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等比数列知识点总结及练习(含答案)


等比数列 1、等比数列的定义: 2、通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
n?m

推广: an ? am q 3、等比中项:

? q n?m ?

an a ? q ? n?m n am am
2

A ? ab 或 A ? ? ab (1) 如果 a, A, b 成等比数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 即: 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

?
5、等比数列的判定方法:

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A '( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n ,都有 an ?1 ? qan或 等比数列

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为 an

(2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? B 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
n

? A? B ? 0? ? {an} 为等比数列

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1
n?m

7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amq
* *



( 3 )若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得

an ? am ? ak 2

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

(4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { 为非零常数)均为等比数列。

a k } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n } ( k bn an

(5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍为等 比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n , a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成 等比数列

a1 ? 0,则{an }为递增数列 (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列

{

a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列
③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时, 二 例题解析 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, Sn=pn(p∈R, n∈N*), 那么数列{an}. ( A.是等比数列 B.C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 【例2】 B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列 )

S奇 1 ? S偶 q

已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.

【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =-

1 ,求通项公 2

式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

【例 4】

求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0

三、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ?

1 3

4 ,则 a4 ? _________. 3

2、 在数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1 ,an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 则该数列的通项 an ? ______________. 考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6
2

) D. ?10 )

C. ?8

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定

3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? 考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 1、若公比为 A. 3

20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

2 9 1 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 B. 4 C. 5 D. 6

2、 已知等比数列 ?an ? 中,a3 ? 3 ,a10 ? 384 , 则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4
D. 1



A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

5、等比数列{an}中,公比 q=

1 且 a2+a4+…+a100=30,则 a1+a2+…+a100=______________. 2

考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用

1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为(

) D. 2

3 16 C. 2 9 2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9
A. 4 B. 3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2 a3a4 a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3

) D. 243 )
10

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

A.

b9 a8

B. ?

?b? ? ?a?

9

C.
2

b10 a9

D. ?

?b? ? ?a?

5、 在等比数列 ?an ? 中, 则 a2 a4 a6 的值为 ( a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根, A. 25 B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5



6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于 考点五:公式 an ? ?

? S1 , (n ? 1) 的应用 ? Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
)

1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,满足条件 log2Sn=n,那么{an}是( A.公比为 2 的等比数列 B.公比为

1 的等比数列 2

C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 n 2、等比数列前 n 项和 Sn=2 -1,则前 n 项的平方和为( )

A.(2 -1)

n

2

B.

1 n 2 (2 -1) 3

C.4 -1
n

n

D.

1 n (4 -1) 3

3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +r,那么 r 的值为______________. * 4、设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N 都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

等比数列 一、选择题: 1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 2 ①{an }也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列 ③{ ( )

1 }也是等比数列 an

④{lnan}也是等比数列

A.4 B.3 C.2 D.1 2.等比数列{a n }中,已知 a9 =-2,则此数列前 17 项之积为 16 16 17 17 A.2 B.-2 C.2 D.-2 3.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为 A.1 B.-

( (

) )

1 2

C.1 或-1

D.-1 或

1 2
( )

4.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于 A.4 B.

3 2

C.

16 9

D.2

5.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) 2 2 A.x -6x+25=0 B.x +12x+25=0 2 2 C.x +6x-25=0 D.x -12x+25=0 6.某工厂去年总产 a,计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%,这 5 年的最后一年该厂的 总产值是( ) 4 5 6 5 A.1.1 a B.1.1 a C.1.1 a D. (1+1.1 )a 7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于 ( ) A.

b9 a8

B.(

b 9 ) a

C.

b 10 a9

D.(

b 10 ) a

8.已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3,前 15 项之和为 39,则该数列的前 10 项之 和为 ( ) A.3 2 B.3 13 C.12 D.15

9. 某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍, 则该厂 2001 年度产值的月平均 增长率为 ( ) A.

n 11

B. 11 n

C. 12 n ? 1

D. 11 n ? 1

10.已知等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? 等于 ( A. 2
10

? a30 ? 230 ,那么 a3 ? a6 ? a9 ?

? a30

) B. 2
20
n

C. 2

16

D. 2

15

11.等比数列的前 n 项和 Sn=k·3 +1,则 k 的值为 A.全体实数 B.-1 C.1 二、填空题: 12.在等比数列{an}中,已知 a1=

( D.3



3 ,a4=12,则 q=_____ 2

____,an=____

____.

13.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=___ 14. 在等比数列 {an} 中, 已知 a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数, 求 a10= 15. 数列 { an } 中,a1 ? 3 且 an?1 ? an (n 是正整数), 则数列的通项公式 an ?
2

___. . .

三、解答题: 16.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求{an} 的通项公式.

17.在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

18.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q.

参考答案 一、选择题: BDCAD BACDB 二、填空题:13.2, 3·2
n-2

BC . 14.

1? 5 . 2

.16. 32

n ?1



三、解答题: 17.(1)证明: 由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1) 又 an+1≠0 ∴

an?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. n-1 (2)解析: 由(1)知 an+1=(a1+1)q n-1 n-1 n 即 an=(a1+1)q -1=2·2 -1=2 -1 n 18.解析: 由 a1+a2+…+an=2 -1 ① n∈N*知 a1=1 n-1 且 a1+a2+…+an-1=2 - n-1 由①-②得 an=2 ,n≥2 n-1 又 a1=1,∴an=2 ,n∈N*

a n ?1 an

2

2

?
2

(2 n ) 2 = ( 2 n ?1 ) 2

即{an }为公比为 4 的等比数列 ∴a1 +a2 +…+an =
2 2 2

a1 (1 ? 4 n ) 1 n ? (4 ? 1) 1? 4 3

2

19.解析一: ∵S2n≠2Sn,∴q≠1

? a1 (1 ? q n ) ? 48 ? ? 1? q 根据已知条件 ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 60 ? 1? q ?
②÷①得:1+q =
n



② ③

1 5 n 即q= 4 4

③代入①得

a1 =64 1? q



∴S3n=

a1 1 3n (1-q )=64(1- 3 )=63 4 1? q

解析二: ∵{an}为等比数列 2 ∴(S2n-Sn) =Sn(S3n-S2n)

∴S3n=

(S 2n ? S 2n ) 2 (60 ? 48) 2 +60=63 ? S 2n ? Sn 48
2

20.解析:当 x=1 时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n 2 3 n-1 当 x≠1 时,∵Sn=1+3x+5x +7x +…+(2n-1)x , ① 等式两边同乘以 x 得: 2 3 4 n xSn=x+3x +5x +7x +…+(2n-1)x . ② ①-②得: 2 n - 2 n n (1 - x)Sn=1 + 2x(1 + x + x + … + x ) - (2n - 1)x =1 - (2n - 1)x +

2 x( x n ?1 ? 1) , x ?1
∴Sn=

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) . ( x ? 1) 2

21.解析:∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, 2 ∴a1、an 是方程 x -66x+128=0 的两根,解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由 ∴q=2,由 an=a1q
n-1

a1 ? a n q =126 得 2-64q=126-126q, 1? q
得2
n-1

=32, ∴n=6.

1 ,n=6. 2 1 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2
若 a1=64,an=2,同理可求得 q= 22.解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{an}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 10 5 2 则 a11=50×1.01 =50×(1.01 ) ≈55.125(万), 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}:b1=16×50=800,d=30,n=11 2 ∴b11=800+10×30=1100(万米 ) 2 因此 2000 年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m )


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