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一道2011年全国高中数学联赛试题的简解


·课外园地·               数学通讯 — 2012 年第 2 期 ( 下半月)

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一道 2011 年全国高中数学联赛试题的简解
边  欣
( 天津师范大学数学系 , 300387)

   2011 年全国高中数学联合竞赛一试( B 卷) 的 第 9 题为 : 题目   已知实数

x , y , z 满足 : x ≥y ≥z , x +y +z = 1 , x +y +z =3 . 求实数 x 的取值范围 . 这是一 道构思巧妙的试题 . 参 考解答( 参见文 [ 1] ) 采用代数方法 , 先将题设中的两个方程转化为 一个一元二次方程 , 再利用一元二次方程有实根的 充要条件 , 即判别式非负 , 并结合题设中的不等关系 得到 x 的取值范围 . 此外 , 也可以从几何 、 三角方面 探究此题的解法 . 本文利用解析方法给出一个简解 . 解  由已知得 2 xy +2 yz +2 z x = ( x +y +z ) ( x 2 +y 2 +z 2 ) =12 -3 =-2 , 故 xy +yz +zx = 1. 从而 x , y , z 是关于 v 的一元三次方程 v 3 -v 2 v -xyz =0 的三个实数根 . 设函数 f ( v) =v -v - v . 则 f′ ( v )=3 v 2v 1= ( 3v + 1) ( v -1) . 易知 : 1 当 v <- 时 , f′ ( v) > 0 , f( v) 严格单增 ; 3 1 当 - 3 <v < 1 时 , f′ ( v) <0 , f ( v) 严格单减 ; 当v> 1 时 , f′ ( v) <0 , f ( v) 严格单增 . 1 5 并且点 A ( - , ) 是 f( v) 的局部极大值点 , 3 27 点 B( 1, 1) 是 f( v) 的局部极小值点 , 如图 1 所示 .
3 2 2 2 2 2 2

所以将 f ( v) 平移后得到的曲线与横轴至少有 2 个 交点 . 故当点 A 随着曲线 f ( v) 沿纵轴方向向下平 5 移 个单位至横轴上时 , x 取到最大值 . 平移后点 27 1 1 A 的坐标为( - , 0) . 此时 , y =z =- , 从而 x = 3 3 5 5 ( 如图 2) 3 , 即 x 的最大值为 3 .

图 2  函数 f( v) -

5 的图象 27

同理 , 当点 B 随着曲线 f ( v) 沿纵轴方向向上 平移 1 个单位至横轴上时 , x 取到最小值 . 平移后点 B 的坐标为( 1 , 0) . 此时 , x =y =1 , 从而 z =1 ,即 x 的最小值为 1 . ( 如图 3)

图 3  函数 f( v) +1 的图象

综上可知 , 1 ≤ x ≤ 5 . 3 参考文献 :
图 1  函数 f ( v) = v 3 - v 2 -v 的图象

[ 1]  2011 年 全国 高中数 学联 合竞赛 试题 及参 考答 案 . 《数 学通讯》 官方网站 http : / / w ww . shuxuetong xun . com/ . ( 收稿日期 : 2011 -11 -18)

因为 x , y , z 是关于 v 的 方程 f ( v )- xyz =0 的三个实数根 , 即将曲线 f ( v) 沿纵轴方向向上 ( 或 向下) 平移 xyz 个单位后 , 所得曲线与横轴交点的 横坐标 . 注意到 x ≥y ≥z , 且 x , y , z 不能全相等 ,


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