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高二上学期期末练习题3


高二数学(文科)上学期期末综合练习题(3)
班级: 座号: 姓名: 评分:

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的方程是 ( C ) A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0

2、一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ( C ) A.

100? cm3 3

B.

208? cm3 3

C.

500? cm3 3

D.

416 3? cm3 3

3 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为
5

(
2 2

A

)
2 2

6

A. 24? cm , 12? cm

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm

D. 以上都不正确
0

4、 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是( A ) A. 2 ?

2

B.

5、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ③若 m //?, n/ /?,则 m //n 其中正确命题的序号是 ( A ) A.①和② B.②和③ C.③和④ ①若 m ? ?, n/ /?,则 m ? n ②若 ? / /? , ? / /? , m ? ?,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? D.①和④

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

6、 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( D ) A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

7、 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于

3 ,则椭圆的方程是( C ) 5

x2 y2 ? ?1 A. 100 36
8、 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

x2 y2 ? ?1 D. 25 9

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠AF1 F2 ? 450 ,则 9 7

Δ AF C ) 1 F2 的面积为(

A.

7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( B ) A.10 B.8 C.6 D.4

10 、若直线 y = kx + 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是 ( D ) A. ( ?

15 15 ) , 3 3

B. (0 ,

15 ) 3

C. ( ?

15 , 0) 3

D. ( ?

15 , ? 1) 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在对应题号后的横线上) 11、 命题“若△ABC 是等腰三角形, 则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 若△ABC 有 两个内角相等,则它是等腰三角形.
[

12 、 一 直 线 过 点 M (?3, 4) , 并 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 之 和 为 12 , 这 条 直 线 方 程 是 __ 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 13、如果实数 x , y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么

y 的最大值是___ 3 _____。 x

?1 1? 14、曲线 y ? x2 在点 P 处的切线斜率为 1,则点 P 的坐标为____ ? , ? ___ ?2 4? 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15、命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,
2

命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根. 若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围.
2

解: “ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
2

[来源:学科网]

当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2) ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1 当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2

? m ? ?1
16、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是正方形,PD ? 平面 ABCD ,PD ? AB ? 2 ,

E, F , G 分别是 PC , PD, BC 的中点.
(1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ;

(2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明; (3)证明平面 EFG ? 平面 PAD ,并求出 D 到平面 EFG 的距离. (1) E , F 分别是线段 PC , PD 的中点,所以 EF // CD ,又 ABCD 为正方形, AB // CD , 所以 EF // AB , 又 EF ? 平面 PAB ,所以 EF // 平面 PAB . 因为 E , G 分别是线段 PC , BC 的中点,所以 EG // PB , 又 EG ? 平面 PAB ,所以, EG // 平面 PAB . 所以平面 EFG // 平面 PAB . (2) Q 为线段 PB 中点时, PC ? 平面 ADQ . 取 PB 中点 Q ,连接 DE , EQ, AQ , 由于 EQ // BC // AD ,所以 ADEQ 为平面四边形, 由 PD ? 平面 ABCD ,得 AD ? PD , 又 AD ? CD , PD 所以 AD ? PC , 又三角形 PDC 为等腰直角三角形, E 为斜边中点,所以 DE ? PC , A H B F O D Q C G E P

CD ? D ,所以 AD ? 平面 PDC ,

AD

DE ? D ,所以 PC ? 平面 ADQ . PD ? D ,所以 CD ? 平面 PAD ,

(3)因为 CD ? AD , CD ? PD , AD

又 EF // CD ,所以 EF ? 平面 PAD ,所以平面 EFG ? 平面 PAD . 取 AD 中点 H ,连接 FH , GH ,则 HG // CD // EF ,平面 EFGH 即为平面 EFG , 在平面 PAD 内,作 DO ? FH ,垂足为 O ,则 DO ? 平面 EFGH ,

DO 即为 D 到平面 EFG 的距离,
在三角形 PAD 中, H , F 为 AD, PD 中点, DO ? FD sin 45 ?

2 . 2

即 D 到平面 EFG 的距离为

2 . 2

17、已知直线 4x+3y-12=0 截圆心在点 C(1,1)的圆 C 所得弦长为 2 3. (1)求圆 C 的方程; (2)求过点(-1,2)的圆 C 的切线方程.

(1)设圆 C 的半径为 R,圆心到直线 4x+3y-12=0 的距离为 d. 则 d= |4+3-12| =1,则 R= 42+32 2 3 d2+? 2 ?2=2.

故圆 C 的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4. (2)当所求切线斜率不存在时,即 x=-1 满足圆心到直线的距离为 2, 故 x=-1 为所求的圆 C 的切线. 当切线的斜率存在时,可设方程为:y-2=k(x+1), 即 kx-y+k+2=0, 则 d= |k-1+k+2| 3 3 3 2 2 =2 解得 k=4故切线为:4x-y+4+2=0, k +?-1?

整理得:3x-4y+11=0, 所以所求圆的切线为:x=-1 与 3x-4y+11=0.
18、如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 两点,与 x 轴相交于点 M , 且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ;
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得 ① y1 , y 2 是此方程的两根, y 2 ? my ? x0 ? 0 ∴ x0 ? ? y1 y2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( y1 y2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . (3)由方程①, y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1, 于是 S ?AOB ?
2 2

A O B M

x

1 1 1 m 2 ? 4 ≥1, ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 m ? 0 ∴ 当 时, ?AOB 的面积取最小值 1. 4 4 19、 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c , 其中 a,b,c 为常数。
(1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

解 :( 1 ) 由 题 意 得 f (1) ? ?3 ? c , 因 为 b ? c ? ?3 ? c , 从 而 b ? ?3 。 又 由

1 ? 4bx 3 x ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) ,由 f ' (1) ? 0 得: a ? 4b ? 0 解得 a ? 12 ' ' 3 (2)由(1)得 f ( x) ? 48x ln x( x ? 0) 令 f ( x) ? 0 得 x ? 1 。 f ' ( x) ? 4ax 3 ? ax 4 ?
' 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数 ' 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数

所以 f ( x) 的单调减区间为(0,1) ;单调增区间为(1, ? ?) ( 3 ) 由 ( 2 ) 得 f ( x)
2
极 小 值

? ?3 ? c 所 以 要 使 得 = f (1) ? ?3 ? c. 所 以 f ( x) m i n

f ( x) ? ?2c ( x ? 0) 恒成立,

只须 ? 3 ? c ? ?2c . 即 2c ? 3 ? c ? 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 .
2 2

3 ? c 的取值范围为 (?? ,?1] ? [ ,?? ) . 2
20、设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 是定义在 R 上的奇函数,且函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的 切线方程为 y ? 3x ? 2 . (1)求 a , b, c 的值; (2)若对任意 x ? (0,1] 都有 f ( x ) ?

k 成立,求实数 k 的取值范围; x

解:解: (Ⅰ)∵ 函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 是定义在 R 上的奇函数, ∴ ∵ ∴

f ( ? x) ? ? f ( x)

a(? x)3 ? b(? x) ? c ? ?(ax3 ? bx ? c)
c ? 0.

又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 3x ? 2 , 由 f '( x) ? 3ax ? b
2



f ' ( 1? ) ,且 3 f (1) ? 5 ,



?3a ? b ? 3 ?a ? ?1 得? ? ?b ? 6 ?a ? b ? 5
3

(Ⅱ) f ( x) ? ? x ? 6 x 依题意 ? x ? 6 x ?
3

k 对任意 x ? (0,1] 恒成立, x

∴ 即 ∴

? x 4 ? 6 x 2 ? k 对任意 x ? (0,1] 恒成立,

k ? ?( x2 ? 3)2 ? 9 对任意 x ? (0,1] 恒成立,
k ? 5.

高二数学(文科)上学期期末综合练习题(3)
班级: 座号: 姓名: 评分:

二、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的方程是 ( A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 ) D. 2 x ? y ? 3 ? 0

2、一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ( ) A.

100? cm3 3

B.

208? cm3 3

C.

500? cm3 3

D.

416 3? cm3 3

3 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为
5

( A. 24? cm , 12? cm
2 2

)
2 2

6

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm

D. 以上都不正确
0

4、 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是( ) A. 2 ?

2

B.

5、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ③若 m //?, n/ /?,则 m //n 其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ ①若 m ? ?, n/ /?,则 m ? n ②若 ? / /? , ? / /? , m ? ?,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? D.①和④ )

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

6、 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

7、 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于

3 ,则椭圆的方程是( 5



x2 y2 ? ?1 A. 100 36
8、 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

x2 y2 ? ?1 D. 25 9

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠AF1 F2 ? 450 ,则 9 7


Δ AF 1 F2 的面积为(

A.

7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于( A.10 ) B.8 C.6 D.4 )

10、 若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 则 k 的取值范围是 ( A. ( ?

15 15 ) , 3 3

B. (0 ,

15 ) 3

C. ( ?

15 , 0) 3

D. ( ?

15 , ? 1) 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在对应题号后的横线上) 11、命题“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 12、一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是 13、如果实数 x , y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么

y 的最大值是________。 x

14、曲线 y ? x2 在点 P 处的切线斜率为 1,则点 P 的坐标为 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,
2

命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根. 若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围.
2

16、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是正方形,PD ? 平面 ABCD ,PD ? AB ? 2 ,

E, F , G 分别是 PC , PD, BC 的中点.
(1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ; (2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明; (3)证明平面 EFG ? 平面 PAD ,并求出 D 到平面 EFG 的距离.

17、已知直线 4x+3y-12=0 截圆心在点 C(1,1)的圆 C 所得弦长为 2 3. (1)求圆 C 的方程; (2)求过点(-1,2)的圆 C 的切线方程.

18、如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 两点,与 x 轴相交于点 M , 且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值.
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

A O B M

x

19、 已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c , 其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。

20、设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 是定义在 R 上的奇函数,且函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的 切线方程为 y ? 3x ? 2 . (1)求 a , b, c 的值; (2)若对任意 x ? (0,1] 都有 f ( x ) ?

k 成立,求实数 k 的取值范围; x


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