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2014-2015学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 y=x+1 的倾斜角是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.函数 f(x)=sin(x+ A. ) ,x∈R 的最小正周期为( B. π C.

2π ) D. 4π

3.已知角 α 的终边与单位圆交于 A. B.

,则 cosα 的值为( C.

) D.

4.若 a>b,则下列不等式中恒成立的是( A. >1 B. >

) C. a >b
2 2

D. a >b

3

3

5.已知实数 a1,a2,a3,a4,a5 构成等比数列,其中 a1=2,a5=32,则公比 q 的值为( A. 2 B. ﹣2 C. 2 或﹣2 D. 4



6.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x+y 的最大值为(



A. 4

B. 11

C. 12

D. 14

7.在△ ABC 中,tanA= ,cosB= A. B. 1

,则 sinC=( C.

) D. ﹣2

8.把函数 y=sinx﹣ cosx 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的值可以是( ) A. B. C. D.

9.已知等比数列{an}的前 10 项的积为 32,则以下论述: ①数列{an}的各项均为正数

②数列{an}中必有小于 的项 ③数列{an}的公比必是正数 ④数列{an}的首项和公比中必有一个大于 1 其中正确的为( ) A. ①② B. ②③

C. ③

D. ③④ ,a= ,则 b +c +bc
2 2

10.设锐角△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 A= 的取值范围为( A. (1,9] ) B. (3,9] C. (5,9]

D. (7,9]

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.已知点 A(2,1) ,B(3,3) ,则直线 AB 的斜率等于 12.已知 tanα=﹣2,则 的值等于 .



13.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y﹣5=0 的直线方程为 14.在等差数列{an}中,若 a5+a6+a7+a8=24,则 a1+a12= 15.数列{an}满足 an=2
n

. . .

,其前 n 项的和 Sn=340,则 n 的值等于

16.已知正实数 x,y 满足

+

= ,则 xy 的最小值等于



三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.在等差数列{an}中,a2=5,a4=13 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{an}前 20 项和 S20. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a= (1)求边 c 的长; (2)若 b=3,求△ ABC 面积 S 的值. ,sinC=2sinA.

19.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的 长为 xm,宽为 ym. 2 (Ⅰ)若菜园面积为 72m ,则 x,y 为何值时,可使所用篱笆总长最小? (Ⅱ)若使用的篱笆总长度为 30m,求 + 的最小值.

20.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)的图象经过点 E( (0, ) .



) ,F(

,1) ,其中 A≠0,φ∈

(Ⅰ)求 φ 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(θ)= ,求 sin( ﹣4θ)的值.

21.已知数列

的前 n 项和 Sn=n +2n(其中常数 p>0) .

2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 为数列{an}的前 n 项和. (i)求 Tn 的表达式; * n (ii)若对任意 n∈N ,都有(1﹣p)Tn+pan≥2p 恒成立,求 p 的取值范围.

2014-2015 学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 y=x+1 的倾斜角是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点:直线的倾斜角. 分析:求出直线的斜率,然后求出直线的倾斜角. 解答: 解:∵直线 y=x+1 的斜率是 1, ∴tanα=1, ∵α∈ B. (3,9] C. (5,9]

D. (7,9]

考点:余弦定理. 专题:解三角形. 2 2 分析:利用余弦定理列出关系式,将 cosA 与 a 的值代入得到 b +c =bc+3,代入所求式子变形 后,利用基本不等式即可求出范围. 解答: 解:∵cosA=cos
2 2 2

= ,a=
2 2



∴a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c =bc+3>3, 2 2 2 2 ∴b +c +bc=2(b +c )﹣3, 2 2 ∵b +c =bc+3≥2bc,即 bc≤3, 2 2 2 2 ∴3<b +c ≤6,即 3<2(b +c )﹣3≤9, 2 2 则 b +c +bc 范围为(3,9]. 故选:B. 点评:此题考查了余弦定理,基本不等式的运用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于 基本知识的考查. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.已知点 A(2,1) ,B(3,3) ,则直线 AB 的斜率等于 2 . 考点:直线的斜率. 专题:直线与圆. 分析:利用直线的斜率 k= ,代入数值计算即得答案.

解答: 解:设直线 AB 的斜率为 k, 则 k= = =2;

故答案为:2.

点评:本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题,是基础题. 12.已知 tanα=﹣2,则 的值等于 .

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:原式分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间基本关系化简,将 tanα 的值代入计算即 可求出值. 解答: 解:∵tanα=﹣2, ∴原式= 故答案为: 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 13.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y﹣5=0 的直线方程为 x﹣2y+3=0 . 考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆. 分析:由已知直线方程求出待求直线的斜率,利用直线方程的点斜式得答案. 解答: 解:∵直线 2x+y﹣5=0 的斜率为﹣2, ∴垂直于直线 2x+y﹣5=0 的直线的斜率为 , 则过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y﹣5=0 的直线方程为 y﹣2= (x﹣1) , 整理得:x﹣2y+3=0. 故答案为:x﹣2y+3=0. 点评:本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,考查了直线的点斜式方程,是基础题. 14.在等差数列{an}中,若 a5+a6+a7+a8=24,则 a1+a12= 12 . 考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等差数列的性质进行求解即可. 解答: 解:在等差数列中,a5+a8=a7+a6=a1+a12, ∴由 a5+a6+a7+a8=24, 得 2(a5+a8)=24, 则 a5+a8=12, 则 a1+a12=a5+a8=12, 故答案为:12 点评:本题主要考查等差数列的性质的应用,利用当 m+n=k+l 时,am+an=ak+al,要求熟练掌 握等差数列这一重要的性质. = = ,

15.数列{an}满足 an=2

n

,其前 n 项的和 Sn=340,则 n 的值等于 8 或 9 .

考点:数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法;三角函数的求值. n 分析:通过对 n 的奇偶性进行讨论可知当 n 为偶数时 an=2 、当 n 为奇数时 an=0,利用等比数 列的求和公式可知 Sn= 解答: 解:当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 ∴Sn=2 +2 +…+2 2 3 m =4+4 +4 +…+4 = =340, 解得:m=4, ∴n=8 或 9, 故答案为:8 或 9. 点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查特殊角的三角函数值,注意解题方法的积累, 属于基础题.
2 4 2m

,进而计算可得结论.
n

=±1,∴an=2 ,

=0,∴an=0,

16.已知正实数 x,y 满足

+

= ,则 xy 的最小值等于



考点:函数最值的应用;基本不等式. 专题:不等式. 分析:由于正实数 x,y 满足条 + = ,用 x 表示 y,构造函数 f(x)=xy,再利用导

数研究函数的单调性极值与最值即可得出. 解答: 解:由 ∴xy= + =f(x) , = ,解得:y= >0,x> ,

∴f′(x)=

, (x> ) ,

令 f′(x)>0,解得:x> ,令 f′(x)<0,解得: <x , ∴函数 f(x)在( , )递减,在( ,+∞)递增,

∴f(x)最小值=f( )= , 故答案为: . 点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.在等差数列{an}中,a2=5,a4=13 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{an}前 20 项和 S20. 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)根据等差数列的前 n 项和公式即可求数列{an}前 20 项和 S20. 解答: 解: (Ⅰ)∵a2=5,a4=13, ∴ ,

解得 a1=1,d=4, 则 an=a1+(n﹣1)d=4n﹣3. (Ⅱ)∵a1=1,d=4, ∴S20=20×1+ ×4=780.

点评:本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,根据条件求出首项和公差 是解决本题的关键. 18.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a= (1)求边 c 的长; (2)若 b=3,求△ ABC 面积 S 的值. ,sinC=2sinA.

考点:余弦定理的应用;三角形的面积公式;正弦定理的应用. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简得到 c=2a,由条件可得 c 的值; (2)利用余弦定理列出关系式求得 cosA 的值,再由同角的平方关系可得 sinA,运用三角形 的面积公式计算即可得到所求值. 解答: 解: (1)由正弦定理,可得 sinC=2sinA.即为 c=2a, 由 a= ,可得 c=2 ; (2)由余弦定理,可得 cosA= = = ,

即有 sinA=

=

=

, × =3.

则△ ABC 的面积为 S= bcsinA= ×3×2

点评:此题考查了正弦、余弦定理,面积公式,熟练掌握定理是解本题的关键. 19.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的 长为 xm,宽为 ym. 2 (Ⅰ)若菜园面积为 72m ,则 x,y 为何值时,可使所用篱笆总长最小? (Ⅱ)若使用的篱笆总长度为 30m,求 + 的最小值.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由已知可得 xy=72,而篱笆总长为 x+2y.利用基本不等式 x+2y≥2 得出; (II)由已知得 x+2y=30,利用基本不等式( + )?(x+2y)=5+ 得出. 解答: 解: (Ⅰ)由已知可得 xy=72,而篱笆总长为 x+2y. 又∵x+2y≥2 =24, 当且仅当 x=2y,即 x=12,y=6 时等号成立. ∴菜园的长 x 为 12m,宽 y 为 6m 时,可使所用篱笆总长最小. (Ⅱ)由已知得 x+2y=30, 又∵( + )?(x+2y)=5+ ∴ + ≥ , + ≥5+2 =9, + ≥5+2 即可 ,进而

当且仅当 x=y,即 x=10,y=10 时等号成立. ∴ + 的最小值是 .

点评:本题考查了利用基本不等式的“最值定理”解决实际问题,属于基础题. 20.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)的图象经过点 E( (0, ) . , ) ,F( ,1) ,其中 A≠0,φ∈

(Ⅰ)求 φ 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f(θ)= ,求 sin( ﹣4θ)的值.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用点的坐标满足曲线方程,列出方程组即可求 φ 的值,利用正弦函数的单 调性求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)通过 f(θ)= ,求 sin(2θ+ 解 sin( ﹣4θ)的值. )= ,然后利用诱导公式化简 sin( ﹣4θ) ,即可求

解答: (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题意函数 f(x)=Asin(2x+φ)的图象经过点 E( , ) ,F( ,1) ,



(1 分)

则 cosφ=

sin( (

+φ) , (2 分) cosφ﹣ sinφ) , ,又 φ∈(0, ) ,所以 φ= . (3 分) ) . (4 分)

展开得 cosφ= 则

sinφ=cosφ,所以 tanφ= 代入 Acosφ= +2kπ≤2x+ ≤

把 φ= 由﹣

,得 A=2,所以 f(x)=2sin(2x+ +2kπ,得﹣ +kπ≤x≤ +kπ,

所以 f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (6 分) (Ⅱ)由 f(θ)= ,得 sin(2θ+ 则 sin( =2sin (2θ+
2

)= , (7 分) )

﹣4θ)=sin=﹣cos2(2θ+

)﹣1=2× ﹣1=﹣ . (10 分)

点评:本题考查三角函数的化简求值,正弦函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考 查分析问题解决问题的能力.

21.已知数列

的前 n 项和 Sn=n +2n(其中常数 p>0) .

2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 为数列{an}的前 n 项和.

(i)求 Tn 的表达式; * n (ii)若对任意 n∈N ,都有(1﹣p)Tn+pan≥2p 恒成立,求 p 的取值范围. 考点:数列与不等式的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)当 n≥2 时,利用 =Sn﹣Sn﹣1,进而计算可得结论;

(Ⅱ) (i)当 p=1 时直接利用等差数列的求和公式计算即可;当 p≠1 时利用错位相减法计算即 得结论; (ii)分 p=1 与 p≠1 两种情况讨论, 其中当 p≠1 时问题转化为对任意 n∈N 都有 恒成立,再分 0<p<1、1<p<2、p≥2 三种情况讨论即可. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,当 n=1 时,a1=S1=3; (1 分) 当 n≥2 时, =Sn﹣Sn﹣1=2n+1,得 an=(2n+1)p 分)
n﹣ *



p

n

又因为 n=1 也满足上式, 所以 an=(2n+1)p (3 分) 2 n﹣1 (Ⅱ) (i)Tn=3+5p+7p +…+(2n+1)p . 2 ①当 p=1 时,Tn=n +2n; (4 分) 2 n﹣1 ②当 p≠1 时,由 Tn=3+5p+7p +…+(2n+1)p 得 2 3 n﹣1 n pTn=3p+5p +7p +…+(2n﹣1)p +(2n+1)p , 2 3 n﹣1 n 则(1﹣p)Tn=3+2(p+p +p +…+p )﹣(2n+1)p , 得 Tn= +
2 n﹣1



(2n+1)p . (6 分)

n

综上,当 p=1 时,Tn=n +2n; 当 p≠1 时,Tn= +
*



(2n+1)p . (7 分)
n

n

(ii)①当 p=1 时,显然对任意 n∈N ,都有(1﹣p)Tn+pan≥2p 恒成立; ②当 p≠1 时,可转化为对任意 n∈N ,都有 3+ 即对任意 n∈N ,都有 当 0<p<1 时,只要 当 1<p<2 时,只要 只要有
n * * n

(8 分)

≥2p 恒成立.



p 恒成立.

n

≥p 成立,解得 0<p<1; (9 分) ≤p 对任意 n∈N 恒成立,
* n *

≤p 对任意 n∈N 恒成立,

只要有

≤p 成立,解得 1<p≤ (10 分)

当 p≥2 时,不满足. (11 分) 综上,实数 p 的取值范围为(0, ]. (12 分) 点评:本题是一道关于数列与不等式的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题.


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