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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 逻辑联结词与量词


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高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第一章 集合与简易逻辑

第一章

集合与简易逻辑

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第3课时 逻辑联结词与量词

第一章

第3课时

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1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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请注意!

本节也是高考的热点内容,尤其是逻辑联结词和含有 量词命题的否定是重点,多以选择题形式出现,属基础题.

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1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

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p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∧q



p∨q
真 真

綈p

假 假

假 假




真 真

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2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有: 一切 , 每一个, 任给 ,用符号 “ ? ”表示. 存在量词有: 有些 , 有一个 , 对某个 ,用符号 “ ? ”表示.

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(2)含有全称量词的命题, 叫做 全称命题 ; “对 M 中

?x∈M,p(x) 任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:
,读作:“ 对任意 x 属于 M,有 p(x)成立 ”. (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题(存在性命 题);“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记

?x 为: 0∈M,p(x0),读作:“存在 M 中的元素 x0,使

p(x0)成立 ”.

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3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0)

?x0∈M,p(x0)

?x∈M,綈 p(x)

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1.(课本习题改编)已知命题 p:若 a,b 都是偶数, 则 a+b 是偶数. 命题 p 的否命题为____________________________; 命题 p 的否定形式綈 p 为_______________________.

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答案 否命题:若 a、b 不都是偶数,则 a+b 不是偶 数 否定形式:若 a,b 都是偶数,则 a+b 不是偶数

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2.如果“綈(p∨q)”为假命题,则(

)

A.p,q 均为真命题 B.p,q 均为假命题 C.p,q 中至少有一个为真命题 D.p,q 中至多有一个为真命题

答案

C

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解析 綈(p∨q)为假命题,则 p∨q 为真命题,所以,

根据真值表,故选 C.

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3.若命题 p:x∈A∩B,则綈 p:(

)

A.x∈A 且 x?B C.x?A 且 x?B

B.x?A 或 x?B D.x∈A∪B

答案 B

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4.(2011· 北京)若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

)

答案 D
解析 只有綈 q 是真命题.

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5.已知命题 p:?m∈R,m+1≤0,命题 q:?x∈ R,x2+mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 ) B.m≤-2 D.-2≤m≤2

答案 B

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解析 ∵p∧q 为假命题?p,q 中至少有一个为假命 题,而命题 p:?m∈R,m+1≤0 为真命题,∴命题 q: ?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立必定为假命题,∴Δ=m2 -4×1≥0?m≤-2 或 m≥2, 又命题 p: ?m∈R, m+1≤0 为真命题,∴m≤-1,综上知 m≤-2,故选 B.

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题型一
例 1

含逻辑联结词的命题及真假

(课本习题改编)分别写出由下列各组命题构成的

“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式的复合命题,并判断其真

假.

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(1)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线相 等; (2)p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c}; (3)p:不等式 x2+2x+2>1 的解集是 R,q:不等式 x2+2x+2≤1 的解集为?.

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【解析】 (1)p∨q:菱形的对角线互相垂直或相等, 为真命题. p∧q:菱形的对角线互相垂直且相等,为假命题. 綈 p:菱形的对角线不垂直,为假命题.

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(2)p∨q:a∈{a,b,c}或{a}? {a,b,c},为真命题. p∧q:a∈{a,b,c}且{a}? {a,b,c},为真命题. 綈 p:a?{a,b,c},为假命题.

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(3)p∨q:不等式 x2+2x+2>1 的解集为 R 或 x2+2x +2≤1 的解集为?,为假命题. p∧q:不等式 x2+2x+2>1 的解集为 R 且 x2+2x+ 2≤1 的解集为?,为假命题. 綈 p: 不等式 x2+2x+2>1 的解集不是 R, 为真命题.

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探究 1 判断一个复合命题的真假往往用真值表, 一 般先确定复合命题的构成形式, 然后根据简单命题的真假 和真值表得出结论. 在判断复合命题的真假,应记住:p 且 q 形式是“一 假必假,全真才真”,p 或 q 形式是“一真必真,全假才 假”,非 p 则是“与 p 的真假相反”.

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思考题 1

写出由下列各组命题构成的“p∧q”、

“p∨q”、“綈 p”形式的复合命题,并判断真假.

(1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根;

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(2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的 对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等.

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【解析】 (1)p∨q:1 是素数或是方程 x2+2x-3=0 的根,真命题. p∧q: 既是素数又是方程 x2+2x-3=0 的根, 1 假命 题. 綈 p:1 不是素数,真命题.

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(2)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,假 命题. p∧q: 平行四边形的对角线相等且互相垂直, 假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等,真命题.

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(3)p∨q: 方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同或绝对 值相等,假命题. p∧p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同且绝对值 相等,假命题. 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号不相同,真命

题.

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题型二

全(特)称命题及真假判断

例 2 试判断以下命题的真假. (1)?x∈R,x2+2>0; (2)?x∈N,x4≥1; (3)?x∈Z,x3<1; (4)?x∈Q,x2= 3; (5)?x∈R,x2-3x+2>0; (6)?x∈R,x2+1=0.
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【解析】

(1)由于?x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2

+2≥2>0, x2+2>0 .所以命题“?x∈R,x2+2>0” 即 是真命题. (2)由于 0∈N,当 x=0 时,x4≥1 不成立,所以命题 “?x∈N,x4≥1”是假命题. (3)由于-1∈Z,当 x=-1 时,能使 x3<1,所以命 题“?x∈Z,x3<1”是真命题.

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(4)由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有 理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于 3,所以 命题“?x∈Q,x2= 3”是假命题. (5)假命题,因为只有 x>2 或 x<1 时满足. (6)假命题, 因为不存在一个实数 x 使 x2+1=0 成立.

【答案】 假

(1)真

(2)假

(3)真

(4)假

(5)假

(6)

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探究 2

①含有一个量词的命题的真假判断是高考

考查逻辑知识的一个重要考点, 解答这类试题的关键是正 确理解全称命题和特称命题的含义, 根据相关的知识作出 正确的推理论证或者通过列举反例推翻命题.

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②要判定一个全称命题是真命题, 必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立; 但要判定全称命题是假命 题, 只要能举出集合 M 中的一个 x=x0, 使得 p(x0)不成立 即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可;否则,这 一特称命题就是假命题.

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思考题 2 下列命题中正确的是( A.?t∈R,使得 2t<t 25 B.?x∈R,x +5x+ >0 4
2

)

C.?a∈R,使直线 ax+y-a-1=0 与圆 x2+y2=2 相切 D.?x∈R,x3+x+1≠0

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【解析】 由指数函数的图像,可知 y=2x 的图像在 直线 y=x 的上方, 即原命题的否定?t∈R,2t≥t 是正确的, 故 A 不正确; 25 52 5 由 x +5x+ 4 =(x+2) ,可知当 x=-2时,x2+5x
2

25 + =0,不等式不成立,故 B 不正确; 4 因为直线 ax+y-a-1=0 恒过点 P(1,1),而点 P 在 圆 x2+y2=2 上,所以存在实数 a,使直线 ax+y-a-1 =0 与圆 x2+y2=2 相切,故 C 正确;
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设 f(x)=x3+x+1,f(-1)=-1<0,f(0)=1>0,故方 程 x3+x+1=0 在(-1,0)上至少有一个实数根, D 不正 故 确.故选 C.

【答案】 C

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题型三
例3

含量词命题的否定
)

(1)若 p:?x∈R,sinx≤1,则(

A.綈 p:?x∈R,sinx>1

B.綈 p:?x∈R,sinx>1

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C.綈 p:?x∈R,sinx≥1

D.綈 p:?x∈R,sinx≥1

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【解析】 由于命题 p 是全称命题, 对于含有一个量 词的全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定綈 p:?x∈M,

綈 p(x),故应选 A.

【答案】 A

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(2)(2011· 衡水调研)命题“?x∈R,x2-2x+4>0”的 否定是( )

A.?x∈R,x2-2x+4<0 B.?x∈R,x2-2x+4>0 C.?x∈R,x2-2x+4≥0 D.?x∈R,x2-2x+4≤0

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【解析】

含有特称量词的命题的否定,先把存在

“?”改为任意“?”,再把结论否定.

【答案】 D

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探究 3 1.弄清命题是全称命题还是特称命题是写出 命题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的 含义加上量词,再进行否定. 3.要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也

可以判断“p”的真假,p 与綈 p 的真假相反.

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4.常见词语的否定形式有:
原语 句 否定 形式 是 都是 至少有 > 一个 一个也 没有 至多有 一个 至少有 两个 对任意 x∈A 使 p(x)真 存在 x0∈A 使 p(x0)假

不是

不都 是



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思考题 3 假.

写出下列命题的“否定”,并判断其真

1 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4
2

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0.

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【解析】 (1)綈

1 2 p:?x0∈R,x0-x0+ <0,是假命 4

题. 1 12 因为?x∈R,x -x+ =(x- ) ≥0 恒成立. 4 2
2

(2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.

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(3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题,这是由

于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题,这是由于 x

=-1 时,x3+1=0.

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题型四

应用问题

例 4 已知命题 p: “?x∈[1,2], 2-a≥0”命题 q: x “?
2 x0∈R,x0+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,求

实数 a 的取值范围.

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【思路】 题.

(1)已知的两个命题是全称命题和特称命

(2)根据“p∧q”是真命题来确定 a 的不等式,从而 求出 a 的取值范围.

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【解析】 由“p∧q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题,若 p 为真命题,a≤x2 恒成立,∵x∈[1,2 ], ∴a≤1.若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根,Δ =4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2,综上所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1.

【答案】

a≤-2 或 a=1

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探究 4

①含有逻辑联结词的命题要先确定构成命

题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条 件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. ②对全称命题可转化为恒成立问题.

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思考题 4 已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x): x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x) 为真,求实数 m 的取值范围. 【思路】 由题意可知,r(x)与 s(x)有且只有一个是 真命题,所以可先求出对?x∈R 时,r(x),s(x)都是真命 题时 m 的范围,再由要求分情况讨论出所求 m 的范围.

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π 【解析】 ∵sinx+cosx= 2sin(x+4)≥- 2, ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 又∵对?x∈R,s(x)为真命题,即 x2+mx+1>0 恒 成立, 有 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2,同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2,

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当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2且-2<m<2, 即- 2≤m<2. 综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或- 2≤m<2.

【答案】 m≤-2 或- 2≤m<2

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①命题的否定与否命题的区别: 否命题是既否定其条件,又否定结论;而命题 p 的否 定即非 p,是只否结论不否条件. ②命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真 一假;而否命题与原命题的真假无必然联系. ③含一个量词的命题的否定,既要否定量词,又要否 定结论.

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