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2014年甘肃省一诊


---------------------------------密---------------------------------------------封----------------------------------------------线---------------------------------

姓名_________________

_

2014 年甘肃省第一次高考诊断试卷 理科数学
题号 得分 注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ 卷 (选择题) 和第Ⅱ 卷 (非选择题) 两部分.考生务必将自己的姓名、 准考证填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动,用橡皮擦干净,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅰ 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,本试卷学生自行保留,将答题卡交回.

C.

3 2

D.3

4.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点







总分

M ?x, y ? ,则点取自阴影部分的概率是( 1 1 A. B. 2 3 1 1 C. D. 4 6
A.72 A.5 C.7
2



第 4 题图

学号__________________

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? ( B.68 B.6 D.9 ) B. c ? a ? b D. c ? b ? a C.54 ) D.90 6.阅读右侧的程序框图,输出结果 i 的值为(



7.设 a ? lg e , b ? ?lg e? , c ? lg e ,则( A. a ? b ? c C. a ? c ? b

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

班级__________________

一、选择题(本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.)
, 1.已知集合 A ? x ? Z x ? 5 ,B ? ?x x ? 2 ? 0? 则 A ? B 等于(

?

A. ?2, 5?
2

B. ?2, 5?

?



? y?2 ? 8.已知点 P?x, y ?满足线性约束条件 ? x ? y ? 1 ,点 ?x ? y ? 1 ?

第 6 题图

C. ?2, 3, 4? )

D. ?3, 4, 5?

M ?3,1? , O 为坐标原点,则 OM ? OP 的最大值为(
A.12
n

) D.-1

?1? i ? 2.复数 ? ? ( i 是虚数单位)化简的结果是( ?1? i ?
A.1 C. i B.-1 D. ? i

B.11

C.3

1? ? 9.若展开式 ? x 2 ? ? 中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项的 x? ?
值是( A.-84 10.已知双曲线
第 3 题图

学校_________________

) B.84 C.-36 D.36

3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积 3 是 ,则正视图中 x 的值是( ) 2 9 A.2 B. 2

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的两条渐近线均与圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x a2 b2

? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于(



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A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

16. 若 三 棱 锥 S ? ABC 为_______________.

的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面

上 , SA ? 平面ABC , SA ? 2 3, AB ? 1 则球 O 的表面积 ,AC ? 2,?BAC ? 60?, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a?1 ? cosC ? 统

11. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ?x ? 满 足 f ?x ? 1? f ?x ? ? ?2? f ?x ? ? 0? , 且 在 区 间

?2013,2014? 上 单 调 递 增 , 已 知 ? , ? f ?sin ? ? , f ?cos ? ?的大小关系是( A. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? B.
C. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ?

是锐角三角形的两个内角,则 )

f ?sin ? ? ? f ?cos ? ?

D. 以上情况均有可能

? c?1 ? cos A? ? 3b ;
(Ⅰ)求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ) 若 ?B ? 60? , b ? 4, 求 ?ABC 的面积.

12.设 f ?x ? 是定义在 R 上的函数, ?x ? R ,都有 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? , f ?? x ?

?a ? 0, a ? 1? 在区间 ?? 1,2 0 1 4 ? 内恰有三个不同零点 , 则实数 a 的取值范围是
( )
?1 1? A. ? , ? ? ?9 5?

? f ?x ? ,且当 x ? ?0,2? 时, f ?x? ? 2 x ? 2 ,若函数 g ?x? ? f ?x? ? loga ?x ? 1?

?

3, 7

?

? 1? B. ? 0, ? ? ? 9?

? ?

7 ,??

? ?
18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形,且 AD ∥ BC , ?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 1 PAD ? 底面 ABCD ,若 PA ? AB ? BC ? AD . 2 (Ⅰ)求证: CD ? PC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.
第 18 题图

?1 ? C. ? ,1? ? 1, 3 ?9 ?

?

?
第Ⅱ卷

?1 1? D. ? , ? ? ? 7 3?

3, 7

(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考 生必须做答,第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知函数 f ? x ? ?
1 1? x ? log 2 ,则 x 1? x

? 1 ? f? ?? ? 2014?

1 ? ? f ?? ? ? _____________. ? 2014?

14.设随机变量 ? 服从正态分布 N ?2,9? ,若 P?? ? c ? 1? ? P?? ? c ? 1? ,则 c ? ____. 15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 100, an?1 ? an ? 2n ,则
an 的最小值______________. n

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19.(本小题满分 12 分) 某校二年级进行社会实践 ,对 ?25,55? 岁的人群随机抽取 n 个人进行一次 开通 “微信” 的调查.若开通 “微信” 的称为 “时尚族” ,否则称为 “非时尚族” , 通过调查分别得到如下图 1 所示统计表,如图 2 所示各年龄段人数频率分布直 方图:

20.(本小题满分 12 分) 如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A 和 B , 且 AB 与 n ?

?

2,?1 共线.

?

(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q , O 为坐标原点,总使 OP ? OQ ? 0 ,求实数 m 的取值 范围.
第 20 题图

第 19 题图

请完成下列问题: (Ⅰ)补全频率分布直方图,并求 n, a, p 的值; (Ⅱ)从 ?40,45? 岁和 ?45,50? 岁年龄段的“时尚族”中采取分层抽样法抽 取 18 人参加网络“时尚达人”大赛,其中选取 3 人作为领队,设选取的 3 名领 队年龄在 ?40,45? 岁的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? ln?x ? a? ? x 2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值;

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5 (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ?0,2? 上恰有两个不同的实数 2 根,求实数 b 的取值范围; 3 4 n ?1 (Ⅲ)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln?n ? 1? 都 4 9 n 成立.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? .以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是:

?x ? m ? t , ?t是参数? . ? ? y?t
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标系方程,直线 l 的参数方程化 为普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,且 AB ? 14 ,试求实数 m 的值.

请从下面所给的 22、 23、 24 三题中选定一题做答,并用 2B 铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答题 第一题评分;多答按所答题第一题评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC , M 为
AO 上一点, BM 的延长线交圆 O 于点 T ,过点 T

的切线交 CA 的延长线于点 P . (Ⅰ)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2 3, OA ? 3OM ,求
MT 长.
第 22 题图

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ?x? ? lg? x ? 1 ? x ? 2 ? a? . (Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ?x ? 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

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