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第31届全国中学生物理竞赛决赛试题与解答(word版)


第 31 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题
一、(12 分)一转速测量和控制装置的原理如图 所示. 在 O 点有电量为 Q 的正电荷,内壁光滑 的轻质绝缘细管可绕通过 O 点的竖直轴在水平 面内转动,在管内距离 O 为 L 处有一光电触发 控制开关 A,在 O 端固定有一自由长度为 L/4 的轻质绝缘弹簧,弹簧另一端与一质量为 m、带 有正电荷 q 的小球相连接.

开始时,系统处于静态平衡.细管在外力矩作用下,作定轴转动,小球可在细管内运动. 当细管转速 ω 逐渐变大时,小球到达细管的 A 处刚好相对于细管径向平衡,并触发控制 开关,外力矩瞬时变为零,从而限制转速过大;同时 O 点的电荷变为等量负电荷-Q.通过 测量此后小球相对于细管径向平衡点的位置 B,可测定转速.若测得 OB 的距离为 L/2,求 (1)弹簧系数 k0 及小球在 B 处时细管的转速; (2)试问小球在平衡点 B 附近是否存在相对于细管的径向微振动?如果存在,求出该微 振动的周期. 二、(14 分)多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手 段.如图所示,假设沿某海岸有两个军事目标 W 和 N,两者 相距 L,一艘潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋,并监视这两 个目标, 其航线离海岸线的距离为 d.潜艇接到攻击命令后浮出 海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹,发射速度为 v0(其大小 远大于潜艇在海里游弋速度的大小),假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头,每个分 弹头的质量相等, 分裂时相对原母弹的速度大小均为 v, 且分布在同一水平面内, 分弹头 1、 2 为实弹,分弹头 3 迷惑对方雷达探测的假弹头.如果两个实弹能够分别击中军事目标 W 和 N,试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向,并给出相应的实现条件. 三、(14 分)如图所示,某绝热熔器被两块装有阀门 K1 和 K2 的固定绝热隔板分割成相 等体积 V0 的三室 A、B、C, VA ? VB ? VC ? V0 .容器左端用绝热活塞 H 封闭,左侧 A 室 装有? 1 ? 1 摩尔单原子分子气体, 处在压强为 P0、 温度为 T0 的平衡态; 中段 B 室为真空; 右侧 C 室装有 ν2=2 摩尔双原子分子气体,测得其平衡态温度为 Tc=0.50T0.初始时刻 K1 和 K2 都处在关闭状态.然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程: (1)打开 K1,让 VA 中的气体自由膨胀到中段真空 VB 中;等待气体达到平衡态时,缓慢

? =0.70V0).求压缩过程前后,该部 推动活塞 H 压缩气体,使得 A 室体积减小了 30%( VA
分气体的平衡态温度及压强; (2)保持 K1 开放,打开 K2,让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态.求此时混 合气体的温度和压强; (3)保持 K1 和 K2 同时处在开放状态,缓慢拉动活塞 H,使得 A 室体积恢复到初始体积

?? =V0. 求此时混合气体的温度和压强. VA
提示:上述所有过程中,气体均可视为理想气体,计算结果可含数值的指数式或分式;根
1

据热力学第二定律,当一种理想气体构成的热力学系统从初态(pi,Ti,Vi)经过一个绝热 可逆过程(准静态绝热过程)到达终态(pf,Tf,Vf)时,其状态参数满足方程: ?

(?S )if ? ?1CV1 ln(

Tf Ti

) ??1R ln(

Tf Ti

)?0

(Ⅰ)

其中,ν1 为该气体的摩尔数,CV1 为它的定容摩尔热容量,R 为普适气体常量.当热力学系统 由两种理想气体组成,则方程(I)需修改为

(?S1 )if ? (?S2 )if ? 0

( Ⅱ)

四、 (20 分)光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件.设一光纤光栅的纤芯基体 材料折射率为 n1=1.51;在光纤中周期性地改变纤芯材料的折射率,其改变了的部分的材料 折射率为 n2=1.55;折射率分别为 n2 和 n1、厚度分别为 d2 和 d1 的介质层相间排布,总层数 为 N,其纵向剖面图如图(a)所示.在该器件设计过程中,一般只考虑每层界面的单次反射, 忽略光在介质传播过程中的吸收损耗.假设入射光在真空中的波长为 λ=1.06μm,当反射光相 干叠加加强时,则每层的厚度 d1 和 d2 最小应分别为多少?若要求器件反射率达到 8%,则 总层数 N 至少为多少? 提示:如图(b)所示,当光从折射率 n1 介质垂直入射到 n2 介质时,界面上产生反射和透射, 有:

2n1 反射光电场强度 n1 ? n2 透射光电场强度 反射光电场强度 , , 反射率 ? , ? ? 入射光电场强度 n1 ? n2 入射光电场强度 n1 ? n2 入射光电场强度

2

五、(20 分)中性粒子分析器(Neutral-Particle Analyser)是核聚变研究中测量快离子温度
2

及其能量分布的重要设备.其基本原理如图所示,通过对高能量(200eV~30KeV)中性原子 (它们容易穿透探测区中的电磁区域)的能量和动量的测量,可诊断曾与这些中性原子充 分碰撞过的粒子的性质.为了测量中性原子的能量分布,首先让中性原子电离然后让离子束 以 θ 角入射到间距为 d、电压为 V 的平行板电极组成的区域,经电场偏转后离开电场区域, 在保证所测量离子不碰到上极板的前提下,通过测量入射孔 A 和出射孔 B 间平行于极板 方向的距离 l 来决定离子的能量.设 A 与下极板的距离为 h1,B 与下极板的距离为 h2,已 知离子所带电荷为 q. (1)推导离子能量 E 与 l 的关系,并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离. (2) 被测离子束一般具有发散角 Δα (Δα<<θ) .为了提高测量的精度, 要求具有相同能量 E, 但入射方向在 Δα 范围内变化的离子在同一小孔 B 处射出,求 h2 的表达式;并给出此时能 量 E 与 l 的关系. (3)为了提高离子能量的分辨率,要求 具有量程上限能量的离子刚好落在设备 允许的 l 的最大值 lmax 处,同时为了减小 设备的体积,在满足测量要求的基础上, 要求极板间距 d 尽可能小, 利用上述第 (2) 问的结果,求 d 的表达式;若 θ=30° ,结 果如何? (4)为了区分这些离子的质量,请设计 后续装置,给出相应的原理图和离子质量 表达式. 六、(20 分)超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体,其使用的超导线材属于第二类超 导体.如果将这类超导体置于磁感应强度为 Ba 的外磁场中,其磁力线将以磁通量子(或称为 磁通漩涡线)的形式穿透超导体,从而在超导体中形成正三角形的磁通格子,如图 1 所示. 所谓的磁通量子,如图 2 所示,其中心是半径为 ξ 的正常态(电阻不为零)区域,而其周 围处于超导态 (电阻为零) , 存在超导电流, 所携带的磁通量为 ?0 ? 通量的最小单位)

h ? 2.07 ? 10?15Wb(磁 2e

(1)若 Ba ? 5 ?10?2 T ,求此时磁通涡旋线之间距离 a. (2)随着 Ba 的增大,磁通漩涡线密度不断增加,当 Ba 达到某一临界值 Bc2 时,整块超导体
3

都变为正常态, 假设磁通漩涡线芯的半径为 ξ=5× 10-9m,求所对应的临界磁场 Bc2; (3)对于理想的第二类超导体,当有电流 I 通过超导带材时,在安培力的驱动下,磁通漩 涡线将会粘滞流动,在超导带内产生电阻(也称为磁通流阻),从而产生焦耳损耗,不利 于超导磁体的运行.磁通漩涡线稳定粘滞流动的速度 v 与单位体积磁通漩涡线所受到的驱动 力 fA 和 Ba 的关系为 f A ? ?

?0

Ba

v , 其中 η 为比例系数.外加磁场、电流方向,以及超导带材的

尺寸如图 3 所示, 请指出磁通漩涡线流动的方向,并求出磁通漩涡线流动所产生的电阻率 (用 Ba ,Φ0,η,超导体尺寸 b,c,d)表示; (4)要使超导材料真正实用化,消除这种磁通流阻成了技术的关键,请给出你的解决方案. 七、(20 分)如图,两个质量均为 m 的小球 A 和 B(均可视为质点) 固定在中心位于 C、长为 2l 的刚性轻质细杆的两端,构成一质点系.在竖 直面内建立 Oxy 坐标,Ox 方向沿水平向右,Oy 方向竖直向上.初始时质 点系中心 C 位于原点 O,并以初速度 v0 竖直上抛,上抛过程中, A、 C、B 三点连线始终水平.风速大小恒定为 u、方向沿 x 轴正向,小球在运

动中所受空气阻力 f 的大小与相对于空气运动速度 v 的大小成正比, 方向相反, 即 f ? ?kv , k 为正的常量.当 C 点升至最高点时,恰好有一沿 y 轴正向运动、质量为 m1、速度大小为 u1 的小石块(视为质点)与小球 A 发生竖直方向的碰撞,设碰撞是完全弹性的,时间极短. 此后 C 点回落到上抛开始时的同一水平高度,此时它在 Ox 方向上的位置记为 s,将从上抛 到落回的整个过程所用时间记为 T,质点系旋转的圈数记为 n.求质点系 (1)转动的初始角速度 ω0,以及回落到 s 点时角速度 ωs 与 n 的关系; (2)从开始上抛到落回到 s 点为止的过程中,空气阻力做的功 Wf 与 n、s、T 的关系.

?

?

八、(20 分)太阳是我们赖以生存的恒星.它的主要成分是氢元素,在自身引力的作用下收 缩而导致升温,当温度高到一定程度时,中性原子将电离成质子和电子组成的等离子体, 并在其核心区域达到约 1.05× 107K 的高温和 1.6× 105kg/m3 以上的高密度,产生热核聚变 而放出巨大能量,从而抗衡自身的引力收缩达到平衡,而成为恒星.太阳内部主要核反应过 程为
1

H+1H→D+e++νe (I) (II) (III)

D+1H→3He+x
3

He+3He→4He+1H+1H

其中第一个反应的概率由弱相互作用主导,概率很低这恰好可以使得能量缓慢释放.反应产 物正电子 e+会与电子 e-湮灭为 γ 射线,即 e++e-→γ+γ (IV) 已知:质子(1H)、氘(D)、氦-3(3He)和电子的质量分别为 938.27、1875.61、2808.38、 3727.36 和 0.51(MeV/c2)(误差为 0.01MeV/c2),c 为真空中的光速,中微子 νe 的质量小 于 3eV/c2.普朗克常量 h=6.626× 10-34J· s,c=3.0× 108m/s,玻尔兹曼常量 k=1.381× 10-23J/K.电子 电量 e=1.602× 10-19C.
4

(1)试用理想气体模型估算处于热平衡状态的各种粒子的平均动能及太阳核心区的压强 (请分别用 eV 和 atm 为单位); (2)反应式(II)中的 x 是什么粒子(α、β、γ、p 和 n 之一)?请计算该粒子的动能和 动量的大小,是否可以找到一个参照系,使得 x 粒子的动能为零? (3)给出反应式(I)中各反应产物的动能的范围; 第一题

第二题
5

6

7

第三题

8

第四题

9

1 0

第五题

1 1

第六题

第七题

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

第八题

1 7

1 8


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