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云南省2013年1月普通高中学业水平考试数学试卷及答案


【考试时间:2013 年 1 月 13 日上午 8:30 — 10:10,共 100 分钟】

云南省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试

数 学 试 卷
【考生注意】 考试用时 100 分钟,必须在答题卡上指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P(

A) ? P( B) . 球的表面积公式: S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式: V ? Sh ,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高.
2

锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

选择题(共 54 分)
一、选择题:本大题共 18 个小题,每小题 3 分,共 54 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 设集合 A ? ?3,5, 6,8? , 集合 B ? ?5, 7,8? , 则A I B等于 A. {5,8} 2. B. {3,6,8} C. {5,7,8} D. {3,5,6,7,8}

如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个圆, 那么这个几何体的表面积为 A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6?

3.

uur uuu uuu u r r 在平行四边形 ABCD 中, AB ? AC +CD 等于

正视图

侧视图

A. AC C. DB
r r r r

uuu r

B. BD D. AD
r r
r r r r

uuu r

uuu r

uuu r

俯视图

4.

b ? 已知向量 a 、, a ? 4, b ? 3 , a 与 b 的夹角等于 60? ,则 (a +2b)(a-b) 等于

A. - 4 C. - 2 5.
?

B. 4 D. 2
? ? ?

1 1 ? ?? ? ?? 已知函数 y ? cos ? x+ ? 的图象为 C, 为了得到函数 y ? cos ? x- ? 的图象只需把 C 上所有 3 7 3 7

的点 A. 向右平行移动
? 个单位长度 7

B. 向左平行移动

? 个单位长度 7

数学试卷 第 1 页(共 4 页)

?

C. 向右平行移动 6.

2? 个单位长度 7

D. 向左平行移动

2? 个单位长度 7
开始 x=1 x=x+2 否

7.

已知一个算法,其流程图如右图所示,则输出结果是 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 过点 P( - 1,3) ,且平行于直线 2 x ? 4 y+1 ? 0 的直线方程为 A. 2x+y-5 ? 0 B. 2x+y ?1 ? 0 C. x-2 y+7 ? 0 D. x-2 y ? 5 ? 0

8. 一个长、宽分别为 3 和 1 的长方形内接于圆(如下图) , 质地均匀的粒子落入图中(不计边界) ,则落在长方形内的概率等于 A. C.
3

x?9? 是 输出 x 结束

?
3 4?

B.

?
3

D. ?

(第 6 题) (第 8 题)

9.

计算: sin 225? 的值为 A.
2 2
15 30

B. ?

2 2
15 30

C. ?

3 2

D. ?

1 2

10. 在△ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别是 3、5、7, cos ?C 的值为 则 A. B. ? C.
5 21 42

D.

9 35 70

11.甲、乙等 5 名同学按任意次序排成一排,甲站中间且乙不站两边的概率是 A.
1 20

B.

1 10

C.

2 5

D.

4 5

12.已知直线的点斜式方程是 y ? 1 ? x ? 2 ,那么此直线的斜率为 A.
1 4

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

13. 函数 f ? x ? ? 3x ? x 2 的零点所在的区间是 A.

? 0,1?

B. (-1,0)

C. (1,2)

D. (-2,-1)

? x ? 0, ? 14. 已知实数 x 、 y 满足 ? y ? 0, 则 z ? x ? y 的最小值等于 ?3x ? y ? 3, ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的定义域是 A. [?1, ??) B. (??, ?1] C. [3, ??)
数学试卷 第 2 页(共 4 页)

D. [?1,3]

?

16. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?16, a4 ? 2, 则前 4 项的和 S 4 等于 A. 20 B. -20 C. 10 17. 当输入的 x 值为 3 时,右边的程序运行的结果等于 A. -3 B. 3 C. -2 18. 过点 M(2,-2)以及圆 x2 ? y 2 ? 5x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 交点的圆的方程是 A. x2 ? y 2 ? B. x2 ? y 2 ?
2 2

D. -10 D. 2

15 1 x? ?0 4 2 15 1 x? ?0 4 2

INPUT x IF x ? 1 THEN
y ? 1? x

15 1 C. x ? y ? x ? ? 0 4 2

ELSE PRINT y ? x ?1 PRINT y END

D. x2 ? y 2 ?

15 1 x? ?0 4 2

非选择题(共 46 分)
二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题卡相应的位置上。 19. 某单位有甲、乙、丙三个部门,分别有职员 27 人、63 人和 81 人,现按分层抽样的方法从 各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动;其中乙部门抽取 7 人,则该 单位共抽取__________人。 20. 甲 、 乙 两 位 射 击 选 手 射 击 10 次 所 得 成 绩 , 经 计 算 得 各 自 成 绩 的 标 准 差 分 别 为 则_________成绩稳定。 s甲 ? 1.29和s乙 =1.92, 21. 若函数 f ? x ? ? (2m ? 1) x3 是幂函数,则 m ? _________。
1 22. 关于 x 的二次函数 f ( x) ? mx2 ? 2 ? m ? 1? x ? m 的图像与 x 没有公共点,则 m 的取值范围是 4 __________(用区间表示) 。

三、 解答题:本大题共 4 小题,23、24 各 7 分,25、26 各 8 分,共 30 分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算过程。 23. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 3 1 已知函数 y ? ? (sin x ? cos x)2 . 2 2 (1)求它的最小正周期和最大值; (2)求它的递增区间。

数学试卷 第 3 页(共 4 页)

?

24. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; (2)求两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小。 A1 E D F C B D1 C1 B1

A

25. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 4 分) 一个圆柱形容器的底部直径是 6cm,高是 10cm,现以每秒 2cm / s 的速度向容器内注入某 种溶液。 (1)求容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系; (2)求此函数的定义域和值域。

26. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 2 分,第(2)问 3 分,第(3)问 3 分)

2 已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a2 ? 1,3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3? 。 3
(1)求 a3 的值; (2)证明:数列 ?an

? an ?1?? n ? 2 ? 是等比数列;

(3)求数列 ?an ? 的通项公式。

数学试卷 第 4 页(共 4 页)

?

云南省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试 数学参考答案及评分标准

一、选择题(每小题 3 分,共 54 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 13 B 14 B 15 C 16 D 17 D 18 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 题号 答案 三、解答题(共 30 分) 23.(1) f ( x) ? 19 19 20 甲 21 1 22

2 (-2,- ) 3

3 1 ? (1 ? sin 2 x) 2 2 1 ? sin 2 x ? 1…………………………………………………...……...2 分 2 3 ? f ( x) 的最小正周期 T= ? , f ( x)max ? …………………………………….4 分 2

(2)由 2k? ? 得 k? ?

?

?
4

2

? 2 x ? 2k? ?

?

? x ? k? ?

?
4

2

(k ? Z )

,

? ?? ? ? f ( x) 的递增区间是 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ………………………………..7 分 4 4? ?
24.(1)连接 AC, ?E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点, D1 A1 E D F C B C1 B1

? E F / / A C,
又 EF ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD ,

? EF / /平面ABCD.
…………………..…..……………………………4 分
数学试卷 第 5 页(共 4 页)

A

?

(2)连接 A1 B , A1 D ,容易证明四边形 A1 BCD1 是平行四边形,? A1 B / / D1C ,

?两异面直线 BD 与 CD1 所成角为 ?A1 BD ,易知 VA1BD 是等边三角形,
??A1BD ? 60?.

?两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小为 60?. ……………………….…..………..7 分
3 25.(1)容器的底面积 S=9 ? cm2 ,容器的体积为 90? cm . 经过 t s 注入溶液的容积为 2 t cm3 ,

容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系式为 x ?

2 t. 9?

……………………………………………………………....4 分 (2)函数的定义域为 t ?[0, 45? ] ,函数的值域为 x ? [0,10] 。 ……………………………………….………………..……..8 分 26.(1) Q a1 ?

2 2 10 , a2 ? 1,3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3? 取 n ? 3 得 3a3 ? 4a2 ? a1 ? 4 ? ? , 3 3 3

? a3 ?

10 ………………………………………………………….……….……2 分 9

(2)在 3an ? 4an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3? 两端同时减去 3an?1 ,整理得 3(an ? an ?1 ) ? an ?1 ? an ? 2
a2 ? a1 ?
a ? an ?1 1 1 ? (n ? 3) , ? 0 ,则 n an ?1 ? an ? 2 3 3

1 1 故数列 ?an ? an ?1? (n ? 2) 是首项等于 且公比等于 的等比数列。…………..….5 分 3 3

(3)由(2)知,数列 ?an ? an ?1? 的通项为: an ? an ?1 ? 于是有:

1 1 n ?1 1 n ? ( ) ? ( ) (n ? 2) 3 3 3

1 a2 ? a1 ? ( ) 2 3 1 a3 ? a2 ? ( )3 3 1 a4 ? a3 ? ( ) 4 3 ...... 1 n an ? an ?1 ? ( )(n ? 2) 3
数学试卷 第 6 页(共 4 页)

?

1 1 ( )2 [1 ? ( ) n?1 ] 1 2 1 3 1 n 1 1 1 3 把上述式子累加得: an ? a1 ? ( ) +( ) +...+( ) ? 3 ? ? ? ( )n 1 3 3 3 6 2 3 1? 3 2 1 1 1 2 5 1 1 又 a1 ? , an ? ? ? ( ) n ? ? ? ? ( ) n 3 6 2 3 3 6 2 3 5 1 1 故该数列的通项公式是: an ? ? ? ( )n (n ? N * ) ………………………….……….8 分 6 2 3

数学试卷 第 7 页(共 4 页)

?


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