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2.03函数的奇偶性与周期性(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第二章《函数的概念与基本初等函数 I》

NO2.03 函数的奇偶性与周期性(复习设计) 【知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那 么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-

f(x), 那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数 2.周期性

关于原点对称

(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周 期. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × ) (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.( √ ) (3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数.( √ (4)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ ) (5)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( √ (6)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ 【考点自测】 1.(2015· 福建)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x 答案 D 解析 对于 D,f(x)=ex-e x 的定义域为 R,f(-x)=e x-ex=-f(x),故 y=ex-e x 为奇函数.
- - -

)

)

)

) B.y=|sin x| D.y=ex-e
-x

而 y= x的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故 y= x为非奇非偶函数.y=|sin x|和 y=cos x 为偶函数.故选 D. 1 2.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于( x A.-2 B.0 C.1 D.2 答案 A 解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.
-m|

)

3.(2015· 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x 则 a,b,c 的大小关系为( )

-1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),

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A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 答案 B 解析 由函数 f(x)=2|x
-m|

-1 为偶函数,得 m=0,

所以 f(x)=2|x|-1,当 x>0 时,f(x)为增函数, log0.53=-log23,所以 log25>|-log23|>0, 所以 b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选 B.
?-4x2+2, -1≤x<0, ? 4.(2014· 天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=? ?x, 0≤x<1, ?

3 则 f( )=________. 2 答案 1 3 3 1 解析 函数的周期是 2,所以 f( )=f( -2)=f(- ), 2 2 2 1 1 根据题意得 f(- )=-4×(- )2+2=1. 2 2 5.(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 答案 x(1-x) 解析 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x). 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x). 【例题选讲】 题型一 判断函数的奇偶性

例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x x<0,

2 ? ?x +x, ? (3)f(x)= 2 ?-x +x,x>0. ?



(1)定义域为 R,关于原点对称,

又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x) =-f(x), ∴函数为奇函数. 1-x (2)由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x ∵函数定义域不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数. (3)当 x>0 时,-x<0,f(x)=-x2+x,
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∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x =-(-x2+x)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0,f(x)=x2+x, ∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x =-(x2+x)=-f(x). ∴对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有 f(-x)=-f(x). ∴函数为奇函数. 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内 x 取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式 化简,判断 f(x)与 f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. (1)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 (2)函数 f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0 且 a≠1),则函数 F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数 B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数 C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数 D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数 答案 解析 (1)C (2)B (1)易知 f(x)|g(x)|定义域为 R, ) )

∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, ∴f(x)|g(x)|为奇函数. (2)F(x),G(x)定义域均为(-2,2), 由已知 F(-x)=f(-x)+g(-x) =loga(2-x)+loga(2+x)=F(x), G(-x)=f(-x)-g(-x)
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=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x), ∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数. 题型二 例2 函数的周期性

(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x), 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)

+f(2)+f(3)+?+f(2 017)等于________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 答案 解析 (1)337 (2)2.5 (1)∵f(x+6)=f(x),∴T=6. 1 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=______. f?x?

∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)+f(2 016) 2 016 =1× =336. 6 又 f(2 017)=f(1)=1. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017)=337. (2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f?x+2? - f?x? 故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质. 对函数周期性的考查, 主要涉及函数周期性的判断,

利用函数周期性求值. (2)函数周期性的三个常用结论: ①若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a, 1 ②若 f(x+a)= ,则 T=2a, f?x? 1 ③若 f(x+a)=- ,则 T=2a (a>0). f?x? 23π? 设 函 数 f(x)(x∈R) 满 足 f(x + π) = f(x) + sin x . 当 0≤x<π 时 , f(x) = 0 , 则 f ? ? 6 ?=
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__________________________________________. 答案 1 2

解析 ∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),∴f(x)的周期 T=2π, 5π? 又∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f? ? 6 ?=0, π ? ? π? ? π? 即 f? ?-6+π?=f?-6?+sin?-6?=0, π? 1 π? ? π? 1 ?23π? ? ∴f? ?-6?=2,∴f? 6 ?=f?4π-6?=f?-6?=2. 题型三 函数性质的综合应用

命题点 1 函数奇偶性的应用 例3 (1)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( )

A.4 B.3 C.2 D.1 (2)(2015· 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 答案 解析 (1)B (2)1 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1).

又 g(x)是偶函数, ∴g(-1)=g(1). ∵f(-1)+g(1)=2,∴g(1)-f(1)=2.① 又 f(1)+g(-1)=4, ∴f(1)+g(1)=4.② 由①②,得 g(1)=3. (2)f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数, 所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0, 即 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. 命题点 2 单调性与奇偶性、周期性结合 例4 2a-3 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实数 a 的取值范围为( a+1 B.(-2,0) D.(-1,2) ) )

A.(-1,4) C.(-1,0)

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 答案 (1)A (2)D

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解析

(1)∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数,

∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), 2a-3 2a-3 a-4 ∵f(1)<1,f(5)= ,∴ <1,即 <0, a+1 a+1 a+1 解得-1<a<4,故选 A. (2)∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1), f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f(x-4)=-f(x), 得 f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数, f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1), 即 f(-25)<f(80)<f(11). 思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为

已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:(i)f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).(ii)若奇函数在 x=0 处有意义,则 f(0)=0. : 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x2-4x, 则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 答案:(-5,0)∪(5,+∞) 解析∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x. 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x (x<0), x -4x,x>0, ? ? ∴f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0. ①当 x>0 时,由 f(x)>x 得 x2-4x>x,解得 x>5; ②当 x=0 时,f(x)>x 无解; ③当 x<0 时,由 f(x)>x 得-x2-4x>x,解得-5<x<0. 综上得不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 【巩固作业】(时间:35 分钟) 1.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( A.y=log2|x| B.y=cos 2x
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2

)

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2x-2 C.y= 2 答案 A

-x

2-x D.y=log2 2+x

解析 对于 A,函数 y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;对于 B,函数 y=cos 2x 在区间(1,2)上不是增函 2x-2 x 2-x 数;对于 C,函数 y= 不是偶函数;对于 D,函数 y=log2 不是偶函数,故选 A. 2 2+x


1? 2.已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f? ?lg2?等于( A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 D 解析 设 g(x)=ln( 1+9x2-3x)=f(x)-1, g(-x)=ln( 1+9x2+3x)=ln ∴g(x)是奇函数, 1? ? 1? ∴f(lg 2)-1+f? ?lg 2?-1=g(lg 2)+g?lg 2?=0, 1? 因此 f(lg 2)+f? ?lg 2?=2. 1 =-g(x). 1+9x2-3x

)(提示:真数分子有理化)

3.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 019)等于( A.-2 C.-98 答案 A 解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, 即 f(2 019)=-2. f?x2?-f?x1? 4.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 答案 A 解析 由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2),又 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) ) B.2 D.98

)

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)

)

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C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 C 解析 ∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x.作出函数 f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知 f(x)是 R 上的 增函数,由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a, 解得-2<a<1. 6.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案 - -x-1 解析 ∵f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(-x)= -x+1=-f(x), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 7 . 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) 在 [0 , + ∞) 上 单 调 递 增 , 且 f(1) = 0 , 则 不 等 式 f(x - 2)≥0 的 解 集 是 ____________________. 答案 (-∞,1]∪[3,+∞)

解析 由已知可得 x-2≥1 或 x-2≤-1,解得 x≥3 或 x≤1,∴所求解集是(-∞,1]∪[3,+∞). 8.(2015· 南通二模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当 0≤x≤1 1? ?3? ?5? 时,f(x)=2x-1,则 f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=________. 答案 2

解析 依题意知:函数 f(x)为奇函数且周期为 2, 1? 1 ?3? ?5? ?1? ? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ∴f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=f?2?+f(1)+f?-2?+f(0)+f?2?=f?2?+f(1)-f?2? +f(0)+f?2?=f?2?+f(1)+f(0)=22 -1+21-1+20-1= 2. -x +2x,x>0, ? ? 9.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 x<0,则-x>0,
2

是奇函数.

所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x). 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
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所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 10.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016). (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 016)=f(2 016) =f(0)=0.

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