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三角形经典例题


授课内容: 三角形的有关概念
教学目标: 1. 掌握特殊三角形等边三角形,等腰三角形,直角三角形的性质 2. 会用勾股定理判定直角三角形 3. 掌握三角形的中线,角平分线和垂线的概念 教学重难点:等腰三角形和等边三角形的性质与判定

授课内容:
【知识考点】 一 、 三 角 形 的 分 类 : 1. 三 角 形 按 角 分 为 ______

________, ______________, _____________. 2. 三 角 形 按 边 分 为 _______________,__________________. 二 、 三 角 形 的 性 质 : 1. 三 角 形 中 任 意 两 边 之 和 ____第 三 边 , 两 边 之 差 _____第 三 边 2. 三 角 形 的 内 角 和 为 _______, 外 角 与 内 角 的 关 系 : __________________. 三 、 三 角 形 中 的 主 要 线 段 : 1. ___________________________________叫 三 角 形 的 中 位 线 . 2. 中 位 线 的 性 质 : ____________________________________________. 3. 三 角 形 三 条 中 位 线 将 三 角 形 分 成 四 个 面 积 相 等 的 全 等 三 角 形 。 4. 角 平 分 线 : 三 角 形 的 角 平 分 线 交 于 一 点 , 这 点 叫 三 角 形 的 内 心 , 它 到 三 角 形 三 边 的 距 离 , 内 心 也 是 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 。 5. 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 : 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点 , 这 点 叫 做 三 角 形 的 外 心 , 它 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离 , 外 心 也 是 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 。 6. 三 角 形 的 中 线 、 高 线 、 角 平 分 线 都 是____________. (线 段 、 射 线 、 直 线 ) 四 、 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定 : 1. 等 腰 三 角 形 的 两 底 角 __________; 2. 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 ______、 底 边 上 的 ________和 顶 角 的 _______互 相 重 合 ( 三 线 合 一 ) ; 3. 有 两 个 角 相 等 的 三 角 形 是 _________. 五 、 等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定 : 1. 等 边 三 角 形 每 个 角 都 等 于 _______, 同 样 具 有 “三 线 合 一 ”的 性 质 ; 2. 三 个 角 相 等 的 三 角 形 是 ________, 三 边 相 等 的 三 角 形 是 _______, 一 个 角 等 于 60° 的 _______三 角 形 是 等 边 三 角 形 . 六 、 直 角 三 角 形 的 性 质 与 判 定 : 1. 直 角 三 角 形 两 锐 角 ________. 2. 直 角 三 角 形 中 30° 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 ________. 3. 直 角 三 角 形 中 , 斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 ______. ; 4. 勾 股 定 理 : _________________________________________. 5. 勾 股 定 理 的 逆 定 理 : _________________________________________________ . 【 中 考 试 题 】 一 . 选 择 题 1. ( 2010年 , 3分 ) 如 图 1, 在△ AB C中, D是 B C延 长线 上一 点, ∠ B = 40° , ∠ ACD = 120° , 则 ∠ A等 于 (
A


1

B

40°

120° D C

A. 60° C. 80°

B. 70° D. 90°

2. ( 2011山 东 济 宁 ) 如 果 一 个 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 是5cm和 6cm, 那 么 此 三 角 形 的 周 长 是 A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 16cm或 17cm 3. ( 2011四 川 ) 如 图 , 在△ABC 中 , AB ? AC ? 13 , BC ? 10 , 点D 为 BC 的 中 点 ,DE DE ? AB , 垂 足 为 点E , 则DE 等 于 ( A. )

10 13

B.

15 13

C.

60 13

D.

75 13
A

D
B
(第 7 题)

E
C

4. ( 2011浙 江 省 舟 山 ) 如 图 , 边 长 为 4的 等 边 △ABC中 , DE 为 中 位 线 , 则 四 边 形 BCED的 面 积 为 ( ( A) 2 3 ( B)3 3 ( C)4 3 ( D)6 3 5. ( 2011山 东 德 州 13,4分 ) 下 列 命 题 中 , 其 逆 命 题 成 立 的 是 ______________. ( 只 填 写 序 号 ) . ① 同 旁 内 角 互 补 , 两 直 线 平 行 ; ② 如 果 两 个 角 是 直 角 , 那 么 它 们 相 等 ; ③ 如 果 两 个 实 数 相 等 , 那 么 它 们 的 平 方 相 等 ; ④ 如 果 三 角 形 的 三 边 长 a, b, c满 足a ? b ? c , 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .
2 2 2



6. ( 2011四 川 南 充 市 ) 如 图 , ⊿ ABC和 ⊿ CDE均 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 点 B,C,D在 一 条 直 线 上 , 点 M是 AE的 中 点 , 下 列 结 论 : ① tan∠ AEC=

BC ;② S⊿ABC+S⊿CDE ≧ S⊿ACE ;③ BM⊥ DM;④BM=DM. 正 确 结 论 的 个 数 是 ( CD
( D) 4个

) ( A) 1个

( B) 2个

( C) 3个

A M E

B
二 、 填 空 题

C

D

1. (2011 山东滨州)边长为 6cm 的等边三角形中,其一边上高的长度为________. 2. ( 2011山 东 ) 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 14, 其 一 边 长 为 4, 那 么 , 它 的 底 边 为 .
2

3. 等 腰△ ABC 两 边 的 长 分 别 是 一 元 二 次 方 程x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的 两 个 解 , 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 4. ( 2011湖 南 邵 阳 ) 如 图 ( 四 ) 所 示 , 在 △ABC中 ,AB=AC, ∠B=50° , 则 ∠A=_______。



5. ( 2011湖 南 怀 化 ) 如 图 6, 在 △ ABC中 ,AB=AC, ∠BAC的 角 平 分 线 交BC边 于 点 D,AB=5,BC=6, 则AD=__________________. 6. ( 2011贵 州 安 顺 , 16, 4分 ) 如 图 , 在 Rt△ ABC中 , ∠ C=90° , BC=6cm, AC=8cm, 按 图 中 所 示 方 法 将 △ BCD沿 BD折 叠 , 使 点 C落 在 AB 边 的 C′点 , 那 么 △ ADC′的 面 积 是 .

B D C
7. ( 2011河 北 ) 如 图 3, 在 △ ABC中 , ∠ C=90° ,BC=6,D,E分 别 在AB, AC上 , 将 △ABC沿 DE折 叠 , 使 点A落 在 点 A′处 , 若 A′为CE的中 点 , 则 折 痕 DE的 长 为 ( ) A. 二 填 空 题 8. (2011重 庆 綦 江 ) 一 个 正 方 体 物 体 沿 斜 坡 向 下 滑 动 , 其 截 面 如 图 所 示. 正 方 形 DEFH的 边 长 为 2米 , 坡 角 ∠ A= 30° ,∠ B= 90° ,BC= 6米 . 米 时 ,有 DC = AE + BC .
2 2 2

A' 图3

E

A
第 6 题图

1 2

B. 2

C. 3

D. 4

当 正 方 形 DEFH运 动 到 什 么 位 置 ,即 当 AE=

9. ( 2011浙 江 台 州 ) 已 知 等 边 △ ABC中 , 点 D,E分 别 在 边AB, BC上 , 把 △BDE沿 直 线 DE翻 折 , 使 点B落 在 点Bˊ 处 , DBˊ , EBˊ 分 别 交 边 AC于 点 F, G, 若 ∠ ADF=80?, 则 ∠ EGC的 度 数 为

3

10. ( 2011浙 江 ) 如 图 , △ ABC和 △ ADE 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 , ∠ BAC=∠ DAE =90° 四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形 , 连 结 CE 交 AD于 点 F, 连 结 B D交 CE 于 点 G, 连 结 BE. 下 列 结 论 中 : ① CE =BD; ②△ ADC是 等 腰 直 角 三 角 形 ; ③∠ ADB=∠ AEB ; ④ CD· AE=EF· CG; 一 定 正 确 的 结 论 有
B

.

A C F G D E

11. 如 图 7-67所 示 ,有 一 底 角 为 35° 的 等 腰 三 角 形 纸 片 ,现 过 底 边 上

一 点 ,沿 与 底 边 垂 直 的 方 向 将 其 剪 开 ,分 成 三 角 形 和 四 边 形 两 部 分 ,则 四 边 形 中 的 最 大 角 的 度 数 是 ______. 12. ( 2011广 东 茂 名 , 14, 3分 ) 如 图 , 已 知 △ ABC是 等 边 三 角 形 , 点 B、 C、 D、 E在 同 一 直 线 上 , 且 CG= CD, DF = DE , 则 ∠ E= 度 .

13. ( 2011贵 州 贵 阳 ) 如 图 , 已 知 等 腰 Rt△ ABC的 直 角 边 长 为 1, 以 Rt△ ABC的 斜 边 AC为 直 角 边 , 画 第 二 个 等 腰 Rt△ ACD, 再 以 Rt△ACD 的 斜 边 AD为 直 角 边 , 画 第 三 个 等 腰 Rt△ ADE, …, 依 此 类 推 直 到 第 五 个 等 腰 Rt△ AFG, 则 由 这 五 个 等 腰 直 角 三 角 形 所 构 成 的 图 形 的 面 积 为 ______. 14. ( 2011四 川 乐 山 ) 如 图 , 已 知 ∠ AOB= ? , 在 射 线 OA、 OB上 分 别 取 点 OA 1 =OB 1 , 连 结 A1 B 1 , 在B 1 A 1 、B 1 B上 分 别 取 点A 2 、B 2 , 使 B 1 B 2 = B1 A 2 , 连 结 A 2 B 2 …按 此 规 律 上 去 , 记 ∠ A 2 B 1 B 2 = ?1 , ∠A3 B 2 B3 ? ?2 , …, ∠An+1B n Bn?1 ? ?n
4

则 ⑴?1 =

; ⑵ ?n =



三 解 答 题 15. ( 2011湖 北 襄 阳 , 21, 6分 ) 如 图 6, 点 D, E在 △ ABC的 边 BC上 , 连 接 AD, AE . ① AB = AC; ② AD= AE ; ③ BD= CE. 以 此 三 个 等 式 中 的 两 个 作 为 命 题 的 题 设 , 另 一 个 作 为 命 题 的 结 论 , 构 成 三 个 命 题 : ① ②? ③ ; ① ③ ; ② ③? ① . ?② ( 1) 以 上 三 个 命 题 是 真 命 题 的 为 ( 直 接 作 答 ) ( 2) 请 选 择 一 个 真 命 题 进 行 证 明 ( 先 写 出 所 选 命 题 , 然 后 证 明 ). ;

A

B

D

图6

E

C

16. 已 知 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 把 这 个 三 角 形 的 周 长 分 为13 cm和 15 cm两 部 分 , 试 求 此 等 腰 三 角 形 的 腰 长 和 底 边 长 .

17. ( 2011?青 海 ) 认 真 阅 读 下 面 关 于 三 角 形 内 外 角 平 分 线 所 夹 的 探 究 片 段 , 完 成 所 提 出 的 问题 . 探 究 1: 如 图 1, 在 △ ABC中 , O是 ∠ABC与 ∠ACB的 平 分 线BO和 CO的 交 点 , 通 过 分 析 发 现 ∠BOC=90° + ∵ BO和CO分 别 是 ∠ ABC和 ∠ACB的 角 平 分 线 ∴ , 理 由 如 下 :

∴ 又 ∵ ∠ ABC+∠ACB=180° ﹣ ∠ A
5



∴ ∠ BOC=180° ﹣ ( ∠ 1+∠ 2) =180° ﹣ ( 90° ﹣∠ A)

= 探 究 2: 如 图 2中 , O是 ∠ ABC与 外 角 ∠ACD的 平 分 线BO和 CO的 交 点 , 试 分 析 ∠ BOC与 ∠A有 怎 样 的 关 系 ? 请 说 明 理 由 . 探 究 3: 如 图 3中 , O是 外 角 ∠ DBC与 外 角 ∠ ECB的 平 分 线BO和 CO的 交 点 , 则 ∠BOC与 ∠A有 怎 样 的 关 系 ? ( 只 写 结 论 , 不 需 证 明 ) 结 论 : . 18. ( 2011年 , 10分 ) 在 图 14-1至 图 14-3中 , 点 B是 线 段 AC的 中 点 , 点 D是 线 段 CE 的 中 点 . 四 边 形 BCGF 和 CDHN都 是 正 方 形 . AE 的 中 点 是 M . ( 1) 如 图 14-1, 点 E在 AC的 延 长 线 上 , 点 N与 点 G重 合 时 , 点 M与 点 C重 合 , 求 证 : FM = MH, FM⊥ MH; ( 2) 将 图 14-1中 的 CE 绕 点 C顺 时 针 旋 转 一 个 锐 角 , 得 到 图 14-2, 求 证 : △FMH是 等 腰 直 角 三 角 形 ; ( 3) 将 图 14-2中 的 CE缩 短 到 图 14-3的 情 况 , △ FMH还 是 等 腰 直 角 三 角 形 吗 ? ( 不 必 说 明 理 由 )
F G (N ) H

A

B

C(M)

D

E

图 14-1
F G N H A B M C D E

图 14-2
F G N

19.

( 2011四 川 乐 山 25, 12分 ) 如 图 ,在 直 角 △ ABC中 ,
C A B M D

H

图 14-3

E

∠ ACB=90

,CD⊥ AB, 垂 足 为 D, 点 E在AC上 , BE交 CD于 点 G,EF⊥BE交AB于 点 F, 若 AC=mBC,CE=nEA(m,n为 实 数 ). 试 探 究 线 段 EF与
6

EG的 数 量 关 系 .

(1) 如 图 (14.2), 当 m=1,n=1时 ,EF与 EG的 数 量 关 系 是 证 明 : (2) 如 图 (14.3), 当 m=1,n为 任 意 实 数 时 ,EF与 EG的 数 量 关 系 是 证 明 (3) 如 图 (14.1), 当 m,n均 为 任 意 实 数 时 ,EF与 EG的 数 量 关 系 是 (写 出 关 系 式 ,不 必 证 明 )

20. (2011 浙江绍兴,23,12 分)数 学 课 上 , 李 老 师 出 示 了 如 下 框 中 的 题 目 .

A
在等边三角形ABC中,点E在AB上, 点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图. 试确定线段AE与DB的大小关系,并说明 理由.

E

D
小 敏 与 同 桌 小 聪 讨 论 后 , 进 行 了 如 下 解 答 : ( 1) 特 殊 情 况 , 探 索 结 论

B

C

当 点 E 为 AB 的 中 点 时 , 如 图 1, 确 定 线 段AE 与DB 的 大 小 关 系 , 请 你 直 接 写 出 结 论 : AE DB (填“>”,“<”或“=”).

A E D B
第 25 题图 1 ( 2) 特 例 启 发 , 解 答 题 目 解 : 题 目 中 ,AE 与DB 的 大 小 关 系 是 : AE ( 请 你 完 成 以 下 解 答 过 程 ) ( 3) 拓 展 结 论 , 设 计 新 题

A E

C

D

B

第 25 题图 2

C

DB (填“>”,“<”或“=”). 理由如下:如图2,过点E 作EF / / BC ,交AC 于点F .

7

在 等 边 三 角 形ABC 中 , 点E 在 直 线 AB 上 , 点D 在 直 线BC 上 , 且ED ? EC . 若?ABC 的 边 长 为 1,AE ? 2 , 求CD 的 长 ( 请 你 直 接 写 出 结 果 ) .

8


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