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高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.2.1《排列》教案






【教学目的】理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导;能用“树型图”写出一个排列 中所有的排列;能用排列数公式计算。 【教学重点】排列、排列数的概念。 【教学难点】排列数公式的推导 一、问题情景 〖问题 1〗从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学 参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 分析:这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学,按照参加上午的活动 在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 6 种不同的排 法:甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做元素。 〖问题 2〗 .从 a, b, c, d 这四个字母中,每次取出 3 个按顺序排成一列,共有多少种不同的排 法? 分析:解决这个问题分三个步骤:第一步先确定左边的字母,在 4 个字母中任取 1 个, 有 4 种方法;第二步确定中间的字母,从余下的 3 个字母中取,有 3 种方法;第三步确定右 边的字母,从余下的 2 个字母中取,有 2 种方法 由分步计数原理共有:4×3×2=24 种不同的方法,用树型图排出,并写出所有的排列由此可写 出所有的排法

二、数学构建 1.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相 同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做 从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
m

注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从 n 个不 “排 素中, 任取 m 个元素按照一定的顺序排成一列, 不是数; 数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所 列的个数,是一个数所以符号 An 只表示排列数,而不表示 的排列。
m

同元 列 有排 具体

3 .排列数公式及其推导:由 An 的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素
2

a1 , a2,? an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填一个元
每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以 这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是
2 2 列数 An .由分步计数原理完成上述填空共有 n(n ? 1) 种填法,∴ An = n(n ? 1)

素, 由 排

由此,求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑,∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) ,
3 3

求 An 以按依次填 m 个空位来考虑 An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ,得排列数公式如
m m

下:
m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n )

说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下:
n An ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘)

4.阶乘的概念: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列, 这时 An ? n(n ?1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ;把正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘表示: n ! , 即
n n An ? n ! 规定 0! ? 1 .

5.排列数的另一个计算公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)
m

?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)(n ? m)?3 ? 2 ?1 n! ? (n ? m)(n ? m ? 1)?3 ? 2 ?1 (n ? m)!



m = An

n! 。 (n ? m)!

三、知识运用 【例 1】计算: (1) A16 ;
3 3

(2) A6 ;

6

(3) A6 .
6 4

4

解: (1) A16 = 16 ? 15 ? 14 =3360
m

; (2) A6 = 6! =720 ; (3) A6 = 6 ? 5 ? 4 ? 3 =360。 ,m? . .

【例 2】 (1)若 An ? 17 ?16 ?15 ??? 5 ? 4 ,则 n ?

(2)若 n ? N , 则 (55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号表示为 解: (1) n ? 17, m ? 14 .
15

(2)若 n ? N , 则 (55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) = A69?n .

, 3 , 5 ,7 1 ,1 【例 3】 (1) 从2

这五个数字中, 任取 2 个数字组成分数, 不同值的分数共有多少个?

(2)5 人站成一排照相,共有多少种不同的站法?(3)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次,共进行多少场比赛? 解: (1) A5 ? 5 ? 4 ? 20 ; (2) A5 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ?1 ? 120 ; (3) A 14 ? 14 ?13 ? 182
2 5 2

6 (m ? 1)! 8!? A6 【例 4】计算:① 2 ;② . n 1 4 Am? A8 ? A10 ?1 ( m ? n)!

解:①原式 ?

8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 8 ? 7 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7

=

57 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 5130 ?? ; 56 ? (?89) 623
? (m ? 1)! ?1 (m ? 1)! . (m ? n)! (m ? n)!
3 2 2

②原式

【例 5】解方程:3 Ax ? 2 Ax?1 ? 6 Ax . 解:由排列数公式得: 3x( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) x ? 6 x( x ? 1) , ∵ x ? 3 ,∴ 3( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) ? 6( x ? 1) ,即 3x 2 ? 17 x ? 10 ? 0 , 解得 x ? 5 或 x ?

2 ,∵ x ? 3 ,且 x ? N ? ,∴原方程的解为 x ? 5 . 3
x x ?2

【例 6】解不等式: A9 ? 6 A9 解:原不等式即



9! 9! ? 6? , (9 ? x)! (11 ? x)!

也就是

1 6 ? ,化简得: x 2 ? 21x ? 104 ? 0 , (9 ? x)! (11 ? x) ? (10 ? x) ? (9 ? x)!

解得 x ? 8 或 x ? 13 ,又∵ 2 ? x ? 9 ,且 x ? N ? , 所以,原不等式的解集为 ?2,3, 4,5,6,7? . 【例 7】求证: (1) An ? An ? An?m ; (2)
n m n ?m

(2n)! ? 1? 3 ? 5? (2n ? 1) . 2n ? n !

证明: (1) An ? An ?m ?
m

n?m

n! n (n ? m)! ? n ! ? An ,∴原式成立 (n ? m)!

(2)

(2n)! 2n ? (2n ? 1) ? (2n ? 2) ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 2n ? n ! 2n ? n !

?
?

2n n ? (n ? 1)? 2 ?1? (2n ? 1)(2n ? 3)?3 ?1 2n ? n !
n !?1? 3? (2n ? 3)(2n ? 1) ? 1? 3 ? 5?(2n ? 1) ? 右边 n!

∴原式成立 说明: (1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 An 中, m, n ? N ? 且 m ? n 这些限制条件,
m

要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;

? (n ? m ? 1) ( 2 )公式 An ? n( n ?1)(n ? 2) 常用来求值,特别是 m, n 均为已知时,公式
m m = An

n! ,常用来证明或化简。 (n ? m)!
1 2 3 n ?1 ? ? ?? ? ;⑵ 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! 。 2! 3! 4! n!

【例 8】化简:⑴ 解:⑴原式 ? 1!?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 1? 2! 2! 3! 3! 4! (n ? 1)! n! n!

⑵提示:由 ? n ?1?! ? ? n ?1? n! ? n ? n!? n! ,得 n ? n! ? ? n ? 1?!? n! , 原式 ? ? n ? 1?!?1 。 说明:

n ?1 1 1 ? ? . n! (n ? 1)! n !
【例 9】 (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送 法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 解: (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个元素中任取 3 个元素 的一个排列,因此不同送法的种数是: A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ,所以,共有 60 种不同的送法
3

(2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名 同学,每人各 1 本书的不同方法种数是: 5 ? 5 ? 5 ? 125 ,所以,共有 125 种不同的送法 说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学, 各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的 书中任选 1 种,各人得到那种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算 【例 10】某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意 挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? 解:分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A3 种;
1

第二类用 2 面旗表示的信号有 A3 种; 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3 种, 由分类计数原理,所求的信号种数是: A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3? 2 ? 3? 2 ?1 ? 15 ,
1 2 3 3

2

答:一共可以表示 15 种不同的信号 例 3.将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司 机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上, 即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A4 种方法; 第二步:把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A4 种方法, 利用分步计数原理即得分配方案的种数 解:由分步计数原理,分配方案共有 N ? A4 ? A4 ? 576 (种)
4 4 4 4

答:共有 576 种不同的分配方案 【例 11】用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法 1:用分步计数原理: 所求的三位数的个数是: A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648
1 2

解法 2:符合条件的三位数可以分成三类:每一位数 的三位数有 A9 个, 个位数字是 0 的三位 个,十位数字是 0 的三位数有 A9 个, 由分类计数原理,符合条件的三位数的
3 2 2 A9 ? A9 ? A9 ? 648 .

字都不是 0 数 有 A9
2

3

2

个数是:

解法 3: 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 , 其中以 0 为排头的排列数为 A9 , 因此符合条件的三位数的个数是 A 10 ? A 9 ? 648 - A 9 .
3 2 2

3

2

说明:解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法直接法:通过对问题进行恰当的 分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法 1,2;间接法:对于有限制条件的排列应用 题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种 数如解法 3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防止重复与遗 漏 【例 12】 (1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7 个元素的全排列 A7 =5040. (2)7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.
7

(3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A6 =720. (4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
2 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A2 种; 2 ? A5 =240 种排列方法 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 A5 种,所以,共有 A2

6

5

5

(5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法 1 (直接法) : 第一步从 (除去甲、 乙) 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有 A5 种方法; 第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 (全排列) 有 A5 种方法, 所以一共有 A5 A5 =2400 种排列方法 解法 2: (排除法)若甲站在排头有 A6 种方法;若乙站在排尾有 A6 种方法;若甲站在排头且 乙站在排尾则有 A5 种方法, 所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有 A7 - 2 A6 +
5 =2400 种. A5 5 7 6 6 6 5 2 2

5

说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考 虑 【例 13】从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 解法一: (从特殊位置考虑) A9 A9 ? 136080 ;
1 5

解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 ;若不选: A9 ,
5
6

则共有 5 ? A9 ? A9 ? 136080 种;
5 6

解法三: (间接法) A 10 ? A 9 ? 136080
6 5

【例 14】 7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行全排
2 列有 A6 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的排法一共有
6 2 A6 ? A2 ? 1440 种

6

(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:方法同上,一共有 A5 A3 =720 种 (3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不能站在
5 3

排头和排尾,所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A5 种方法;将
4 2 剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方 4 2 法.所以这样的排法一共有 A5 A4 =960 种方法 A2

2

2

解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,若丙站在排头或 排尾有 2 A5 种方法, 所以,丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960种方法
6 5 2 5

解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不能站在
1 排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法,再将其余的 5 个元素进行全排 1 2 A5 A2 列共有 A5 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以,这样的排法一共有 A4 =960 种

5

5

方法. (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起 解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成一个元 素,时一共有 2 个元素,∴一共有排法种数: A3 A4 A2 ? 288 (种)
3 4 2

说明:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松) . 【例 15】位同学站成一排, (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 ? 3600;
7 6 2

解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空” 吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种方法,所以一共有 A5 A6 ? 3600种
2 5 2

5

方法. (2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
4 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学 4 A5 =1440 种. 分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4

3

3

说明:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑) . 【例 16】5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法: (1)男女相间; (2)女生按指定 顺序排列。 解: (1)先将男生排好,有 A5 种排法;再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡”(包括两端) 中,有 2 A5 种排法。 故本题的排法有 N ? 2 A5 ? A5 ? 28800 (种) ;
5 5 5 5

(2)方法 1: N ?

10 A10 5 ? A10 ? 30240 ; 5 A5
5

方法 2:设想有 10 个位置,先将男生排在其中的任意 5 个位置上,有 A10 种排法;余下的 5 个位置排女生,因为女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法。 故本题的结论为 N ? A 10 ?1 ? 30240 (种)
5

四、课堂练习 (一) 1.四支足球队争夺冠、亚军,不同的结果有() C .12 种 A .8 种 B .10 种 D .16 种 2.信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面,每次打出 3 面,最多能打出不同的信号有( ) C .1 种 A .3 种 B .6 种 D .27 种 3. k ? N? , 且 k ? 40, 则 (50 ? k )(51 ? k )(52 ? k )?(79 ? k ) 用排列数符号表示为( )

A . A79?k

50? k

B . A79?k

29

30 C . A79 ?k

D . A50?k

30

4.5 人站成一排照相,甲不站在排头的排法有( ) C .96 种 A .24 种 B .72 种 D .120 种 5.给出下列问题: ①有 10 个车站,共需要准备多少种车票? ②有 10 个车站,共有多少中不同的票价? ③平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段? ④有 10 个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次? ⑤从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛,有多少中选派方法? 以上问题中,属于排列问题的是 (填写问题的编号) 6.若 x ?{x |? Z ,| x |? 4} , y ?{ y | y ? Z ,| y |? 5} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点共有 个

7.从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛,并排定他们的出场顺序, 有多少种不同的方法? 8.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验,有多少中不同 的种植方法? 9.计算: (1) 5 A5 ? 4 A4
3 2

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4

10.分别写出从 a, b, c, d 这 4 个字母里每次取出两个字母的所有排列; 11.写出从 a, b, c, d , e, f 这六个元素中每次取出 3 个元素且必须含有元素 a 的所有排列 答案:1. C 2. B 3. C 9. ⑴348;⑵64
2

4. B 5. ①③⑤ 6. 63
2

7. 60

8. 24

10.共有 A4 ? 12 个:ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db,
3

dc 11. 共有 C5 A3 ? 60 个,具体的排列略

(二) 1.若 x ?
3 ( A) An 3 7

n! ,则 x ? 3!

( )

n?3 ( B ) An

(C ) A3n

3 ( D) An ?3

2.与 A10 ? A7 不等的是 ( )
9 ( A) A10 5 3 8 ( B ) 81A8 9 (C ) 10 A9 10 ( D) A10

3.若 Am ? 2 Am ,则 m 的值为 ( )

( A) 5
4.计算:

(B) 3
5 2 A9 ? 3 A96 ? 6 9!? A10

(C ) 6


( D) 7


(m ? 1 ) ! ? A ? ( m? n )!
n ?1 m ?1

5.若 2 ?

(m ? 1)! ? 42 ,则 m 的解集是 m ?1 Am ?1
m



m? 6. (1)已知 A 10 ? 10 ? 9 ??? 5 ,那么
(2)已知 9! ? 362880 ,那么 A9 = ;
7



(3)已知 An ? 56 ,那么 n ?
2

; .

(4)已知 An ? 7 An?4 ,那么 n ?
2 2

7.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股岔道 只能停放 1 列火车)? 8.一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一单位放映 1 场,有多少种轮映次序? 答案:1. B 2. B 3. A 4. 1,1 (4) 5 5.

?2,3, 4,5,6?

6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8

7. 1680 8. 24 (三) 1.将 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,没格填一个数字,则每个方格的标 号与所填的数字均不相同的填法( )种. C . 11 A. 6 B. 9 D . 23 2.有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上,若快车 A 不能停在第三条轨道上,货车 B 不能 停在第一条轨道上,则五列火车的停车方法有( )种. C .120 A .78 B .72 D .96 3.由 0,3,5,7 这五个数组成无重复数字的三位数,其中是 5 的倍数的共有多少个( ) C . 24 A .9 B .21 D .42 4.从 ?9, ?5, 0,1, 2,3, 7 七个数中,每次选不重复的三个数作为直线方程 ax ? by ? c ? 0 的系

数,则倾斜角为钝角的直线共有( )条. C . 70 A . 14 B .30 D .60 5.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验,有 _____种不同 的种植方法 6.9 位同学排成三排,每排 3 人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的排法种数共有 种。 7. (1)由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的正整数? (2)由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字,并且比 13000 大的正整数? 8.学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序,除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定 外,4 个音乐节目要求排在第 2、5、7、10 的位置,3 个舞蹈节目要求排在第 3、6、9 的位置, 2 个曲艺节目要求排在第 4、8 的位置,共有多少种不同的排法? 9.某产品的加工需要经过 5 道工序, (1)如果其中某一工序不能放在最后加工,有多少种排列加工顺序的方法? (2)如果其中某两工序不能放在最前,也不能放在最后,有多少种排列加工顺序的方法? 10.一天的课表有 6 节课,其中上午 4 节,下午 2 节,要排语文、数学、外语、微机、体育、 地理六节课,要求上午不排体育,数学必须排在上午,微机必须排在下午,共有多少种不同 的排法? 11. 由数字 0,1,2,3,4, (1)可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数?(2)2 不在千位,且 4 不在十位的五位数有多少个? 6. 166320 7. ⑴325; ⑵114 答案:1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 8. 288 9.⑴96; ⑵36 10. 48 11. (1) A3 A4 ? 72 ,(2) AA 2 ? ( AA 44 ? 3 3 AA 22
1 4 1 4 13 1 2

? 6 4 )

(四) 1.停车场上有一排七个停车位,现有四辆汽车需要停放,若要使三个空位连在一起,则停放 方法数为( )

A . A7

4

B . A7

3

5 C . A5

D . A5 ? A3
5

3

2.五种不同商品在货架上排成一排,其中 A, B 两种必须连排,而 C , D 两种不能连排,则不 同的排法共有( ) C .24 种 A .12 种 B .20 种 D .48 种 3.6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求师生相间而坐,则不同的分法 有 ( )

A . A3 ? A4
3

3

B . A3 ? A3
3

3

3 3 ? A4 C . A4

D . 2 A3 ? A3
3

3

4.某人射出 8 发子弹,命中 4 发,若命中的 4 发中仅有 3 发是连在一起的,那么该人射出的 8 发,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有( ) C .24 种 A .720 种 B .480 种 D .20 种 5.设 x, y ? N * 且 x ? y ? 4 ,则在直角坐标系中满足条件的点 M ( x, y ) 共有 个 6.7 人站一排,甲不站排头,也不站排尾,不同的站法种数有 种;甲不站排头,乙不站 排尾,不同站法种数有 种 7.一部电影在相邻 5 个城市轮流放映,每个城市都有 3 个放映点,如果规定必须在一个城市

的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市,则不同的轮映次序有 种(只列式,不 计算) . 8. 6 节课要安排 3 门理科, 3 门文科, 一天课表中, 要使文、 理科间排, 不同的排课方法有 种; 要使 3 门理科的数学与物理连排,化学不得与数学、物理连排,不同的排课方法有 种 9.某商场中有 10 个展架排成一排,展示 10 台不同的电视机,其中甲厂 5 台,乙厂 3 台,丙 厂 2 台,若要求同厂的产品分别集中,且甲厂产品不放两端,则不同的陈列方式有多少种? 10.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数,其中(1)三个偶数字连在一起 的四位数有多少个?(2)十位数字比个位数字大的有多少个? 11.在上题中,含有 2 和 3 并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个? 答案:1. C 8. 72, 144 2. C 3. D
5 3 2

4. D

5. 6

6. 3600, 3720 10.⑴30;

5 3 7. A5 A3

? ?

5

9. 2 A5 A3 A2 ? 2880

⑵15011. 66 种

四、课堂小结 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ①某些元素不能在或必须排列在某一 位置;②某些元素要求连排(即必须相邻) ;③某些元素要求分离(即不能相邻) . 2.基本的解题方法:①有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊 位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法) ;②某些元素要求必须相邻时,可以先将 这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆 绑法”;③某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种 方法称为“插空法”;④在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有 效的解题途径,这是学好排列问题的根基 。


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