统各部分相互作用过程的各瞬间,总有 v1 : v2 ? : ?t ?t 0?m s ?m s
m1

※平均动量守恒 m M 0?m 1 v1 ? m2 v 2 ※常以位移表示速度 S
1 m1 2 m2

1 1 2 ?Ek ? mv ? MV 2 2 2

※须更多关注“同一性”与“同时 “同一性” : 取同一惯性参考系描述 m m 的动量 1 、 2 性”
“同时性”:同一时段系统的总动量守恒

一条质量为M、长为L的小船静止在平静的 水面上,一个质量为m的人站立在船头.如果不计水对 船运动的阻力,那么当人从船头向右走到船尾的时候, 船的位移有多大? 设船M对地位移为x,以向右方向为正,用 位移表速度,由 运算法则

0 ? m ? L ? x ? ? Mx
人对船的位移 向右取正

m 船对地的位移 x?? L ±未知待求 m? M

x

O

S人

“-”表示船的位移方向向左

如图所示,质量为M、半径为R的光滑圆环静止 在光滑的水平面上,有一质量为m的小滑块从与O等高处 开始无初速下滑,当到达最低点时,圆环产生的位移大 小为________.

设圆环位移大小为x,并以向左为正:

R M O

m

有 0 ? m ? R ? x ? ? Mx

m 即 x?? R M?m
“-”表示环位移方向向 右

R x

气球质量为M,下面拖一条质量不计的软梯,质量为m 的人站在软梯上端距地面高为H,气球保持静止状态,求⑴人能安全 到达地面,软梯的最小长度;⑵若软梯长为H,则人从软梯下端到上 端时距地面多高? ⑴以向下为正,用位移表速度

⑵以向上为正,用位移表速度,

0 ? mH ? M ? ? L ? H ? M?m L? H M H

0 ? mh ? M ? ? H ? h ? M h? H M?m

H

L-汽球相对人 上升高度即绳 梯至少长度 人上升高度h

如图所示浮动起重机(浮吊)从岸上吊起m=2 t 的重物.开始时起重杆OA与竖直方向成60°角,当转到杆与竖直 成30°角时,求起重机的沿水平方向的位移.设起重机质量为 M=20 t,起重杆长l=8 m,水的阻力与杆重均不计.

专题9-例5

水平方向动量守恒,设右为正,起重机位移x

? 0 ? Mx ? m ? l sin 60 ? sin 30 ? x ? ? ? ?
重物对起重机水 平位移
30 60

x ? ?0.266m

x

如图所示,三个重物m1=20 kg, m2=15 kg,m3=10 kg,直角梯形物块M=100 kg.三重物由一绕过两个定滑轮P和Q的绳 子相连.当重物m1下降时,重物m2在梯形物块的上面向右移动,而 重物m3则沿斜面上升.如忽略一切摩擦和绳子质量,求当重物m1下 降1m时,梯形物块的位移. P m2 M
60

设右为正,梯形木块位移x, 系统水平方向动量守恒:

Q
m1

? 0 ? ? m1 ? M ? x ? m2 ? h ? x ? ? m3 ? h cos 60 ? x ? ?

x ? ?0.15m

典型情景:

vm m

M

vm m M

vM

v m m

M F
M

vm m F

模型特征:由两个物体组成的系统,所受合外力为零而相互作用力为一对恒力. 规律种种: ⑴动力学规律

两物体的加速度大小与质量成反比. ⑵运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题. ⑶动量规律 系统的总动量守恒.
⑷能量规律 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量:

1 1 2 2 ? Fsm ? mvmt ? mvm 0 2 2
1 1

2 2 力对“木块”做功等于“木块”动能增FsM ? Mv Mt ? Mv M 0 2 2 量: 1 1 1 1 2 2 2 2 一对力的功等于系统动能增量: F ( sM ? sm ) ? mvmt ? MvMt ? ( mv0 ? MvM 0)

2

2

2

2

[“一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算 图象1 图象2

图象描述
v vm
?1 f tan m

v
vm

f tan m
?1

vmt vMt 0

d

0
mvm ? MvM M?m

d
tan?1 f M

t

f tan M t0
?1

vM t

“子弹”穿出”木块”

“子弹”迎击”木块”未穿出

图象描述
v vm

v
vm

f tan m
?1

f tan m
?1

mvm M?m

Δsm
tan?1 f M

mvm M?m

≤d
tan?1 f M

0 t

t

0

t0

“子弹”未穿出”木块”

“子弹”与”木块”间作用一对恒力

以初速度v0在木板A上滑动,小木块B与木板A间的摩擦因数为μ小木块B滑到木板A 的右端与挡板发生碰撞.已知碰撞过程时间极短,且碰后木板 B恰好滑到木板A的 2 3v 0 左端就停止滑动.求:⑴若 B与挡板碰撞后的运动过程中,摩擦力 ? L ? 在小木块 , 160 g 对木板A做正功还是做负功?做多少功?⑵讨论木板A和小木块B在整个运动过程中, 是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的?如果不可能,说明理由;如 果可能,求出能向左滑动,又能保证木板A和小木块B刚好不脱离的条件.

这是典型的“子弹打木块”模型:A、B间相互作用着一 对等大、反向的摩擦力Ff=μMg而系统不受外力,它的变化在 于过程中发生一系统内部瞬时的相互碰撞.小木块B与挡板碰 撞前、后及整个过程均遵从动量守恒规律;A、B两者加速度 大小与质量成反比;碰撞前木块“追”木板,碰撞后则成木 v0 板“追”木块 . v B 系统运动v-t图 v0 B A 2 L a ? ?g a ? ?g
A

Mv0 ? ? M ? 1.5 M ?V 2 V ? v0 5

由系统全过程动量守恒

3

B

L
VA

A L B t +t

V

0

A t

t 续解

由图象求出B与挡板碰后时间t2:
1 1 2 5 L ? t 2 ? t2 ? a A ? a B ? ? ? t2 ? ? g 2 2 3

查阅
6L 得t2 ? 5? g

v0 碰后板A的速度VA: V ? V ? 2 ? g ? t A 2?

3

2

v-t图

由动能定理,摩擦力在碰后过程中对木板A做的功 2 2? ? v0 1 ?2 ? 27 2 W f ? ? 1.5 M ? ? v0 ? ? ? ? ? Mv0 2 4? ? 400 ?? 5 ? ? B能有向左运动的阶段而又刚好不落下A板应满足两个条件:
2 2 2 v 一是B与挡板碰后B速度为负: 0 VB ? v0 ? ? g ? t2 < 0 ? L > 5 15 g

一是一对摩擦力在2L的相对位移上做的功不大于系统动能的增量,即 :

2 2v0 3v0 木块B可在与挡板碰撞后的一段时间内相对 当 < ?L ? 时 15 g 20 g 地面向左运动并刚好相对静止在板A的左端

1 1 5 ?2 ? 2 ? mg ? 2l ? Mv0 ? ? M ? v0 ? 2 2 ?5 ? 2 2

2

2 3v 0 ?L ? 20 g

推证两光滑物体发生弹性碰撞时,接近速度与分离 速度大小相等,方向遵守“光反射定律”,即入射角等于反射角.

专题9-例7

如图,设小球与平板均光滑,小球与平板发生完全弹性碰撞, 木板质量为M,小球质量为m,沿板的法向与切向建立坐标系, 设碰撞前,板的速度为V,球的速度为v,碰撞后,分别变为 ∵两者发生完全弹性碰撞,系统同时满足动量与动能守恒: ? ? mv ? MVx ? mv x ? MVx x 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ? ? M Vx ? V y ? m v x ? v y ? M Vx ? V y ? m v ?x2 ? v ?y2 2 2 2 2 ? v y ? v ?y Vy ? Vy

V ?和v ?

y

?

?

?

?

?

?

?

?

v
0

x

2 2 2 ?2 ? Vy?2 ? m v 2 ? ? M Vx2 ? Vy2 ? Vx ? v ? v ? v x y x y

?

M ?Vx ? V ? ? x ? m ? v? x ? vx ?

? ?

?

V ? ? v? Vx ? Vx ? v x x ?? v x ? Vx ? ? ? v ? x ? Vx

两式相除

球与木板的接近速度与分离速度大小相等 ? v y ? Vy v?y ? Vy 方向: tan? ? ? tan ? ?
v ?V v? ? V ?

如图,质量为m的小球放在质量为M的大球顶上,从高h处释放,紧挨着 落下,撞击地面后跳起.所有的碰撞都是完全弹性碰撞,且都发生在竖直轴 上.⑴小球弹起可能达到的最大高度?⑵如在碰撞后,物体M处于平衡,则质量 之比应为多少?在此情况下,物体m升起的高度为多少?

专题9-例8

弹弓效应

v ? 2 gh 大球与地完全弹性碰撞,速度变为 v ? ? 2 gh
大球刚触地时两球速度v均为

⑴ 当M

m时

相对大球,小球以2v速度向下接近大球,完 全弹性碰撞后以2v速度向上与大球分离!


小球与大球碰撞后对地速度变为

对小球,由机械能守恒

V ? 3 2 gh

? mgH m H m ? ⑵若碰后大球处于平衡, 则 Mv ? mv ? m ? 2v
2

1 m 3 2 gh 2

?

?

9h h

由 m 2 2 gh

1

?

?

2

? mgH

M:m? 3 H ? 4h

如图所示,AB部分是一光滑水平面,BC部分是倾角为θ(0 <θ≤90 °)的光滑斜面(θ=90°时为竖直面).一条伸直的、 长为l的匀质光滑 柔软细绳绝大部分与B棱垂直地静止在AB面上,只是其右端有极小部分处在BC面 上,于是绳便开始沿ABC下滑. ⑴取θ=90°,试定性分析细绳能否一直贴着ABC 下滑直至绳左端到达B?⑵事实上,对所给的角度范围(0<θ≤90 °), 细绳左 端到B棱尚有一定距离时,细绳便会出现脱离ABC约束(即不全部紧贴ABC)的 现象.试求该距离x.

⑴θ=90°

A

B

细绳贴着ABC下滑,到达B处的绳元水平速度 越来越大,这需要有更大的向左的力使绳元的水 平动量减为零,但事实上尚在水平面上的绳段对 到达B处的绳元向左的拉力由力的加速度分配法
l? x? x x? x ? ? FT ? ? mg ? ? ? 1 ? ? ? ? mg l ?l l? l ? ?

C C x

l mg 当x ? 时,FTm ? 2 4

可知随着下落段x增大,FT先增大后减小!

细绳做不到一直贴着ABC下滑直至绳左端到达B
续解

⑵设有x长的一段绳滑至斜面时绳与棱B间恰无作用,此时绳的 速度设为v,则由机械能守恒: v A FT x B x x 1 2 mg ? sin? ? mv v ? x g sin ? v l 2 2 l Δmg θ
考察处在B处的微元绳段Δm受力: C

微元段Δm在水平冲量作用下水平动量由Δmv变为Δmvcosθ
由动量定理

v ? ?t ? mv ? cos ? ? 1? ? FT cos ? ? FT ? ?t ? l
l? x? x ? FT ? mg sin ? ? ? l ?l ?

其中

l x? 2

即细绳左端到B棱尚有一半绳长的距离时,细 绳便会出现不全部紧贴ABC的现象 !

质量为0.1 kg的皮球,从某一高度自由下落到水平地板上,皮 球与地板碰一次,上升的高度总等于前一次的0.64倍.如果某一次皮球上升最大高 度为1.25 m时拍一下皮球,给它一个竖直向下的冲力,作用时间为0.1 s, 使皮球 与地板碰后跳回前一次高度.求这个冲力多大?

球与地碰撞恢复系数 e ? 0.64 ? 0.8
1

某一次,皮球获得的初动能

Ek

Ft ? ? ? 2m
2

2

Ft ? Ft ? ? ? 落地时速度由 1 2 mv1 ? mgh ? ? v1 ? 2 gh ? 2 2m m2
起跳时速度

2

v2 ? 2 gh
2 gh
2

代入数据得

5 F 2 0.12 25 ? 0.12

? 0.8



Ft ? ? 2 gh ? m2

?e

F ? 3.75N

一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度α=60°的光滑斜 板上,从高H处无初速度地滑下来,落到水平地板上.袋与地板之间 的动摩擦因数μ=0. 7,试问袋停在何处?如果H=2 m,α=45°, μ=0.5,袋又将停在何处? 本题要特别关注从斜板到水平地板的拐点,袋的 动量的变化及其所受的摩擦力与支持力冲量情况. 在μ=0.7 α= 60°情况下 p ? m 2 gH
到水平板时两个方向动量减为零所需冲量可由动量定理确定:
px ? p cos 60
60

即水平分量先减为零! ∴袋就停在斜面底端 在μ=0.5 α= 45°情况下

? ? F f t x ? px t x p cos 60 3 ? ? ? < t ? p sin 60 F t ? p 0.7 ? 3 N y y y ? ?
tx 1 p cos 45 ? ? t y ? p sin 45 0.5

1

p

p y ? p sin 60

>1

竖直分量先减为零!
续解

竖直分量减为0时,水平动量设为px′,则由动量定理

? ? p y ? p? x ? px

? m 2 gH sin45 ? m 2 gH cos45 ? p? x
m gH p? x ? 2
袋将离开斜板底端,在水平地板滑行S后停止,由动能定理

2 ? px mgH ? mgS ? ? 2m 8

H 得S ? ? 0.5m 4
袋将停在水平地板上距斜板底端0.5m处

一球自高度为h的塔顶自由下落,同时,另一完全相 同的球以速度 v ? 2自塔底竖直上抛,并与下落的球发生正碰. gh 若两球碰撞的恢复系数为e,求下落的球将回跃到距塔顶多高处?

h t? 2 gh 此时两球速率相同 v ? v ? 1 2
到两球相遇历时

两球相对速度(亦即接近速度)

2 gh

由牛顿碰撞定律

e?

gh 1 2 h 上球下落了 h1 ? gt ? 2 2 4 ? ? v1 ? 碰后两球分离速度 v2
v 2 ? v1

gh ? ? v1 ? ?e ∵两球完全相同 ? v 2 2
设回跳高度距塔顶H,由机械能守恒

? ? v1 ? ? e 2 gh v2

? e ? ? ?

gh ? ?h ? ? 2 g ? H ? ? ? ? 2 ? ?4 ?

2

h 2 H ? ?1 ? e ? 4

如图所示,定滑轮两边分别悬挂质量是2m和m的重物A和B, 从静止开始运动3秒后,A将触地(无反跳).试求从A第一次触地后:⑴经过多少时 间,A将第二次触地?⑵经过多少时间系统停止运动?

⑴整个系统一起运动时 a ? 2mg ? mg ? g

初时质量为2m的物块A离地高度

A着地后,绳松,B以初速度 v1=at1=10m/s竖直上抛
经2
v1 ? 2s g

3m 1 g 2 h ? ? ? t1 ? 15m 2 3

3

落回原处并将绳拉紧! m

2m

此瞬时A、B相互作用,B被拉离地面,由动量守恒
v1 at1 mv1 ? 3mv 2 ? v 2 ? ? 3 3

此后,两者以v2为初速度、a=g/3做匀变速运动(先反时针匀减 速、后顺时针匀加速),回到初位置即A第二次触地须经时间

v1 v1 v1 ?2 ?4 则A的第一、二次着地总共相隔 2 g g g

?t ? 2

v2 v1 ?2 ? 2s a 3? g / 3

? 4s
续解

⑵第二次着地时两物块的速度
v1 ? ? v2 ? v2 3

查阅

v1 A着地后,绳松,B以初速度 v1/3竖直上抛, 经 2 落回原处 3g

并将绳拉紧! A再次被拉离地面时两物块的速度由
v1 v1 m ? 3mv 3 ? v 3 ? 2 3 3

此后,两者以v3为初速度、a=g/3做匀变速运动(先反时针匀减 速、后顺时针匀加速),A第三次触地须经时间

则A的第二、三次着地总共相隔 2 v1 ? 2 3v1 ? 4 v1 3g 32 g 3g
以此类推,到第n次着地时

v3 v1 v1 ?t ? 2 ? 2 2 ?2 a 3 ? g/3 3g

T ? 4lim ?
n??

? 6s

1 ? ? 1 ? 3 n? 2 v1 ? n? 2 ? 4 lim 3 g n?? ? 1 ? 1 ? 3 ?

? 自开始运动到最终停止共用 ? ? T ? t0 ? 9 s ? ? ?

如图所示,质量为m1、m2的物体,通过轻绳挂在双斜面的两 端.斜面的质量为m,与水平面的夹角为α1和α2,整个系统起初静止,求放开后斜 面的加速度和物体的加速度.斜面保持静止的条件是什么?忽略所有摩擦.

设斜面加速度为a,而物体对斜面的加速度为a0

在所设坐标方向上

0 ? m1 ? a0 cos ?1 ? a ? ? m2 ? a0 cos ?2 ? a ? ? ma
a a0
m1

由系统水平方向动量守恒

T ? m1 g sin ?1 ? m1a cos ?1 ? m1a0 a1 m2 g sin ? 2 ? T ? m2 a cos ? 2 ? m2 a0
由上三式解得

对m1、m2分别列出动力学方程

T

T

a

m1 a m

m2 α2

a N22 m2a

? m1 cos?1 ? m2 cos?2 ?? m1 sin?1 ? m2 sin?2 ? g 2 ? m1 cos?1 ? m2 cos?2 ? ? ? m1 ? m2 ? m ?? m1 ? m2 ?

a?

m g 11 α

a

m2 g

X 续解

m1 ? m2 ? m ?? m1 sin ?1 ? m2 sin ?2 ? g ? 而a0 ? 2 ? m1 cos?1 ? m2 cos?2 ? ? ? m1 ? m2 ? m ?? m1 ? m2 ?
a1 ?
2 2

查阅

? m1 sin?1 ? m2 sin?2 ? ? m1 ? m2 ? m ? ? ? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? ? 2 ? m1 ? m2 ? m ?? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? cos ? 1 g 2 ? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? ? ? m1 ? m2 ? m ?? m1 ? m2 ?
a2 ?

? m1 sin ?1 ? m2 sin ?2 ?
当a=0,即

? m1 ? m2 ? m ? ? ? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? ? 2 ? m1 ? m2 ? m ?? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? cos ?2
2 2

? m1 cos ?1 ? m2 cos ?2 ? ? ? m1 ? m2 ? m ?? m1 ? m2 ?
2

g

m1 sin ?1 ? m2 sin ? 2 ? 0 m1 sin ? 2 ? 时 m2 sin ?1

斜面静止!

小滑块A位于光滑的水平桌面上,小滑块B处在位于桌面上的 光滑小槽中,两滑块的质量都是m,并用长L、不可伸长、无弹性的轻绳相连,如 图.开始时A、B间的距离为L/2,A、B间连线与小槽垂直.今给滑块A一冲击,使 其获得平行于槽的速度v0,求滑块B开始运动时的速度.

mv0 ? mv B ? mv A ? cos ?
v0 vA 3 ? v0 ? v B ? ? sin ? 30? ? ? ? sin 30? tan ? ? 3v ? v B 0 vA vB v 0 ? vA ? sin 60? sin ? 60? ? ? ? cos ? ? 3 tan ?
v0
又由图示矢量几何关系有 :

沿槽方向系统动量守恒:

当轻绳刚拉直时滑块A速度由v0 变为vA,速度增量沿绳方向, 滑块B速度设为vB,沿槽;各 B 速度矢量间关系如图, 其中vn表 示A对B的转动速度.

v0
A

Δv 30 v0 vB v A α vn A vB

v0 ? vB ? v0 ? 3vB ? v0 ? v0 ? v B ? 3 ? v0 ? vB ? ? vB ? 1 ? 3 tan ? 1? 4v0 3v ? v

3 v B ? v0 7
B

30

如图所示,将一边长为l、质量为M的正方形平板放在劲度系数 为k的轻弹簧上,另有一质量为m(m<M)的小球放在一光滑桌面上,桌面离平 板的高度为h.如果将小球以水平速度v0抛出桌面后恰与平板在中点O处做完全弹 性碰撞,求: ⑴小球的水平初速度v0应是多大? ⑵弹簧的最大压缩量是多大?

由图示关系

⑴设球对板的入射速度v方向与竖直成θ,m v0 大小即平抛运动末速度 2 gh v? ? h cos ? 平抛运动初速度 v0 ? 2 gh tan ? l tan ? l M O 而 tan ? ? ? 则 v ? 2 gh 0 2 4h k 4h ? ⑵根据弹性碰撞性质,设球与板碰后速度变为v′, 板速度为V ,球离开板时对板的速度大小为v, v 2 gh 方向遵守反射定律,矢量关系如图示: v?
由动能守恒 1 1 1 ? 2 2 2 1 2 1 1 MV y mv ? m ? v ?x2 ? v ?y2 ? ? MV 2 ? 2 m ? v sin ? ? ? 2 m ? v cos? ? V ? ? 2 v 2 2 2
x

此后板在运动中机械能守恒,可得板向下运动 Mg 2m 2 Mgh 1 2 1 2m 2 Mgh 2 ?l ? ? kx ? MV x ? M?m k 2 2 k M?m k

? ?v? x ? v sin ? ? ? ? ?v y ? v cos? ? V 2m cos ? 得V ? v ? 2m 2 gh M?m M?m

v? v

则弹簧总压缩量为 V
?

物体以速度v0=10m/s从地面竖直上抛,落地时速度 vt=9 m/s,若运动中所受阻力与速度成正比,即f=kmv,m为物体的质 量,求物体在空中运动时间及系数k.

本题通过元过程的动量定理,用微元法求得终解! 本题研究过程中有重力冲量与阻力冲量,其中阻 力冲量为一随时间按指数规律变化的力!
F fi ? kmvi

设上升时间为T,取上升过程中的某一元过程:该过程小球上升了T/n(n→ ∞)时间,速度从vi减少为vi+1,各元过程中的阻力可视为不变为

T ? m ? v i ? v i ?1 ? 根据动量定理,对该元过程有 ? mg ? kmvi ? ? n g ? kv i ? 1 kT vi ? vi ?1 T 1? ? ? 即 g ? kv i n g ? kv n
? ?g g? ? kv kvii? g ? kv i ? kT ?1 1? ? g ? kv i n
i

合外力

? Fi ? mg ? kmvi

g ? kv i ? 1 kT ? 1? 对该式变形有 g ? kv i n 在各相同的上升高时间T/n微元中,合外力大小成等比数 列递减、因而动量的增量是成等比数列递减的,其公比为 续解

对上式两边取极限:

? g ? kvi ?1 ? kT ? ? kT ? 则? ? 1 ? ? ?1? ? ? ? ? g ? kv n n ? ? ? ? i ? ?
n

n

n

? n ? ? ? kT ??? ? kT ? ? ??

e ? kT

T 上升过程的动量定理表达为: mgT ? km ? vi ? n ? mv0
同理,对下落T′过程由

0 ? g ? kv kT ? i ?1 ? lim ? ? ? lim ? 1 ? ? n ?? n ?? g ? kv n ? ? i ? ? g 1 g ? 10k ? kv0 T ? ln g ? 10k k g

? n ?? ?? kT

? ??? ? kT ? ?

上升高度

T? ? mg ? kmvi ? ? n ? m ? vi ? vi ?1 ?

对此式两边取n次方当n→∞极限:

g ? kvi ?1 kT ? ? 1? g ? kvi n
n

? g ? kv0 ? i ?1 ? lim ? ? lim 1? ? ? ? n ?? n ?? kv g ? kv n ? ? it ? ?

n ? kT ? kT ? ? kT ?

续解

1 g T ? ? ln k g ? 9k 下落高度 ? T 下落过程的动量定理表达为: mgT ? ? km ? vi ? n ? mvt 上、下落过程的动量定理表达式相加为: mg ? T ? T ? ? ? m ? v ? v ? t 0

g kT ? ?e g ? kv t

查阅

vt ? v0 T ? T? ? g

? 1.9 s ? 1.9
-1

上、下落过程的时间表达式相加为:

t ?T

1 g ? 10k ? T ?? ln k g ? 9k

k ? 0.058 s

如图所示,四个质量均为m的质点,用同样长度且不可伸长的 轻绳联结成菱形ABCD,静止放在水平光滑的桌面上.若突然给质点A一个历时极 短沿CA方向的冲击,当冲击结束的时刻,质点A的速度为v,其它质点也获得一定 的速度,∠BAD=2α(α<π/4).求此质点系统受冲击后所具有的总动量与总动 能.

由图知 v ? vc ? 2vn sin ?
对质点D

D点速度与A点速度及C 点速度相关关系如示: v

v

A

I1 2α vD

vC vn

D
?

I2 vC
vn y

C

设AD绳上力的冲量为I1,CD绳上力的 冲量为I2,则由动量定理

B x

v ? vc ? I1 ? I 2 ? cos ? ? mv Dx ? m 2

对质点C

2 I 2 cos ? ? mv c v ? vc ? ? p ? m ? v ? vc ? 2 ??
?
1 E? m 2

? I1 ? I2 ? sin ?

? mv Dy? m v ? vc cot ? 2

cos 2? vc ? v 2 1 ? 2sin ?

4mv 2 2 ? 1 ? 2sin ?

2 2mv ? 2 ? v ? v ? ? 2 c cot ? ? ? ? ? v ? vc ? ? 2 2 1 ? 2sin ? 2 ? ? ? ?

2


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