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正弦定理


第 4 讲:正弦定理 【考纲要求】 掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 【教学重难点】正弦定理的应用 【重难点命题方向】 预习探求 1.在一个三角形中,较大的角所对的边也 较小的角所对的边也 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 , 即 . 3.运用正弦定理可以解决两类三角形问题: (1) ;(2) . 概念深化 1.

a b

c ? ? ? 2R SinA SinB SinC

(R 为三角形外接圆半径)

2.正弦定理的几个变形:

, ① a ? 2RSinA

b ? 2RSinB , c ? 2RSinC.

② a : b : c ? SinA : SinB : SinC . 3 三角形面积公式 题型一 例 1: 解三角形

S?ABC ?



①已知 ?ABC 中, a ? 50, ②在 ?ABC 中, b ? 2, ③ b ? 14,

b ? 25 6,

A ? 45? 求角 B .

c ? 1, ?B ? 45? 求边 a 及角 C .

c ? 7,

角 C ? 150 ? ,求角 B .

例 2、已知 ?ABC中 , a ? 3, b ? 2, B ? 45?, 解三角形ABC.

变式 1、 ?ABC中 , a ? 1, b ? 2, B ? 45?, 解三角形 ABC.

变式 2、 ?ABC中 , a ? 4, b ? 2, B ? 45?, 解三角形ABC.

【小结】 :1、已知 a, b和A ,解三角形时完成下表:
A 为锐角 A 为钝角或直


图形

关系 式 解的 个数

a<bsin A

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

不解三角形,确定下列判断是否正确
1 a ? 7, b ? 14 ○ , A ? 30?, 有两解 2 a ? 30, b ? 25 ○ , A ? 150?, 有一解 3 a ? 6, b ? 9, A ? 45?, 有两解 ○ 4 b ? 9, c ? 10, B ? 60?, 无解 ○

( ( ( (

) ) ) )

题型二 例2

求面积 在 ?ABC 中, B ? 30?,

AB ? 2 3, AC ? 2,

求 ?ABC 的面积.

方法提升: 一题一练:在 ?ABC 中,已知 a ? 3 2, cos C ? 题型三 判断三角形的形状

1 , S ?ABC ? 4 3 ,则 b ? 3



例 3 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B, 则此△ABC 是什么三角形

方法提升: 一题一练:在 ?ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C 试判断 ?ABC 的形状.

课堂检测 1. 在 ?ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 1, A ?

?
3

,求边 c 。

2. 在 ?ABC 中, b ? 2, c ? 3 , S ?ABC ?

3 ,求角 A 。 2

3. 在 ?ABC 中, a ? 2b cos C ,判断这个三角形的形状。 【基础限时训练】 1.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60? , C ? 75? , 则 b 的值( A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. )

32 3
)

2.在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , c ? 2 2, b ?
?

4 3 , 则 A 的值( 3
?

A. 15

?

B. 75

?

C. 105

?

D. 15 或 75 )

?

3.不解三角形,确定下列判断中正确的是( A. a ? 7, b ? 14, ?A ? 30 , 有两解
?

B. a ? 30, b ? 25, ?A ? 150 , 有一解
?

C. a ? 6, b ? 9, ?A ? 45 , 有两解
? ?

D. b ? 9, c ? 10, ?B ? 60 , 无解
?

4.在 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45 , 若三角形有两解,则 x 的取值范围( A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ? 2 2 D. 2 ? x ? 2 3 .

)

5.在 ?ABC 中,若 A : B : C ? 1 : 2 : 3, 则 a : b : c =
? ?

6.在 ?ABC 中, B ? 30 , C ? 45 , c ? 1, 求边 b 的长及三角形的外接圆半径.

7. 在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ?

2, B ? 45? ,求角 A, C 和边 c 的值。

【拔高限时训练】 8. ?ABC 中, lg b ? lg a ? lg sin B ? ? lg 2 , B 为锐角,求角 A 。

9.在 ?ABC 中, a ? 5, B ? 45? , C ? 105? , 求其面积。

10.已知方程 x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 a , b 为 ?ABC 的两边, A, B 为两内角, 判断这个三角形的形状.


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