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黑龙江省虎林市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学(文)试题(pdf版)


虎林市第一中学高三第三次考试
数 学(文)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和 答题卡,试题自己保留。

第 I 卷 (60 分)
一、选择题( 共 60 分,每小题 5 分) 1. 若集合 A ? {1,2} , B ? {1,3} ,则集合 A ? B = A. ( )

r />
?
2

B. {1} )
2

C. {1,2,3}

D. {x | 1 ? x ? 3}

2. 函数 f ( x ) ? ?2?x ? 的导数是( A. f ?( x ) ? 4?x

B. f ?( x ) ? 4? x

C. f ?( x ) ? 8? x
2

D. f ?( x ) ? 16?x [ ( )

3.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C . 存 在 x0 ? R , 使 得 x0 2 ? 2 x0 ? 4 ? 0

B.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 D . 存 在 x0 ? R , 使 得 x0 2 ? 2 x0 ? 4 ? 0

4. 已知 z ? ( m ? 3) ? ( m ? 1) i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 A. (1, +?) B. ( ?1, 3) C.

(?3, 1)

D. (-?, ? 3)

5.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形.”中的大 前提是( A.① A.残差就是随机误差 C.残差都是正数 ) B.② ) B.残差就是方差 D.残差可用来判断模型拟合的效果 ) C. ③ D.④

6. 下列关于残差的叙述正确的是(

7. 下列关于逻辑结构与流程图的说法中正确的是( A.一个流程图一定会有顺序结构 C.一个流程图一定含有循环结构

B.一个流程图一定含有条件结构 D.以上说法都不对 )

8. 用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设( A.三个内角都不大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° B.三个内角都大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60°

9.用三段论推理: “任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a ? 0 ” ,你认为这个推 理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 10. 在如图所示的知识结构图中:“求简单函数的导数”的“上位”要素有( A.1 个 个 11. 观察 (x2)′= 2x,(x4)′ =4x3,(cosx)′ =-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) ) D.-g(x) B.2 个 C.3 个

2

) D.4

12. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些 性质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻 两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角 都相等。 A.①③ B.②③ D.①②③ C . ①②

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上,填 在试卷上的答案无效) 13. 对于回归直线方程 ? y ? 4.75 x ? 257 ,当 x ? 28 时, y 的估计值为 .

14. 我们把 1,4,9,16,25,…这些数称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成正方形(如 图).

由此可推得第 n 个正方形数是

.

^ 15. 已知回归方程y=2x+1,而试验得到一组数据是(2,4.9),(3, 7.1),(4,9.1),则 残差平方和是 。

(填具 16. 设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________. 体数字)

三、解答题:(共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? ax ? bx +c 过点 ?1,1? ,且在点 ? 2, 求 a, b, c 的值. -1? 处与直线 y ? x ? 3 相切,
2

18. (本小题满分 12 分) “奶茶妹妹” 对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查, 统计出售价 x 元和销售量 y 杯之 间的一组数据如下表所示:

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系。 (1)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (2)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?
?x ? a 注:在回归直线 y ? b ? 中, ? b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

? x. 4 2 2 ? = y -b ,a ? xi ? 5 ? 5.5 2 ? 6.5 2 ? 7 2 ? 146.5
i ?1

2 i

19. (本小题满分 12 分) 某大学依次进行 A 科、B 科考试,当 A 科合格时,才可考 B 科,且两科均有一次补考机会, 两科都合格方通过.甲同学参加考试,已知他每次考 A 科合格的概率均为 合格的概率均为

1 .假设他不放弃每次考试机会,且每次考试互不影响. 2

2 ,每次考 B 科 3

(1)求甲恰好 3 次考试通过的概率; (2)记甲参加考试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望. 20. (本小题满分 12 分) 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日—21 日在巴西里约热内卢举行.下表是近 五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚). 第 30 届 伦敦 中国 俄罗斯 38 24 第 29 届 北京 51 23 第 28 届 雅典 32 27 第 27 届 悉尼 28 32 第 26 届亚 特兰大 16 26

(Ⅰ) 根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图, 并通过茎 叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度 (不要求计算出具体数值, 给出结论 即可) ; (Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假 设两国代表团获得的金牌数不会相等) ,规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知 甲、乙猜中国代表团的概率都为

4 3 ,丙猜中国代表团的概率为 ,三人各自猜哪个代表团 5 5

的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为 X ,求 X 的 分布列及数学期望 EX . 中国 1 2 3 4 5 俄罗斯

20. (本小题满分 12 分) 大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生 中各抽取 50 名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0~25 3 4 26~50 6 8 51~75 11 13 76~100 18 15 101~130 12 10

(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (2)对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”. 根据题意完成下表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下,认为对莫言作品非 常了解与性别有关? 非常了解 男生 女生 合计 附: K 2 ?
P K 2 ? k0

一般了解

合计

n?ad ? bc ? ,n ? a ? b ? c ? d ?a ? b ??c ? d ??a ? c ??b ? d ?
2

?

?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

(本小题满分 12 分) 21.
3 2 已知函数 f ? x ? ? x ? ax , a ? R .

(1)求 y ? f ( x) 的单调区间; (2)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? x ? 1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE。 (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? (?为参数) , M 是曲线 C1 上的动点,且 M 是线段 ? y ? 2 ? 2 sin ?

OP 的中点, P 点的轨迹为曲线 C2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin( x ?
与曲线 C2 交于 A , B 两点。 (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程; (2)求线段 AB 的长。

? ) ? 2 ,直线 l 4

虎林市第一中学高三第三次考试
数 学(文)
1~12 CDCAB 13. 390
17.

DDAAC
14. n2

DD
15. 0.03 16. 1 3

a ? 3, b ? ?11, c ? 9
4 4

18. (1) ? xi yi ? 182 x ? 6, y ? 8 ? xi 2 ? 4 x 2 ? 2.5
i ?1 i ?1

? ? -4,a ? ? 32 ,故回归直线方程为: y ? ? y ? bx ? ? ?4 x ? 32 b
(2) 令-4 x ? 32 ? 13 x ? 4.75 答:商品的价格定为 4.75 元.
19. (1)P=

2 1 1 1 2 1 5 ? (1 ? ) ? ? ? ? ? 3 2 2 3 3 2 18

(2) ? ? 2,3,4

2 1 1 1 4 ? ? ? ? 3 2 3 3 9 2 1 1 1 2 1 2 1 1 4 P(? ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 2 2 3 3 2 3 2 2 9 1 2 1 1 1 2 1 1 1 P(? ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 2 2 3 3 2 2 9 P(? ? 2) ?

?
P E (? ) ? 2 ?

2

3

4

4 4 1 8 ? 3? ? 4? ? 9 9 9 3

4 9

4 9

1 9

20. 解 :( 1 ) 由 抽 样 调 查 阅 读 莫 言 作 品 在 50 篇 以 上 的 频 率 为 11 ? 18 ? 12 ? 13 ? 15 ? 10 79 ,据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 ? 50 ? 50 100 79 (2) P? 100
非常了解 男生 女生 合计 根据列联表数据得 30 25 55 一般了解 20 25 45 合计 50 50 100

100 ? ?30 ? 25 ? 20 ? 25? K ? ? 1.010 ? 1.323 50 ? 50 ? 55 ? 45
2 2

所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. 21. 1) f ?( x ) ? 3 x ? 2ax ? x (3 x ? 2a )
2

当 a ? 0 时,R 上 y ? f ( x) 单调递增; 当a ? 0 时, ?? ?,0? , ?

? 2a ? ? 2a ? ,?? ? 为 y ? f ( x) 增区间, ? 0, ? 为 y ? f ( x) 减区间; ? 3 ? ? 3 ?

当 a ? 0 , ? ? ?,

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ?0,?? ? 为 y ? f ( x) 增区间, ? ,0 ? 为 y ? f ( x) 减区间; 3 ? ? 3 ?

(2)由题得方程 x 3 ? ax 2 ? x ? 1 ? 0 只有一个根, 设 g ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? x ? 1 , 则 g '( x ) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ,因为 ? ? 4a 2 ? 12 ? 0, 所以 g '( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,即 3 xi2 ? 2axi ? 1 ? 0 ( i ? 1, 2 ) , 且 x1 x2 ? 0 , a ?

3 xi2 ? 1 , 2 xi

不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,所以 g ( x ) 在 ( ??, x1 ), ( x2 , ??) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减,

g ( x1 ) 为极大值, g ( x2 ) 为极小值,
方程 x 3 ? ax 2 ? x ? 1 ? 0 只有一个根等价于 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 , 或者 g ( x1 ) ? 0 且 g ( x2 ) ? 0 , 又 g ( xi ) ? xi3 ? axi2 ? xi ? 1 ? xi3 ? 设 h( x ) ? ?

3xi2 ? 1 2 x 1 , xi ? xi ? 1 ? ? xi3 ? i ? 1(i ? 1, 2) 2 xi 2 2

1 3 x 3 1 x ? ? 1 ,所以 h '( x) ? ? x 2 ? ? 0 ,所以 h( x) 为减函数, 2 2 2 2

又 h(1) ? 0 ,所以 x ? 1时 h( x ) ? 0 , x ? 1 时 h( x ) ? 0 , 所以 xi (i ? 1, 2) 大于 1或小于 1,由 x1 ? 0 ? x2 知, xi (i ? 1, 2) 只能小于 1, 所以由二次函数 g '(x) ? 3x2 ? 2ax ?1性质可得 g '(1) ? 3 ? 2a ?1 ? 0 ,所以 a ? 1 .

22. .(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以 ? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
所以 ? D= ? E ……………5 分 ,知 MN⊥BC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不

(Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC

是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又

? CBE= ? E,故 ? A= ? E
形. ……………10 分

由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角

x y (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则由条件知 M ( , ) 。因 23. 解: 2 2 点 M 在曲线 C1 上, ?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4 cos ? ?2 所以 ? , 即 ? 。 化为普 ? y ? 4 ? 4 sin ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2 方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 ,即为曲线 C2 的普通方程。
(Ⅱ)直线 l 的方程为 ? sin( x ?





· · · · · · · · · 5 分

? ) ? 2 ,化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 。由(Ⅰ) 4 知 曲 线 C2 是 圆 心 为 (0,4) , 半 径 为 4 的 圆 , 因 为 圆 C2 的 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 4?2 · · · · · · · · · · 10 分 d? ? 2 ,所以 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 14 。 · 2


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