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2013届江苏省海安高级中学高三数学试卷


江苏省海安高级中学高三数学试卷(26)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.设 a ? R ,且复数 a ? 1 ? i 是纯虚数,则 a 的值为 1? i 2 【答案】-1 2. 将一个钢球置于由 6 根长度为 2 的钢管焊接成的正四面体的钢架内,则这个钢球的最 大体积为 【答案】 π 6 3.设向量 a ? 1 ,sin ? 的模为 2 ,则 cos 2a = 2 2 【答案】 1 2 4. 在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积大于 9 cm 2 的概率为 【答案】 4 5 5. 设等差数列 ?an ? 的公差为 d,若 a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1,则 d= 【答案】 ? 1 2 阅读下列程序: Read
S ?1









?

?













For I From 1 to 5 Step 2 S?S?I Print S End for End

输出的结果是 ▲ . 【答案】10 6. 如图,边长为 2 的正三角形 ABC 中,D、E、F 分别在边 AB、

A

BC、CA 上,且 D 为 AB 中点,BE= 1 BC,CF= 1 AC,则
4

3

D

F C

??? ??? ? ? ED ? EF ?





B

E

【答案】 1 2 7. 椭圆 x ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△FAB 的周长最大 2
2

时,△FAB 的面积为 【答案】 2





?x ? y ? 3 ? 0 ? 8.若直线 y=x 上存在点 x,) ( y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的最大值为 ?x ? m ?





【答案】

3 2 ▲ .

9.当 0<x≤ 1 时,不等式 8x ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 3 【答案】 3 ,1) ( 3 10.右图为函数 f ? x ? ? x ? 0 ? x ? 1? 的图像,其在点 M(t,f(t) ) 处的切线为 l,l 与 y 轴和直线 y=1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个, 则 b 的取值范围为 ▲ . 【答案】 1 , 8 4 27

y N M P O x Q

?

?

11.已知 ? 、 ? 、 ? ? R ,则 | sin ? ? sin ? | ? | sin ? ? sin ? | ? | sin ? ? sin ? | 的最大值为 ▲ .

【答案】2+ 2 12.设 a ? R , f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? a 2 ? 1 x 在 ? ??,0 ? 和 ?1, ?? ? 都是增函数,则 a 的取值范围 是 ▲ .

?

?

? ? 【答案】 ? ??, ? 6 ? ? ?1, ?? ? 2 ? ?

13. 已知函数 f ? x ? ? ln ex , 若 e?x 【答案】8

2012 k ?1

?

f

ke ? 2013 ? ? 503? a ? b? ,则 a

2

? b2 的最小值为





14.设点 P 在函数 y ? x2 ? 2 的图像上,点 Q 在函数 y ? x ? 2 的图像上,则 PQ 的最小值为 ▲ .

【答案】 7 2 4 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知锐角△ABC 的三个内角 A、B、C 对边分别是 a、b、 c,
a?b ? c . cos A ? cos B cos C

(1)求证:角 A、C、B 成等差数列; (2)若△ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求△ABC 周长的最小值. 【答案】 (1) 根据题意, 在△ABC 中,由正弦定理得

sin A ? sin B sin C ? cos A ? cos B cos C
即 sin A cos C ? sin B cos C ? sin C cos A ? sin C cos B

? sin( A ? C ) ? sin(C ? B)
又 A、B、C ? (0, 而 y ? sin x 在 ( ?

?
2

) ,? ?

?
2

? A?C ?

?
2

、 ?

?
2

?C?B?

?
2

? ?

, ) 内单调递增 2 2

?A?C ? C ? B
即 2C ? A ? B ,角 A、C、B 成等差数列. (2)由 A ? B ? C ? ? 及 2C ? A ? B 得 C ?

?
3

S ?ABC ?
2

1 ab sin C ? 3 ? ab ? 4 2
2 2 2 2

又 c ? a ? b ? 2ab cosC ? a ? b ? ab ∴ a ? b ? c ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2 ab ? 2ab ? ab ? 3 ab ? 6 当且仅当 a ? b 时,取等号 ∴△ABC 周长的最小值是 6 16. (本小题满分 14 分) 在如图的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB,AD // EF,BC// EF,BC = 2AD =4, EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. A D (1)求证:AB // 平面 DEG; (2)求证:BD⊥EG.

E

F

B
【答案】 (1)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC .

G

C

又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (2) B 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . 17. (本小题满分 14 分)

A

D

E

H

F

G

C

某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该 设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影 部分均不通风) MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平 , 行的伸缩横杆.
M N C G

(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方) 表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值. 【答案】 (1) ①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, 1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; 2 ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H,
D M A E C N B D

A

E (第 17 题)

B

G

图1

∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . DC GF 3 故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; 3 3 综合可得:
M D G

H F

N C

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? A E 1 ?? 3 x ? ?1 ? 3 ? x. 1<x< ? 3 ? ? 图2 ? ? ? (2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; 3 2 3 ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ? x ? (1 ? )x . 3 3 1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2

?

?

B

2 1 3 ∵ ? ? 1, 2 3

∴ S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. 2 3 18. (本小题满分 16 分)
2 y2 如图: 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a b

???? ? ???? ? 左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 AF2 ? 5BF2 ? 0 .
(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点, 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B) M ,连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线

MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1 、 k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?
若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

【答案】

???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 7
? c ? 2 ,从而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 5
x1 ? 1 y ? 1, y1

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ? 代入椭圆方程 整理得,

x2 y 2 ? ?1, 9 5

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ,? y3 ? .从而 x3 ? 1 , 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? 故点 P ? 1 , , ? .同理,点 Q ? ?. ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

? 三点 M 、 F1 、 N 共线,?

y1 y2 ? ,从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . x1 ? 2 x2 ? 2

4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 ? 1 ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? 3 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5

故 k1 ?

4 4k 2 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? ? ? . 7 7

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 a(a≠0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a ?t ? 0? ,
bn ? Sn ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 t=1 时,若对任意 n ? N? ,都有 | bn |?| b5 | ,求实数 a 的取值范围;

(3)当 t≠1 时,若 cn ? 2 ? ? bi ,求 能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对(a,t) .
i ?1

n

【答案】 (1)当 n ? 1 时,由 S 2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at ,当 n ? 2 时, S n ? tS n ?1 ? a , 所以 S n ?1 ? S n ? t ( S n ? S n ?1 ) ,即 an ?1 ? an t , 又因为 a1 ? a ? 0 ,综上,有 所以 an ? at n ?1 . (2)当 t ? 1 时, S n ? na, bn ? na ? 1, bn ?1 ? bn ? a ,此时 ?bn ? 为等差数列; 当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N * , an ? 0 恒成立,不合题意; 当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递减数列,由题意知得 b4 ? 0, b6 ? 0 ,且有 ?
[来源:Z+xx+k.Com]

an ?1 ? t (n ? N * ) ,所以 ?an ? 是首项为 a ,公比为的等比数列, an

?b4 ? b5 ? ,解得 ?b6 ? b5 ? ?

?

2 2 ? 2 2? ? a ? ? .综上 a 的取值范围是 ? ? , ? ? . 9 11 ? 9 11 ?

(3)因为 t ? 1 , bn ? 1 ?

a at n , ? 1? t 1? t

a a a a (t ? t n ?1 ) 2 n )n ? (t ? t ? ? ? t ) ? 2 ? (1 ? )n ? 所以 cn ? 2 ? (1 ? 1? t 1? t 1? t (1 ? t )2 ? 2? at 1? t ? a at n ?1 ? n? ,由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有 (1 ? t ) 2 1? t (1 ? t ) 2

at ? ?2 ? (1 ? t ) 2 ? 0 ?a ? 1 ? ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? 1? t ?
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 ( a, t ) ,再进行证明) 20. (本小题满分 16 分) 如果函数 y ? f ? x? 的定义域为 R,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得
f ? x ? a? ? f ? ? x? ,则称此函数具有“P(a)性质” .

(1)已知 y ? f ? x ? 具有“P(0)性质” ,且当 x≤0 时, f ? x ? ? ? x ? m? ,求 y ? f ?x ? 在
2

[0,1]上的最大值; (2)设函数 y ? g ? x ? 具有“P(±1)性质” ,且当 ? 1 ? x ? 1 时, g ? x ? ?| x | ,若 y ? g ? x 2 2 与 y=mx 交点个数为 2013 个,求实数 m 的值. 【答案】

?

江苏省海安高级中学高三数学试卷(26) 附加题
21. 【选做题】 本题包括 A、 、 、 四小题, ................... 若 B C D 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B. (矩阵与变换)
? 1 ? ? ?2 ? ? 3 ? ? ?2 ? 二阶矩阵 M 对应的变换将向量 ? ? 、 ? ? 分别变换成向量 ? ? 、 ? ? ,直线 l ? ?1? ? 1 ? ? ?2 ? ? ?1? 在 M 的变换下所得到的直线 l ? 的方程是 2x-y-1=0,求直线 l 的方程. 【答案】

设M ? ?

?a b ? ?a b ? ? 1 ? ? 3 ? ?a b ? ?? 2? ?? 2? ? ,则由题知 ? c d ? ?? 1? ? ?? 2?, ? c d ? ? 1 ? ? ? ? 1?, 所以 ?c d ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

? a?b ? 3 ?a ? ?1 ? c ? d ? ?2 ?b ? ?4 ? ? 1 ? 4? ? ? ,解得 ? ,所以 M ? ? ? 5? ?3 ? ?? 2a ? b ? ?2 ? c?3 ?? 2c ? d ? ?1 ?d ?5 ? ?
设点 P ( x, y ) 是直线 l 上任一点,在 M 变换下对应的点为 P' ( x0 , y0 ) ,那么

? x0 ? ? x ? 4 y ?? 1 ? 4? ? x ? ? x0 ? ?3 ? ? y ? ? ? y ?, 即 ? y ? 3 x ? 5 y 5 ?? ? ? 0 ? ? ? 0

[来源:Z。xx。k.Com]

因为 2 x0 ? y0 ? 1 ? 0 ,? 2(? x ? 4 y) ? (3x ? 5 y) ? 1 ? 0, 即 5 x ? 13y ? 1 ? 0 , 因此直线 l 的方程是 5 x ? 13y ? 1 ? 0

C. (坐标系与参数方程) 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. x 已
? x ? r cos ? 知点 A、B 的极坐标分别为(1,0)(1, π ) 、 ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参 2 ? y ? r sin ?

数,r>0) ,若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值. 【答案】 ∵点 A 、 B 的极坐标分别为 (1 , 0) 、(1 ,

?
2

) ,∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 (1 , 0) 、(0 , 1) ,
由 曲 线 C 的 参 数 方 程

∴ 直 线 AB 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 .

? x ? r cos? , 化为普通方程为 x2 ? y 2 ? r 2 , 5 分 (?为参数) ? ? y ? r sin ?
∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,∴直线 AB 与圆 C 相切 ∴半径 r ?
? 2 . 2 1 ?1
2 2

?1

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m. (1)试确定 m,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 ; (2)在线段 A1C1 上是否存在一定点 Q,使得对任意的 m, D1Q 在平面 AP D1 内的射影垂

直于 AP,并证明你的结论. D1 A1 B1 P D A 【答案】 (1)建系,平面 BDD1B1 的一个法向量 AC ? ? ?1,1,0 ? , AP ? ? ?1,1, m ? B C C1

????

??? ?

??? ??? ? ? cos AC, AP ?

2 2 ? 2 ? m2

,?sin ? ?

2 2 ? m2



2 1 ? 3 2,? m ? m 3 ??? ???? ? ? ???? ???? ? (2)由题意知, AP ? D1Q .设 AQ ? ? AC1 , 1 1 tan ? ?

?? x ?1, y, z ?1? ? ? ? ?1,1,0? ,
?x ? 1? ? ? ?? y ? ? ? z ?1 ?

??? ? ???? ? ?Q ?1 ? ? , ? ,1? ,? D1Q ? ?1 ? ?, ?,0 ? , AP ? ? ?1,1, m?

??? ???? ? ? 1 ?1 1 ? ? AP ? D1Q ? 0,? ? ? ,? Q ? , ,1? . 2 ?2 2 ?
23. (本小题满分 10 分) 已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x 2 ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20,O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ABC 面积最大? 【答案】
2 (1)将 y ? 2 x ? k 代入 x ? 4 y 得 x ? 8x ? 4k ? 0 ,
2

由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 ,

另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ; (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

? 则只须使得 y C ?

1 ? 2 xC ? 2 , 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处.


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