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湖北省部分重点中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


湖北省部分重点中学 2015-2016 学年度下学期高二期中考试 数学试卷(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.函数 在点(1,1)处的切线方程为( ) B.x+y﹣2=0 D.x﹣4y+3=0 ) C.

A.x﹣y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 2.抛物线 x 2 ? A.2

1

y 的 焦点到准线的距离为( 4
B.4

1 8


D.

1 2

3.函数 f ( x) ? e x cos x 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为( A.0 B. ?1 C.1

D.

2 2

4.K 为小于 9 的实数时,曲线 A.焦距 5. 曲线 f ( x) ? A.1 6.设 F1 , F2 是椭圆 E : B.准线

与曲线 C.顶点

一定有相同的( D.离心率 )



x 2+a 3? 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角为 ,则实数 a ? ( x+1 4
B.-1 C.7

D.-7

x2 y2 3a 上一点, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点, P 为直线 x ? 2 2 a b
) D.

?F1 PF2 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为 (
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5


7.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ' ( x) ? 3 f ( x) ,则 tan 2 x 的值是(

?
A.

4 3

4 B. 3

?
C.

3 4

3 D. 4

8.实半轴长等于 A.

,并且经过点 B(5,﹣2)的双曲线的标准方程是( ) 或 B.

C.

D.

1

9 .抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足 垂足为 N , 则 ?AFB ? 1200 . 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN , 值为( A. )

| MN | 的最大 | AB |

3 3

B.1

C.

2 3 3

D.2

a2 x2 y 2 10.设双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ? 分别交于 A,B 两点,F 为该双曲线的 c a b
右焦点.若 60? ? ?AFB ? 90? , 则该双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2) B. ( 2, 2) C. (1, 2) )

D. ( 2, ??)

11.函 数 f ( x) 的定义域为 R, f (-2)=2013 ,对任意的 x ? R ,都有 f ?( x) ? 2 x 成立,则不 等式 f ( x) ? x2 ? 2009 的解集为( A. (-2,+ ? )
2 2

) C.(- ? ,-2) D.(- ? ,+ ? )

B. (-2,2)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P, 2 a b ? 过 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,.B 使得 ?BPA ? ,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是 3
12. 已知椭圆 C1 : ( ) A. [

2 3 , ] 2 2

B. [ ,1)

1 2

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.设点 P、Q 分别是曲线 y ? xe? x (e 是自然对数的底数)和直线 y ? x ? 3 上的动点,则 P、 Q 两点间距离的最小值为
2 14.设 P 为曲线 C : y ? x ? x ? 1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则

点 P 纵坐标 的取值范围是_______. ... 15.已知 P(x,y)是双曲线 则 的最小值是
3 2

=1 上任意一点,F1 是双曲线 的左焦点,O 是坐标原点, 。

16.已知 f(x)=x +3x +a(a 为常数) ,在[-3,3]上有最小值 3,那么在[-3,3]上 f(x) 的最大值是___________。

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 。 17.已知函数 f ? x ? ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ? x ? 在 4 x 2 1 点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于直线 y ? x 2
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间及极值.

18.直线 y ? x ? 4 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,F 为抛 物线的焦点,求△ABF 的面积。

19.已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e x ? x2 , a ? R (1)若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值,求 a 的取值范围.

20 .已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) (c ? 0) ,过点 a 2 b2

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交于 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B . c
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)求直线 AB 的斜率.

3

21.设函数 f ( x) ?

1 2 x ? m ln x , g ( x) ? x2 ? (m ? 1) x , m ? 0 . 2 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
(2)当 m ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 与 g ( x) 图象的交点个数.

22.已知圆 F1: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 与圆 F2: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? (4 ? r ) 2 (0 ? r ? 4) 的公共点的轨 迹为曲线 E ,且曲线 E 与 y 轴的正半轴相交于点 M .若曲线 E 上相异两点 A 、 B 满足直线

MA , MB 的斜率之积为

1 . 4

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)证明直线 AB 恒过定点,并求定点的坐标; (Ⅲ)求 ? ABM 的面积的最大值.

4

一、 1 B

湖北省部分重点中学 2015-2016 学年度下学期高二期中考试 数学试卷(文) 选择题 2 C 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B 11 A 12 D

二、填空题

3 2 13. 2
14. ? , 3 ?4 ? ?

?3 ?

15.4﹣2 5 16. 57 三、解答题 17. 【答案】 (Ⅰ)

5 ; (Ⅱ) f ? x ? 的递增区间为 ? 5, ?? ? ,递减区间为 ? 0,5? ,极小值为 4

f ?5? ? ? ln5 ,无极大值.
【解析】 (Ⅰ)对 f ( x ) 求导得 f ' ( x ) ?

1 a 1 ? ? , 4 x2 x 1 3 / 由在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于直线 y ? x ,知 f ?1? ? ? ? a ? ?2 , 2 4 5 5 解得 a ? ,所以, a 的值为 . 4 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 令f
/

x2 ? 4 x ? 5 x 5 3 ? ? ln x ? ,则 f ' ? x ? ? , 4 4x 2 4x2
或 x ? 5 ,因 x ? ?1 不在 f ? x ? 的定义域 ? 0, ?? ? 内,

? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1
'

故舍去. 当 x ? ? 0,5? 时, f

? x? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数;

当 x ? ?5, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 内为增函数. 由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ?5? ? ? ln5 综上得, f ? x ? 的递增区间为 ? 5, ?? ? ,递减区间为 ? 0,5? ,极小值为 f ?5? ? ? ln5 ,无 极大值.
5

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、函数的极值. 18. 【答案】 6 5 试题解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 直线交 x 轴于 C(4,0)点,知 F(1,0), FC ? 3 解? …………2 分

?y ? x ? 4 2 得 y -4y-16=0 ……………… 4 分 2 ? y ? 4x
……………… 8 分 ……… 10 分

得|y2-y1|=4 5

1 1 S△ABF= ? | FC | ? | y2 ? y1 | = ×3×4 5 =6 5 2 2

考点:1.直线与抛物线相交;2.设 而不求的思想;3.分 割法求三角形的面积 19. 【答案】 (1) a 的取值范围是 (??, 0] , f '( x) ? 0 在 (0, ??) ,参变 分离后即可求解;
x (2)求导可得 f '( x) ? xe ( x ? 2 ?

2 2 ? a ) ,函数 x ? 2 ? x ? a 的零点 x0 的取值分类讨论, x e e

结合条件 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值即可求解.

6

考点:1.利用导 数判断函数的单调性;2.构造函数的数学思想;3.分类讨论的数学思想. 20. ( Ⅰ) e ?

3 2 ; (Ⅱ) ? . 3 3

a2 ?c EF2 F2 B 1 1 c 试题解析: (Ⅰ) 由 F1 A / / F2 B ,且 F , 得 , 从而 ? , A ? 2 F B ? ? 1 2 2 a 2 EF1 F1 A 2 ?c c
2 2 整理,得 a ? 3c ,故离心率 e ?

3 , 3

2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方 程可写为 2 x ? 3 y ? 6c ,

a2 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) ,即 y ? k ( x ? 3c) . c
由已知设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ?

? y ? k ( x ? 3c) , 2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

7

消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ?18k 2cx ? 27k 2c2 ? 6c2 ? 0 , 依题意, ? ? 48c2 (1 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 ?

3 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . (* ) ?k? 3 3

而 x1 ? x2 ?

18k 2c , ① 2 ? 3k 2

27k 2 c 2 ? 6c 2 x1 x2 ? , ② 2 ? 3k 2
由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 x1 ? 3c ? 2 x2 ③ 联立①③解得 x1 ?

9k 2c ? 2c 9k 2c ? 2c , x ? , 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 2 满足(*)式,故所求 k 的值是 ? . 3 3

将 x1 , x2 代入②中,解得 k ? ?

考点:1、椭圆的几何性质;2、直线与椭圆的位置关系;3、直线的斜率.

21. 【解析】 (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) , x

当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递减, 当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增.

8

22. (1)

x2
4

?

y2
3

? 1, (2) N (0,2 3), (3)

3 2

试题解析: (Ⅰ) 设⊙ F1 , ⊙ F2 的公共点为 Q ,由已知得,F1 F2 ? 2, QF 1 ? r, QF 2 ? 4?r, 故 QF1 ?

QF2 ? 4 ? F1F2 ,

因 此 曲 线 E 是 长 轴 长 2a ? 4, 焦 距 2c ? 2 的 椭 圆 , 且

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以曲线
E 的方程为

x2
4

?

y2
3

? 1;

( Ⅱ ) 由 曲 线 E 的 方 程 得 , 上 顶 点 M (0, 3),记A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 由 题 意 知 ,

x1 ? 0, x2 ? 0 ,若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? x1 ,故 y 1 ? ?y 2 ,且

y 12 ? y 22 ? 3 (1 ?

x12
4

),

9

因此

kMA ? kMB

?

y1 ? 3 y 2 ? 3 y2 ?3 3 ? ? ? 1 2 ? , 与已知不符,因此直 x1 x2 4 x1

线 AB 的斜率存在,设直线 AB :

y ? kx ? m











E







x2
4

?

y2
3

? 1





( 3 ? 4k 2)x 2 ? 8k

m ? 4(m x 2 ? 3) ? 0 ….①因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A,B,所以方
8km , 3 ? 4k 2

程①有两个非零不等实根 x1,x 2 ,所以 x 1 ? x 2 ? ?

x1x 2 ?

4(m 2 ? 3) y ? 3 kx1 ? m ? 3 y ? 3 kx2 ? m ? 3 ,又 k AM ? 1 , ? , kMB ? 2 ? 2 x1 x1 x2 x2 3 ? 4k

由 k AM ? k BM ?

1 ,得 4

( 4 kx1 ? m ? 3) (kx2 ? m ? 3) ? x1x2 ,
即 (4k 2 ? 1 )x1x2 ? 4k (m ? 3)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 3)2 ? 0, 所 以 ( 4 m2 ? 3) (4k 2 ? 1) ? 4k (m ? 3)(?8km) ? 4(m ? 3)2 (3 ? 4k 2 ) ? 0, 化 简 得 :

m 2 ? 3 3m ? 6 ? 0 ,故 m ?
AB 恒过定点 N (0,2 3).

3 或 m ? 2 3 ,结合 x1x 2 ? 0 知 m ? 2 3 ,即直线









? ? 0



m ? 2 3





k ? ?

3 2



k ?

3 2





S ?A
?

B

? C S? ?

A

N ?M

S?

1 MN ? x2 ? x B N M 1 2

3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2

?

3 ? 8km 2 4(m2 ? 3) ( ) ? 4 ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

6 4k 2 ? 9 3 ? 4k 2

?

6 4k 2 ? 9 ? 12 4k 2 ? 9
3 2

?

13 21 2 ,当且仅当 4k ? 9 ? 12 ,即 k ? ? 时, ? ABM 2 2

的面积最大,最大值为

10

考点:1.求椭圆的标准方程;2.证明直线过定点;3.求三角形面积的最值;

11


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