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上海市华师大二附中高三数学综合练习2


上海市华师大二附中高三年级综合练习[2]
数学
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、 不等式 ?1 ? x? 1 ? x ? 0 的解为__________。

?

?

? ?0 ? x ? 1 ? 2、

(文)条件 ?0 ? y ? 1 下,函数 p ? log 2 ?2 x ? y ? 的最小值为__________。 ? 5 3 ?x ? y ? 2 ?
( 理 ) 若 ?x ? 1? ? x n ? ? ? ax3 ? bx2 ? ? ? 1, n ? N * , 且 a ︰ b ? 3 ︰ 1 , 则 n ?
n

?

?

__________。 3、 设 f ?x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ?x ? ? l o g 1 ? x ? , 则 f ?? 2? ? 3? __________。 4、 将函数 y ?

1 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像, 再将 y ? f ?x ? 的图 x?a

像绕原点旋转 180 ? 后仍与 y ? f ?x ? 的图像重合,则 a ? __________。 5、 设数列 ?an ? 、 ?bn ? 均为等差数列,且公差均不为 0 , lim __________。 6、 一人口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。如果任意取 出 3 个小球,那么其中恰有 2 个小球同颜色的概率是__________(用分数表示) 。 7、 设 a ? b ? c, n ? N ,且
*

an b ? b ? ? ? bn ? 3 ,则 lim 1 2 ? n ?? b n?? n ? a n 3n

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值为__________。 a?b b?c a?c

8、 图中离散点是数列 ?an ? 的图像,如 ?1,4? 是第一点,表示 a1 ? 4 ,则从第一点起的前 46 个点的纵坐标之和为__________。 9、 若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0?,当 x ? ?0,??? 时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的 解_________。 10、已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ?b ? a ? 0?,再添加 m 克糖 ?m ? 0?(假设全部溶解)糖水
1

变甜了,试根据这一事实提炼一个不等式___________________。 11、已知命题“已知函数 y ? loga x 与其反函数的图像有交点,且交点的横坐 标 是 x0 , 0 ? a ? 1 , 且 0 ? x0 ? 1 ” 是 假 命 题 , 请 说 明 理 由 ____________________________________________。 12、直角坐标平面内,我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一 系 列 顶 点 都 为 整 点 的 等 腰 直 角 三 角 形

?OA1 B1 , ?OA2 B2 , ?OA3 B3 ,?, ?OAn Bn ,?,其中点 O 是坐标原点,直角顶点 An 的坐
标为 ?n, n? n ? N

?

*

?,点 B 在 x 轴正半轴上,则第 n 个等腰直角三角形 ?A B 内(不包
n n n

括边界)整点的个数为__________。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、设 A 、 B 、 I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是( (A)U A ? B ? I (B)U A ? U B ? I )

(C) A ? U B ? ? (D)U A ? U B ? U B

14、若函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充要条 件是( ) (B) 有无数多个实数 x , 使得 f ?x ? ? g ?x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ?

(A) 存在 x0 ? R , 使得 f ?x0 ? ? g ?x0 ? (C)对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ?

1 ? g ?x ? 2

15 、 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 512 , 公 比 q ? ?

1 ,用 ? n 表示它的前 n 项之积: ? n 2
) (D) ? 8

? a1 ? a2 ? ?? an ,则 ? 1 、 ? 2 、?中最大的是(
(A) ? 11 (B) ?10 (C) ? 9

16、某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下: 行业名称 应聘人数 行业名称 计算机 215830 计算机 机械 200250 营销
2

营销 154676 机械

物流 74570 建筑

贸易 65280 化工

招聘人数

124620

102935

89115

76516

70436 )

根据表中的数据,将各行业按就业形势由差到好排列,其中排列正确的是( (A)计算机,营销,物流 (C)营销,贸易,建筑 (B)机械,计算机,化工 (D)机械,营销,建筑,化工

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知关于 t 的方程 t 2 ? zt ? 4 ? 3i ? 0?z ? C ? 有实数解, (1)设 z ? 5 ? ai?a ? R? ,求 a 的值。 (2)求 z 的取值范围。

18、 (本题满分 12 分) 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距 离称为刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s (米)与汽车车速 v (千米/ 小时)满足下列关系式 s ?

nv v2 ? ( n 为常数, n ? N ) ,我们做过两次刹车试验,有 100 400

关数据如图所示,其中 6 ? s1 ? 8,14 ? s2 ? 17 。 (1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 米,则行驶的最大速度应为多少?

3

19、 (本题满分 14 分) 记函数 f ?x ? ? 的定义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围。

2?

x?7 的定义域为 A , g ?x ? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R? x?2

20、 (本题满分 14 分) 已知 f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,且记 g ?x? ? f ?x ? ? f ?1 ? x? 。

4

(1) 设 f ?x ? ? x , 若数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an ? g ?an?1 ?, 试写出 ?an ? 的通项公式及前 2 m 的和 S 2 m : (2)对于任意 x1 、 x 2 ? R ,若 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,判断 x1 ? x2 ? 1 的值的符号。

21、 (本题满分 17 分) 设 f ?x ? ?

ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 。 1? ax
?1

(1)求 f ?x ? 的反函数 f (2)讨论 f
?1

?x ? :

?x ? 在 ?1. ? ?? 上的单调性,并加以证明:
?1

( 3 )令 g ?x? ? 1 ? loga x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f

?x ? 在 ?m, n? 上的值域是

?g ?n?, g ?m??,求 a

的取值范围。

5

22、 (本题满分 17 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? an?1 ? S n ? n?n ? 1? , (1)求数列 ?an ? 的通项公式: (2) 令 Tn ?

Sn , ①当 n 为何正整数值时, ②若对一切正整数 n , 总有 Tn ? m , Tn ? Tn?1 ; 2n

求 m 的取值范围。

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参考答案 1、 ?? ?,?1? ? ?? 1,1? 7、 4 8、5359 2、 (文)-1 (理) 11 10、 3、 ? 1 4、 ? 1 5、

9、 ?? ?,0? ? ?1,2?

a a?m ? b b?m

1 18

6、

3 5

11、 a ? 2, x0 ? 2

12、

?n ? 1?2
13、B 14、D 15、C 16、B 得

17 、 解 : ( 1 ) 设 实 数 解 为 t , 由 t 2 ? ?5 ? ai?t ? 4 ? 3i ? 0

?t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ? ?? at ? 3 ? 0

?t ? 1ort ? 4 ? ?? 3 a? ? t ?


a ? 3ora ?
2

3 4





2



z?

t 2 ? 4 ? 3i 4 3 ?t? ? i t t t



9 25 ? 4? z ? ?t ? ? ? 2 ? t 2 ? 2 ? 8 ? 3 2 , t? t t ?
∴ z ? 3 2 ,?? 。

?

?

40n 1600 ? 6? ? ?8 ?5 ? n ? 10 ? ? ? 100 400 18、解: (1) ? ? ?5 95 ? n ? 6 , ?14 ? 70n ? 4900 ? 17 ? 2 ? n ? 14 ? ? 100 400 ?
3v v 2 ? ? 12.6 ? v 2 ? 24v ? 5040? 0 ? ?v ? 84??v ? 60? ? 0 ? 0 ? v ? 60 , (2) s ? 50 400
∴行驶的最大速度应为 60 千米/小时。 19、解: (1) A ? ? x 2 ?

? ?

x?7 ? ? x?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,??? , x?2 ? ? x?2 ?
b 1 orx ? ? ,即 2 a

(2) ?2 x ? b??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ?

1? ?b ? ? B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? , a? ?2 ? ?

b ? 1 0? ?3 ? ? ? ?a ? 2 。 ?? 2 ? 1 ?? 2 ? ? ? 0 ?0 ? b ? 6 ? ? a ?

7

20 、 解 : ( 1 ) an ? g ?an?1 ? ? f ?an?1 ? ? f ?1 ? an?1 ? ? an?1 ? ?1 ? an?1 ? ? 2an?1 ? 1 , 则

an ? 1 ? 2?an?1 ? 1? , a1 ? 1 ? 2 ,即数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,
∴ an ? 2 n ? 1 , S 2 m ?

2 2 2m ? 1 ? 2m ? 2 2 m?1 ? 2m ? 2 ; 2 ?1

?

?

(2)若 x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,则 x1 ? 1 ? x2 , x2 ? 1 ? x1 ,∵ f ?x ? 是定义在 R 上的增函数 ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x2 ?, f ?x2 ? ? f ?1 ? x1 ?,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? f ?1 ? x1 ? ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? 0 , 即 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 , 与 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 矛 盾, ∴ x1 ? x2 ? 1 ? 0 21、解: (1) f
?1

?x ? ? log a

x ?1 ?x ? 1或x ? ?1? x ?1

(2)设 1 ? x1 ? x2 ,∵ ∴ 0 ? a ?1 时, f
?1

x1 ? 1 x2 ? 1 2?x1 ? x2 ? ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ?x1 ? 1??x2 ? 1?

?x1 ? ?

f ?1 ?x2 ? , ∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上 是 减 函 数 : a ? 1 时 ,

f ?1 ?x1 ? ? f ?1 ?x2 ?,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是增函数。
(3)当 0 ? a ? 1 时,∵ f ∴?
?1

?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数,
x ?1 x ?1 ? 1 ? log a x 得 ? ax ,即 ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 , x ?1 x ?1

? ?f ? ?f

?m ? ? g ?m ? ,由 log a ?1 ?n ? ? g ?n ?
?1

? ?? ? 0 ? 可知方程的两个根均大于 1 ,即 ? f ?1? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ? 2 2 ,当 a ? 1 时,∵ f ?1 ?x ? 在 ?1 ? a ? ?1 ? 2a

?1. ? ?? 上是增函数,∴ ? ?

?m ? ? g ?n ? ?m ? 1 ? am n? an ? a ? ?1 (舍去) 。 ?? ?1 n ? 1 ? am n ? am ? ? ? ? ? f n ? g m ? ?
?f
?1



上,得 0 ? a ? 3 ? 2 2 。 22、解: (1)令 n ? 1 , 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 ,

8

由?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2? , ??n ? 1? ? a n ? S n ?1 ? n?n ? 1?

∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2 n ? N * ,即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数 列, ∴ an ? 2n , (2)① Tn ?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2 n ? N * , ? ? Tn ?1 ? n n 2 2 2 n ?1

?

?

②∵ T1 ?

S1 3 3 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时,Tn ? Tn?1 ,∴各项中数值最大为 ,∵对一 2 2 2
3 。 2

切正整数 n ,总有 Tn ? m ,∴ m ?

9


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