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河北省容城县2013学年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4


1.4.3 正切函数的性质与图象
教学目的: 知识目标: 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性 质; 能力目标: 1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方 法; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

? ? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ?,
? ? ? y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ? 的一个周期。 ∴? 是

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
? ? ?? ?? , ? 3.作 y ? tan x , x? ? 2 2 ? 的图象

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x

x ? R ,且

x?

?
2

? k? ?k ? z ?

的图象,称“正切曲线” 。

y
y

3 ? ? 2

?? ?

? 2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

x ? k? ?
(3)正切曲线是由被相互平行的直线 4.正切函数的性质

?
2

?k ? Z ?

所隔开的无穷多支曲线组成的。

引导学生观察,共同获得:

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ?; (1)定义域: ?
(2)值域:R 观察:当 x 从小于

k? ?

?
2

?k ? z ?



x ? k? ? ??

? ??? 2 时, tan x ??

?? ? k? ? k? ?k ? z ? x ? tan ?? 2 当 x 从大于 2 , 时, x ? ?? 。
(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

?

?

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 2 ? (5)单调性:在开区间 ? 2 内,函数单调递增。
5.讲解范例:

? 13? tan? ? ? 4 例 1 比较

? ? 17? ? tan? ? ?与 ? 5

? ? ? 的大小

? 13? ? ? tan? ? 17? ? ? ? tan 2? 0 ? ? ? 2? , y ? tan x在? 0, ? ? ? tan? ? ? ? ? tan ? ? ? ? 5 , 4 5 ? 4 ? ? 2? 4, ? 5 ? 解:

? tan
内单调递增,

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

例 2:求下列函数的周期:

?? ? y ? 3 tan ? x ? ? 5? ? (1)

答:T ? ? 。

?? ? y ? tan ? 3 x ? ? 6? ? (2)
T?
的周期

T?
答:

?
3。

说明:函数

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ?

? ?



?? ? y ? tan? 3 x ? ? 3 ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, ? 例 3:求函数
3x ?
解:1、由

?
3

? k? ?

?
2得

x?

k? 5? ? 3 18 ,所求定义域为

k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?

T?
2、值域为 R,周期

?
3,

? k? ? k? 5? ? ? , ? ? ??k ? z ? 18 ? 3、在区间 ? 3 18 3 上是增函数。
思考 1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数) ,

?? ?? y ? tan? x ? ? 3 ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 ?2 练习 1:求函数

? ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? 4 ? 略解:定义域: ?
值域:R 奇偶性:非奇非偶函数

(k? ?
单调性:在

3? ? , k? ? ) 4 4 上是增函数

练习 2:教材 P45 面 2、3、4、5、6 题

? ? 解:画出 y=tanx 在(- 2 , 2 )上的图象,在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围为:0<x
? <2 ? ? 结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ + 2 上满足的 x 的取值范围为(kπ ,kπ + 2 )(k∈
Z)

思考 2:你能用图象求函数 y ?

tan x ? 3 的定义域吗?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ?

3 ,利用图象知,所求定义域为

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ? 3 2? ? ,
亦可利用单位圆求解。

y

y
T

3
0

3
0 ? ?

A x

x

3 2

四、小结:本节课学习了以下内容: 1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是

{x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z}
,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,...... 2 2 等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 五、作业《习案》作业十一。


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