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高一数学正弦余弦定理3


第五章
5.9

向量

正弦定理、余弦定理(三)

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

一.复习回顾:

a b c ? ? ? 2R 1、正弦定理: sin A sinB sinC
(其中:R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式:

/>S?ABC

3、正弦定理的变形:

1 1 1 ? bc sinA ? ca sinB ? absinC 2 2 2

a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C

sin A : sinB : sinC ? a : b : c

a b c sin A ? , sinB ? , sinC ? 2R 2R 2R

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2

变形

c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2

在 ?ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关三角形问题时, 经常用到,要记熟并灵活地加以运用:

b ?c ?a cos A ? 2bc 2 2 2 c ?a ?b cos B ? 2ca 2 2 2 a ?b ?c cosC ? 2ab
2 2 2

A? B ? C ??; sin( A ? B ) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C
A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

例1、根据所给的条件,判断?ABC的形状。

()a cosB ? b cos A ()a cos A ? b cos B 1 2 a b c () 3 ? ? cos A cos B cosC
解:1 ? a cos B ? b cos A () a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ?a ? ( ) ? b?( ) 2ac 2bc

?a ? c ? b ? b ? c ? a
2 2 2 2 2

2

? a ? b ? ?ABC为等腰三角形。 法二:由a cosB ? b cos A得

?2a ? 2b
2

2

2 R sin A cos B ? 2 R sin B cos A ? sin A cos B ? sin B cos A ? 0 即sin A ? B) 0 ( ?

?A? B

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

()a cos A ? b cos B 2

解: ) a cos A ? b cos B (2 ? b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ?a ? ( ) ? b?( ) 2bc 2ac
2 2 4 2 2 4

? ?ABC为等腰三角形或直角三 角形。 法二:由a cos A ? b cosB得
2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2 B

?a c ? a ? b c ? b ? 0 2 2 2 2 2 ?(a ? b )(c ? a ? b ) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ?a ? b 或c ? a ? b ? 0 ?a ? b或c ? a ? b

?2A ? 2B或2A ? ? ? 2B ? 即A ? B或A ? B ? 2

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

a b c () 3 ? ? cos A cos B cosC
练习:在?ABC中已知a ? 2b cos C,判断?ABC的形状。 b sinA 法一:由正弦定理得: ? a ? 2b cosC sinB a 2 ? b2 ? c 2 a 法二:由余弦定理得: C ? cos ? 2ab 2b

? ?ABC为等腰三角形

在判断三角形形状时,主要通过三角形边或角之间关 系进行判断,将已值条件利用正弦定理统一为角的关 系,或用余弦定理统一为边的关系,有时也可以结合 两者运用。

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

sinB ? sinC 思考:在?ABC中,若sinA ? ,试判断?ABC的形状。 cos B ? cosC

解:

由正、余弦定理得: a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 b ? c ? ? 2ac 2ab a

sinB ? sinC ?sinA ? cos B ? cosC sinB ? sinC ? cos B ? cosC ? sinA

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

例2 已知△ABC的三内角A、B、C成等差,而A、B、C三 内角的对边a、b、c成等比,试证明:△ABC为正三角形。
证明: ∵A、B、C成等差,∴2B=A+C, 又A+B+C=180o,∴B=60o,A+C=120o ∵a、b、c成等比,∴b2=ac 又由余弦定理得:

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accosB ? a 2 ? c 2 ? 2accos60?

? a 2 ? c 2 ? ac
? ac ? a 2 ? c 2 ? ac, 即(a ? c)2 ? 0 ,∴a=c
又∵B=60o,∴△ABC是正三角形。

5.9 正弦定理、余弦定理(3)

例3、锐角三角形中,边 、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0 a 的两根,角A、B满足2 sin A ? B) 3 ? 0,求角C ( ? 的度数,边c的长度及?ABC的面积。
3 ? ( ? ? ( ? 解: 2 sin A ? B) 3 ? 0, sin A ? B) 2
? ?ABC为锐角三角形

? A ? B ? 120o ?C ? 60o ?边a、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根 ?a ? b ? 2 3,ab ? 2

?c ? a ? b ? 2abcosC 2 ? a ? b)? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ( ?c ? 6
2 2 2

? S ?ABC

1 1 3 3 ? absinC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2


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