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自主招生试卷北京培训项目真题解析第12讲 反三角函数


第一部分 基础知识串讲
主讲老师: 贾广素
任职学校:山东省济宁一中

2.3 反三角函数

? 近年以来,高中数学教材降低了对反函数的要求,删减了 反三角函数的内容,但自主招生考试中却不会降低要求。 这一点需要大家注意.

考点一 反三角函数的概念

反正弦函数的定义:
? ? 的反函数叫做反正弦函数, 函数y?sinx, [? , ] 2 2
记作 y?arcsinx, x?[?1,1] .

从反正弦函数的图像可以看出: (1) 反正弦函数y?arcsinx在区间[?1,1]上是增函数;

(2) 反正弦函数y?arcsinx,x?[?1,1]是奇函数,
即 arcsin(?x)??arcsinx .

记号arcsinx的含义:
(1) x?[?1,1];

(2) arcsinx表示一个角,且 arcsin x ?[? , ] ; 2 2
(3) sin(arcsinx)?x, x?[?1,1]; (4) arcsinx?? 等价于sin? ?x且 ? ?[? , ] . 2 2

? ?

? ?

反余弦函数的定义:
函数y?cosx,x?[0,?]的反函数叫做反余弦函数, 记作 y?arccosx, x?[?1,1] .

从反余弦函数的图像可以看出:

(1) 反余弦函数y?arccosx在区间[?1,1]上是减函数;
(2) 反余弦函数y?arccosx,x?[?1,1]非奇非偶,

但是中心对称图形

arccos(?x)?? ?arccosx .

反正切函数的定义:
? ? 的反函数叫做反正切函数, 函数y?tanx, x ? (? , ) 2 2
记作 y?arctanx, x?R .

从反正切函数的图像可以看出:

(1) 反正切函数y?arctanx在区间(??,?)上是增函数;
(2) 反正切函数y?arctanx,x?(??,?)是奇函数,



arctan(?x)??arctanx .

记号arccosx、arctanx的含义:
(1) cos(arccosx)?x, x?[?1,1], arccos x ?[0,? ] ;

(2) tan(arctanx)?x, x?R, arctan x ? (? , ) ; 2 2
(3) arccosx?? 等价于cos? ?x且 ? ?[0,?]; (4) arctanx?? 等价于tan? ?x且 ? ? (? , ) . 2 2

? ?

? ?

【典例分析】

考点二 反三角函数的应用

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