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山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高二第四次(12月)月考(文)数学试题


怀仁一中 2015-2016 学年度第一学期高二第四次月考 (文科)数学试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分). 1.对于常数 m, n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭圆”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.点 P 是以 F

1PF 2 的外角平分线的垂线,垂足 1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F 为 M 点,则点 M 的轨迹是( )

A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆

4.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点,

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
A.



2 B. 2 2

C.4 D. 8

5.设点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与圆 x? ? y 2 ? a2 ? b2 在第一象限的交点, a 2 b2


F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为(
A. 5 B.

5 2

C.

10 D.

10 2


6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

A. 108cm

3

B. 100cm

3

C. 92cm

3

D. 84cm

3

7.如图, 在正方形 SG1G2G3 中,E , F 分别 G1G2 , G2G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现沿 SE , SF 及 EF 把这个正方形拍成一个几何体,使 G1 , G2 , G3 三点重合于点 G ,这样,下列五个结论: (1)SG ? 平面 EFG ; (2)SD ? 平面 EFG ; (3)GF ? 平面 SEF ; (4)EF ? 平面 GSD ; (5) GD ? 平面 SEF .正确的是( )

A. (1)和(3) B. (2)和(5) C. (1)和(4) D. (2)和(4) 8.已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一个动点, Q 为圆 x2 ? ( y ? 4)2 ? 1上一个动点,那么点 P 到点

Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是(
A. 2 5 ?1 B. 2 5 ? 2 C. 17 ? 1 D. 17 ? 2



9.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F , 点A是 a 2 b2


两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( A. 2 ? 2 B.
2

5 ? 1 C. 3 ? 1 D .

2 ?1

10.已知抛物线 y ? x 上一定点 B(1,1) 和两个动点 P 、 Q ,当 P 在抛物线上运动时,

BP ? PQ ,则 Q 点的纵坐标的取值范围是(
A. ? ??, ?2? ? ?2, ??? B.

) C. ? ??,0? ? ?3, ??? D. ? ??,1? ? ?4, ???

? ??, ?1? ? ?3, ???

2 11.已知点 A(0, 2) ,抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于

点 M ,与其准线相交于点 N ,若

FM MN

?

5 ,则 p 的值等于( 5



A.

1 8

B.

1 4

C.2 D. 4

12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B , F 为其右焦点,若 a 2 b2


?? ? ? AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ?6 4?
A. ?

? 2 ? , 3 ? 1? ? 2 ?

B. ?

? 2 ? ? 2 3? ,1? C. ? , ? 2 2 2 ? ? ? ?

D. ?

? 3 6? , ? 3 3 ? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 13. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,

A ? DED1 的体积为________.

14.如图, PA ? ? O 所在的平面, AB 是 ? O 的直径, C 是 ? O 上的一点, AE ? PB 于 E ,

F ?P B ; AF ? PC 于 F . 下列四个命题中: ① BC ? 平面 PAC ; ② AF ? 平面 PBC ; ③E
④ AE ? 平面 PBC .其中正确命题的是________. (请写出所有正确命题的序号)

15.已知抛物线方程为 y ? 4 x , 直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴
2

的距离为 d1 , P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值为________.

1 x2 y 2 16. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A, B 是椭圆的左、右顶点, P 是椭圆 2 a b
上不同于 A, B 的一点,直线 PA, PB 倾斜角分别为 ? , ? ,则

cos(? ? ? ) ? ________. cos(? ? ? )

三、解答题 (本题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余各题均为 12 分,共 70 分.) 17. (10 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,长轴两顶点为 A1, A2 . (1) P 是椭圆 5 4

0 上一点,且 ?F (2)过椭圆的左焦点作一条倾斜角为 45°的 1 PF2 的面积 ; 1PF 2 ? 30 ,求 ?F

直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,求弦长 AB . 18. (12 分) 双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 (4, 15) . (1)求双曲线的方程; (2)若 36 27

F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,点 P 在双曲线 C 上,且 ?F1PF2 ? 600 ,求 ?F1PF2 的面积.
19. (12 分) 如图,四面体 ABCD 中, O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 ,

AB ? AD ? 2 ,
(I)求证: AO ? 平面 BCD ; (II)求点 E 到平面 ACD 的距离.

参考答案 选择题 (1-12)BDACA BCCDB CA

填空题(每小题 5 分)

13.

1 6

14.①②③ 15.

1 5 2 ? 1 16. 7 2

17.解: (1)联立 ?

? ?
2

PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 5
2 2

0 ? ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos30 ? F1F2 1 0 可得: PF1 ?PF2 ? 16(2 ? 3) , S?F1PF2 ? PF1 ?PF2 sin 30 ? 4(2 ? 3) 2



(2) F (?1, 0) ,直线 l : y ? x ? 1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将直线方程与椭圆方程联立得

? y ? x ?1 10 ? 2 ? 9 x 2 ? 10 x ? 15 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? , ?x y2 9 ?1 ? ? 4 ?5
∴ AB ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? e( x1 ? x2 ) ? 2 5 ?

1 10 16 5 (? ) ? 9 9 5
x2 y2 ? ?1, a2 9 ? a2

18.解: (1)椭圆的焦点坐标为 (?3, 0), (3, 0) ,设双曲线的方程为 又因为双曲线过点 (4, 15) ,则

16 15 ? ? 1 ,即有 a 4 ? 40a 2 ? 144 ? 0 , 2 2 a 9?a

又 F1 F2

2

2 2 ? 4c 2 ? 36 , ( PF 1 ?PF 2 ) ? 1 ? 4a ? 16 ,则 PF 1 ?PF 2 ? 20 ,

则 S?F1PF2 ?

1 1 3 PF1 ?PF2 ? sin 600 ? ? 20 ? ?5 3. 2 2 2

19.解: (I)证明:∵ AB ? AD , O 为 BD 的中点,∴ AO ? BD , ∵ AD ? 2, OD ? 1,∴ AO ? 1 ,∵ CB ? CD ? BD ? 2 ,∴ OC ? 3 , 又 CA ? 2 ,∴ CA ? OA ? OC ,∴ AO ? OC ,
2 2 2

∵ BD ? OC ? O , BD, OC 均在平面 BCD 内,∴ AO ? 平面 BCD . (2)设点 E 到平面 ACD 的距离为 h ,∵ VA?CDE ? VE ? ACD , ∴ h?S ?ACD ? ?AO?S ?CDE ,在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2 ,

1 3

1 3

∴ S?ACD ?

1 3 2 3 1 2 2 7 ,而 AO ? 1, S?CDE ? ? , ?2 = ? 2 ? 22 ( ? ) ? 2 4 2 2 2 2
1? 3 2 ? 21 ,故点 E 到平面 ACD 的距离为 21 . 7 7 7 2

∴h ?

AO?S ?CDE ? S ?ACD


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