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20101209高一数学(2.3 直线、平面垂直的判定及其性质(6课时))


2.3.1

直线与平面垂直的判定 第一课时

直线与平面垂直的概念和判定

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.前面我们全面分析了直线与平面平 行的概念、判定和性质,对于直线与平 面相交,又有哪些相关概念和原理?我 们有必要进一步研究. 2.直线与直线存在有垂直关系,直 线与平面也存在有垂直关系,我们如何 从理论上加以认识?

知识探究(一):直线与平面垂直的概念

思考1:田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉? 你还能列举一些类似的实例吗?

思考2:将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌 面的位置关系呈什么状态?此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何?

思考3:如图,在阳光下观察直立于 地面的旗杆及它在地面的影子,随 着时间的变化,影子BC的位置在移 动,在各时刻旗杆AB所在直线与影 子BC所在直线的位置关系如何?
A B C

思考4:上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系,称为直线与平面垂 直.一般地,直线与平面垂直的基本 特征是什么?怎样定义直线与平面 垂直? 如果一条直线与平面内的任意 一条直线都垂直,则称这条直线与 这个平面垂直.

思考5:在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直?
l

α

l ??

思考6:如果直线l与平面α 垂直,则 直线l叫做平面α 的垂线,平面α 叫 做直线l的垂面,它们的交点叫做垂 足.那么过一点可作多少条平面α 的 垂线?过一点可作多少个直线l的垂 面? 垂线
l

垂面
α
A

垂足

知识探究(二):直线与平面垂直的判定

思考1:对于一条直线和一个平面,如果 根据定义来判断它们是否垂直,需要解 决什么问题?如何操作?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面α内的一条直线垂直, 能保证l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直, 能保证l⊥α吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起,把翻折后的纸片 竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌 面接触,观察折痕AD与桌面的位置 关系. A A
C B

D C

B

D

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直?
A B B D C A D C

?

思考4:由上可知当折痕AD垂直平面 α 内的两条相交直线时,折痕AD与 平面垂直.由此我们是否能得出直线 与平面垂直的判定方法?

定理: 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面.
思考5:上述定理通常称为直线和平面垂 直的判定定理,它是判定直线与平面垂 直的理论依据.结合下图,怎样用符号语 言表述这个定理? l

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ?
α
a

P b

思考6:如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这条直 线与这个平面垂直吗?

理论迁移

例1 已知 a // b, a ? ? .求证: ? ? . b
a
b

α

c

d

例2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.
P D

C E

A B

例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 当底面四边形ABCD满足什么条件时, 有A1C⊥B1D1,说明你的理由.
A1

B1
C1 B C A

D1

AC⊥BD
D

D. 小结作业

P67 练习: 1. P74习题2.3B组:2,4.

2.3.1

直线与平面垂直的判定 第二课时

直线和平面所成的角

问题提出

1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么?
定义:如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直,则称这条直线 与这个平面垂直.
定理:如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么这条直线垂直 于这个平面.

2.当直线与平面相交时,对于直线 与平面垂直的情形,我们已作了一些相 关研究,对于直线与平面不垂直的情形, 我们需要从理论上作些分析.

知识探究(一):平面的斜线

思考1:当直线与平面相交时,它们可 能垂直,也可能不垂直,如果一条直 线和一个平面相交但不垂直,这条直 线叫做这个平面的斜线,斜线和平面 的交点叫做斜足.那么过一点作一个平 面的斜线有多少条?
l

斜线 斜足
α
P

思考2:过斜线上斜足外一点向平面 引垂线,连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条?
P l α A

B

思考3:两条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射影可 能是哪些图形?

思考4:如图,过平面α 外一点P引平 面α 的两条斜线段PA、PB,斜足为A、 B,再过点P引平面α 的垂线,垂足 为O,如果PA>PB,那么OA与OB的大 小关系如何?反之成立吗?
P

PA ? PB ? OA ? OB
B

α

A

O

思考5:如图,过平面α 内一点P引平 面α 的两条斜线PA、PB,这两条斜 线段在平面α 内的射影分别为PC、 PD,如果PA>PB,那么PC与PD的大 小关系确定吗? A
B C

α

D P

思考6:如图,直线l是平面α 的一条 斜线,它在平面α 内的射影为b,直 线a在平面α 内,如果a⊥b,那么直 线a与直线l垂直吗?为什么?反之成 立吗?
l
b

α

a

a ?b?a ?l

知识探究(二):直线和平面所成的角

思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度,我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度,并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定,那么角的顶点宜选在何处?
l

α

思考2:如图,AB为平面α 的一条斜 线,A为斜足,AC为平面α 内的任意 一条直线,能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α 的相对倾斜度?为什么?
B

A

α

C

思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足,角的一边 在斜线上,另一边在平面内的哪个 位置最合适?为什么?
P

α

A

B

思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中,怎样去求这个角?
P

α

A

B

思考5:特别地,当一条直线与平面垂 直时,规定它们所成的角为90°;当 一条直线和平面平行或在平面内时, 规定它们所成的角为0°.这样,任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映,那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么?

[0 ,90 ]

?

?

思考6:如图,∠BAD为斜线AB与平面 α 所成的角,AC为平面α 内的一条 直线,那么∠BAD与∠BAC的大小关 系如何?
B

∠BAC >∠BAD
A D C

α

思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何?反之成 立吗?一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何?

α

思考8:过平面α 外一点P引平面α 的 斜线,斜足为A,若斜线PA与平面α 所成的角为50°,那么点A在平面α 内的运动轨迹是什么图形?
P

α

A

O

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1 C1

B1
O

C
D A B

例2 如图,AB为平面α 的一条斜线, B为斜足,AO⊥平面α ,垂足为O,直 线BC在平面α 内,已知∠ABC=60°, ∠OBC=45°,求斜线AB和平面α 所成 的角. A
B O

D

α

C

作业: P67 练习:2. P74习题2.3A组:9.

2.3.2

平面与平面垂直的判定 第一课时

二面角的有关概念

问题提出

1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系,对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个 平面相交,我们应从理论上有进一 步的认识.

2.在铁路、公路旁,为防止山体滑坡, 常用石块修筑护坡斜面,并使护坡斜面 与水平面成适当的角度;修筑水坝时, 为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与 水平面成适当的角度,如何从数学的观 点认识这种现象?

公路

知识探究(一):二面角的有关概念

思考1:直线上的一点将直线分割成 两部分,每一部分都叫做射线. 平 面上的一条直线将平面分割成两部 分,每一部分叫什么名称?
射线 射线

半平面

半平面

思考2:将一条直线沿直线上一点折起, 得到的平面图形是一个角,将一个平 面沿平面上的一条直线折起,得到的 空间图形称为二面角,你能画一个二 面角的直观图吗?

思考3:在平面几何中,我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”,按照这种定义 方式,二面角的定义如何?

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角

思考4:下列两个二面角在摆放上有 什么不同?
β l l

α

α

β

思考5:一个二面角是由一条直线和 两个半平面组成,其中直线l叫做二 面角的棱,两个半平面α 、β 都叫 做二面角的面,二面角通常记作 “二面角α -l-β ”.那么两个相交平 面共组成几个二面角?
β



l

α

知识探究(二):二面角的平面角

思考1:把门打开,门和墙构成二面 角;把书打开,相邻两页书也构成 二面角.随着打开的程度不同,可得 到不同的二面角,这些二面角的区 别在哪里?

思考2:我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜 度,那么平面角的顶点应选在何处? 角的两边在如何分布?
β

l

α

思考3:在二面角α -l-β 的棱上取一 点O,过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA,OB,能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度?
β B l

O A

α

思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置,使∠AOB被二面角α -l-β 唯一 确定?这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关?
β B l

O
A

α B

β α

l

O

A

思考5:上面所作的角叫做二面角的 平面角,你能给二面角的平面角下 个定义吗? β
B l O A α

以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角.

思考6:二面角的大小可以用它的平 面角来度量,二面角的平面角是多 少度,就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时,二面角的 大小为多少度?当二面角的两个面 合成一个平面时,二面角的大小为 多少度?一般地,二面角的平面角 的取值范围如何? ? ?

[0 ,180 ]

思考7:如图,过二面角α -l-β 一个 面内一点A,作另一个面的垂线,垂 足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O, 连结AO,则∠AOB是二面角的平面角 吗?为什么?
β A

O

l
B

α

思考8:如图,平面γ 垂直于二面角 的棱l,分别与面α 、β 相交于OA、 OB,则∠AOB是二面角的平面角吗? 为什么?
l
O

B A

α

α

γ

β β

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1 B1 C

D1 A1 D
O

B

A

例2 如图所示,河堤斜面与水平面 ? 所成二面角为 60 ,堤面上有一条直 道CD,它与堤角的水平线AB的夹角 ? 为30,沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处,此时人升高了多少m?
60?

D E
O

A C

F

B

作业:
P73习题2.3 A组:4,7.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

第二课时 平面与平面垂直

问题提出

1.二面角与二面角的平面角分 别是什么含义?二面角的平面角有 哪几个基本特征?
(1)顶点在棱上;
(2)边在两个面内;

(3)边垂直于棱.

2.直线与直线,直线与平面可以 垂直,平面与平面是否存在垂直关 系?如何认识两个平面垂直?我们 从理论上作些探讨.

知识探究(一):两个平面垂直的概念

思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的?直线与平面垂直是怎样定义 的?
思考2:什么叫直二面角?如果两个 相交平面所成的四个二面角中,有 一个是直二面角,那么其他三个二 面角的大小如何?

思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角,则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中,有哪些实例反映出两个平面垂 直?

思考4:在图形上,符号上怎样表示 两个平面互相垂直?
β β

α

α

? ??

思考5:如果平面α ⊥平面β ,那么 平面α 内的任一条直线都与平面β 垂直吗?
α

β

知识探究(二):两个平面垂直的判定

思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题? 思考2:如图,∠AOB为直二面角 Α -l-β 的平面角,那么直线AO与 平面α 的位置关系如何?
A β l O B α

思考3:在二面角α -l-β 中,直线m 在平面β 内,如果m⊥α ,那么二面 角α -l-β 是直二面角吗?
β m l
a

α

思考4:根据上述分析,可以得到两 个平面互相垂直的判定定理,用文 字语言如何表述这个定理?

如果一个平面经过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直.

思考5:结合图形,两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述?
β
l α

l ? ?,l ? ? ? ? ? ?

思考6:过一点P可以作多少个平面与 平面α 垂直?过一条直线l可以作多 少个平面与平面α 垂直?
P l

l α

α

理论迁移

例1 如图,⊙O在平面α 内,AB 是⊙O的直径,PA⊥α ,C为圆周上 不同于A、B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
P

C A O

B

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面 为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M 为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面 PCD.
P
F

E

D A M
B

C

例3 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD, BAC=∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
D

C E A

B

作业: P73习题2.3A组:3,6. P74习题2.3B组:1.

2.3.3

直线与平面垂直的性质

问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直? 2.直线与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直的条件问题; 反之,在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理

思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?
a b

c

α

O

思考4:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?

思考5:根据上述分析,得到一个什 么结论?
定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行

思考6:上述定理通常叫做直线与平 面垂直的性质定理.用符号语言可表 述为: ? ? , b ? ? ? a // b.该定理 a 有什么功能作用?

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b

a
l

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, a 求证:a // l .
β B α l A a

C

a ? b, b ? ? , a ? ? .

例2 如图,已知 a ? b, b ? ? , a ? ? . 求证: // ? . a
β

b
l

A

a

α

B

例3 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) MN ? CD; ? (2)若 ?PDA ? 45,求证:MN ? 面PCD
P E N A M B D

PA ?

C

作业:
P71练习:1,2.(做书上)

2.3.4

平面与平面垂直的性质

问题提出

1.平面与平面垂直的定义是什 么?如何判定平面与平面垂直?
定义和判定定理

2.平面与平面垂直的判定定理, 解决了两个平面垂直的条件问题; 反之,在平面与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(一)平面与平面垂直的性质定理

思考1:如果平面α 与平面β 互相垂 直,直线l在平面α 内,那么直线l与 平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α

l
β β β

知识探究(一)平面与平面垂直的性质定理

思考2:黑板所在平面与地面所在平 面垂直,在黑板上是否存在直线与 地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

思考3:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其 交线为AD,直线A1A,D1D都在平面 A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两 条直线与平面ABCD垂直吗?
C1 B1 C B A A1 D1

D

? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

? 思考4:一般地, ? ? ,? ? ? ? CD AB ? ? , AB ? CD ,垂足为B,那么直 线AB与平面 ? 的位置关系如何?为 什么?
β E D B C A

α

思考5:据上分析可得什么定理?试 用文字语言表述之. β
D
B C A

α

定理 若两个平面互相垂直,则在 一个平面内垂直交线的直线与另一 个平面垂直.

思考6:上述定理通常叫做两平面垂 直的性质定理,结合下图,如何用 符号语言描述这个定理?该定理在 实际应用中有何理论作用?
α l

l ? ? , ? ? ? ? m, l ? m ? l ? ?.
β

m

知识探究(二)平面与平面垂直的性质探究

思考1:若α ⊥β ,过平面α 内一点A 作平面β 的垂线,垂足为B,那么点 B在什么位置?说明你的理由.
α A

β

B

思考2:上述分析表明:如果两个平 面互相垂直,那么经过一个平面内 一点且垂直于另一个平面的直线, 必在这个平面内.该性质在实际应用 中有何理论作用?
α A

β

B

思考3:对于三个平面α 、β 、γ , ? 如果α ⊥γ ,β ⊥γ , ? ? ? l ,那 么直线l与平面γ 的位置关系如何? 为什么?
l
α β

a
b

γ

思考4:上述结论如何用文字语言表 述?该性质在实际应用中有何理论 β 作用? l
α γ

如果两个相交平面都垂直于另一个 平面,那么这两个平面的交线垂直 于这个平面.

理论迁移

如图,已知α ⊥β ,l⊥β , l ? ? ,试判断直线l与平面α 的位 置关系,并说明理由.
α a m β l

例1

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是 BC 矩形,AB=2, ? 2 ,侧面PAB是 等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P

A E B C

D

作业: P73练习:1,2.(做书上) P73习题2.3A组:2. P74习题2.3B组:3.


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