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1.1.1正弦定理(一)


第一章 解三角形

1.1.1 正弦定理(一)

一、新课引入
A c b 一般地,把三角形的三个角 A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 三角形的元素 C

B

a

三角形中的边角关系 1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:

A + B + C = 180

?

a +b > c , a - b < c
大边对大角,小边对小角

一、新课引入
小强师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如下 图所示的部分,测量出∠A=47°, ∠C=80°, AC长为 1m,想修好这个模型,但他不知道AB和BC的长度是多 少好去截料,你能帮师傅这个忙吗? C

不难得到:
a b c = = sin A sin B sin C
A

80?

b
47?

Ea
53?

c D

B

思考:上述关系式对一般三角形依然成立吗?

二、新课讲解

探究一

试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (1)锐角三角形:
C E a

(2)直角三角形:
B

作CD垂直于AB于D,则可得

B

c

D

CD = a sin B = b sin A b a b c \ = sin A sin B 作AE垂直于BC于E, A A b 则 AE = c sin B = b sin C

a

C

a b c = = sin A sin B sinC

c aa cb = \ == sin sin B sinC sin AA sin C

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (3)钝角三角形:(∠C为钝角)
作CD垂直于AB于D,则可得 CD = a sin B = b sin A
E C b

a b \ = sin A sin B

a B c
D

作BE垂直于AC的延长线于E,则

BE = c sin A = a sin BCE ?? BCE p - C \ c sin A = a sin(p - C ) = a sin C a c a b c \ = = = sin A sin C sin A sin B sinC

A

1、正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即:
a b c = = sin A sin B sin C
B C A

思考:正弦定理还有其它证明方法吗?

探究二:借助向量方法可以证明正弦定理吗?

利用向量的数量积,产生边长与内角的 三角函数的关系来证明.
B c a C

j
A

b

正弦定理证明方法二:

探究二
B

在锐角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC , 则有j 与 AB 的夹角为 90? ? A , j 与 CB j 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB

j ? ( AC ? CB ) ? j ? AB 怎样建立三角形中边和角间的关系?

A

C

?   AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C ) ? j AB cos(90? ? A) j
a c ? ?  a sin C ? c sin A 即 sin A sin C b c ? 同理,过C作单位向量j 垂直于CB ,可得 sin B sin C a b c ?    ? ? sin A sin B sin C

正弦定理证明方法二:

探究二

在钝角三角形中,怎样将三角形的边用向量表示?怎样引
入单位向量?怎样取数量积?

在钝角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC , 则有j 与 AB 的夹角为 A ? 90? , j 与CB B 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB .

a b c = = 同样可证得:  sin A sin B sinC

j A C

思考三:正弦定理还有其它的方法证明?

探究三:借助三角形面积可以证明正弦定理吗?

利用三角形的面积,产生边长与内角 的三角函数的关系来证明.
A
c A b c b h

h
a

B

C

B

a

C

正弦定理证明方法三:

探究三

1 1 1 S ?ABC ? a ? ha ? acsin B ? absinC 2 2 2 1 1 S 同理可证: ?ABC ? bc sin A ? ba sinC 2 2
? S ?ABC

A

c
B

h

b
C

a

1 1 1 ? bc sin A ? ac sin B ? ba sinC 2 2 2
(三角形面积公式)
A
c b C h

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

B

a

二、新课讲解
1、正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

即:

a b c = = sin A sin B sinC
B

C a b

c
A

?思考:这个比值会是什么呢?

正弦定理证明方法四: 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, ? 90靶 C = C' ?? BAC , c ' \ sinC = sinC = 2R c

探究四

B

c O b

a C

\

a b 同理 = 2 R, = 2R sin A sin B a b c \ = = = 2R sin A sin B sin C

sinC

= 2R

A

C/

二、新课讲解
1、正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

即:

a b c = = sin A sin B sinC
B

C a b

c
A

?思考:这个比值会是什么呢?
a b c \ = = = ?2R sin A sin B sin C

1、正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 即:
a b c = = = 2R B sin A sin B sin C
a C

b
c A

变 形 :

a b c \ sin A = ,sin B = ,sinC = 2R 2R 2R

\ a = 2R sin A,b = 2R sin B,c = 2R sinC \ a : b : c = sin A : sin B : sinC

2、三角形面积公式:

? S ?ABC

1 1 1 ? bc sin A ? ac sin B ? ba sinC 2 2 2

剖析定理、加深理解
a b c = = = 2R sin A sin B sin C

正弦定理

(1)从结构看:
各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学的和谐美。

(2)从方程的观点看:
三个方程,每个含有四个量,知其三求其一。

思考:利用正弦定理可以解决哪些问题? ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对 角,进而可求其他的边和角. ② 已知两角和一边,求其他角和边.
解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程

三、例题讲解
应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 例1 在△ABC中,A=32.0? ,B=81.5? ,a=42.9,解此三 角形.(精确到0.1cm) 解:根据三角形的内角和定理: C=180? -(A+B)=66.2?

由正弦定理可得

a sin B 42.9 sin 81.8o b= = o sin A sin 32.0
由正弦定理可得

80.1( cm )

a sinC 42.9 sin 66.2 c= = o sin A sin 32.0

o

74.1( cm )

四、练习
1.在△ABC中,已知c=10,A=45o,C=30o,则a=_____; 10 2

4 6 2.在△ABC中,已知a=8,B=60o,C=75o,则b=_____;
3.在△ABC中,C=2B,则 sin 3B = ( B )

sin B

b A. a

a B. b

c C. a

D. a
c

BD AB = 4.已知△ABC,AD为角A的平分线,求证: DC AC

四、练习

角平分线定理
A

BD AB = 4.已知△ABC,AD为角A的平分线,求证: DC AC

证明:在△ABD和△CAD中,

BD AB 由正弦定理,得 = sin b sin a DC AC AC = = sin b sin(180 ? a ) sin a
BD AB 两式相除得 = DC AC

b b
B
o a 180 -a

D

C

五、知识小结
一、正弦定理:

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

其中,R是△ABC的外接圆的半径
补充:三角形面积公式

1 1 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? ac sin B ? ba sinC 2 2 2 二、可以用正弦定理解决的三角问题:
※题型一:知两角及一边,求其它的边和角

题型二:知两边及其中一边对角,求其他边和角

六、思想方法小结:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想


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