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2014届高三数学零模模拟(四)


2014 届高三零模数学模拟卷(四)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在 答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A={1,2,4},B={2,3,4,5},则 A∩B= 2.复数 z 满足方程 z i=i?1(i 为复数单位),z= . .

3.“sinA=sinB”是“A=B”的 条件.(填充要关系) 4 .某射箭运动员在某次测试中射箭 20 次,测试成绩如下表所示,该运动员测试成绩的方差 为: . 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6

5.3 个猎人同时向一只兔子射击,他们射中的概率分别为 0.6,0.5,0.4,问这只兔子被射中 的概率为 . 6.如图,算法流程图输出 x 的值为 . 2 7 .直线 l 过原点,且点 (2,1)到 l 的距离为 ,则直线 l 的方程 5 为 .

? x? y ?3 ? 8.设变量 x,y 满足约束条件:? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+3y ?2 x ? y ? 3 ?
的最小值为 . 9 .已知 ?an ? 是等差数列 , a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和 , 若

a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____ .
2 2 2 10 .若过点 A(a, a ) 可作圆 x ? y ? 2 ax ? a ? 2 a ?3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的取值范围





3 11.设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,且 acosB?bcosA= c,则 tan(A?B)的最大 5 值为 .

12.设函数 f ? x ? ? ?log .

log x, x?0 ? ? 2 x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ?x? , ? ? 2



1

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

n 1 4 12 , 2 ? an ?1 ? n ? N * ? ,则 ? = ? 3 an ? 6 i ?1 ai



14. a ? c ? 1, a ? b ? c, 则M ?

1 2 ? 的取值范围是 a ?b b?c



二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明.证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

16.(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,除棱 PC 外,其余棱均等长, M 为棱 AB 的中 点, O 为线段 MC 上靠近点 M 的三等分点. (1)若 PO ? MC ,求证: PO ? 平面 ABC ; (2)试在平面 PAB 上确定一点 Q ,使得 OQ // 平面 PAC ,且 OQ // 平面 PBC ,并给出证明.

P

A

C

M

O

(第 16 题) 2

B

17.(本小题满分 15 分) 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件 需另投入 2.7 万元. 设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,

?10.8-30x (0<x≤10), 且 R(x)=? 108 1 000 ? x - 3x (x>10) .
2 2

1

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年 销售收入-年总成本)

x2 y2 2 18.(本小题满分 15 分) 设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点 A(a,0),B(0,-b),原点 a b 2 2 3 O 到直线 AB 的距离为 . 3 (1) 求椭圆 M 的方程; (2) 设点 C 为(-a,0),点 P 在椭圆 M 上(与 A.C 均不重合),点 E 在直线 PC 上,若直线 PA 的方程 为 y=kx-4,且 PC ? BE ? 0 ,试求直线 BE 的方程.

3

19.(本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列,且对任意的 n ? N ,都有
*

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? n ? 2n?3 .
(1)若 ?bn ? 的首项为 4,公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a1 ? 8 . ①求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项 ,它可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项的和? 若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.

? x 2 ? 2 x ? a ,x ? 0 20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 ?ln x, x ? 0

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

4

附加题
21B. (选修 4—2:矩阵与变换) 已知曲线 C : xy ? 1,现将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45 ,求所得曲线 C ? 的方程.

21C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 (3,

?
3

) ,半径为 r ? 3 ,试写出圆 C 的极坐标方程.

22 .如图 , 在四棱锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 为梯形 , AB // DC , AB ? BC ,

PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2 EB .
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

5

23.抛一枚均匀的骰子(骰子的六面分别有数字 1.2.3.4.5.6)来构造数列

?1 {an }, 使an ? ? ??1
(1)求

(当第n次出现奇数时) (当第n次出现偶数时)
2

, 记? ai ? a1 ? a2 ? ? an .
i ?1
7

n

?a
i ?1

7

i

? 3 的概率; (2)若 ? ai ? 0, 求? ai ? 3 的概率.
i ?1 i ?1

6

参考答案
1.已知集合 A={1,2,4},B={2,3,4,5},则 A∩B= 答案:{2,4} 2.复数 z 满足方程 z i=i?1(i 为复数单位),z= .



答案:1?i 3.“sinA=sinB”是“A=B”的 条件.(填充要关系) 4 .某射箭运动员在某次测试中射箭 20 次,测试成绩如下表所示,该运动员测试成绩的方差 为: . 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6

答案:1.45 5.3 个猎人同时向一只兔子射击,他们射中的概率分别为 0.6,0.5,0.4,问这只兔子被射中 的概率为 . 答案:0.12 6.如图,算法流程图输出 x 的值为 答案:12 .

2 7 .直线 l 过原点,且点 (2,1)到 l 的距离为 ,则直线 l 的方程 5 为 . 答案:7x?24y=0 和 3x?4y=0

? x? y ?3 ? 8.设变量 x,y 满足约束条件:? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+3y ?2 x ? y ? 3 ?
的最小值为 答案:7. 9 . 已 知 ?an ? 是 等 差 数 列 , a1 ? 1 , 公 差 d ? 0 , Sn 为 其 前 .

n 项 和 , 若 a1 , a2 , a5 成 等 比 数 列 , 则

S8 ? _____
【答案】 64
7

10.若过点 A(a, a ) 可作圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a2 ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的取值范围 是 答: 1 ? a ?

3 2

3 11.设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,且 acosB?bcosA= c,则 tan(A?B)的最大 5 值为 3 答案: . 4 .

3 tan B 3 解析:由 acosB?bcosA= c 得 tanA=4tanB>0,故 tan(A?B)= = 5 1 ? 4 tan 2 B
1 1 ,tanA=2,tanB= 时,取等号. 2 tan B

3 4 tan B ? 1 tan B

3 ≤ ,当且 4

仅当 4 tan B ?

12.设函数 f ? x ? ? ?log
【答案】 a ?

log x, x?0 ? ? 2 x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ?x? , ? ? 2



? ?1,0? U?1,??? .
n 1 4 12 , 2 ? an ?1 ? n ? N * ? ,则 ? = ? 3 an ? 6 i ?1 ai

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 答案:



n 2 6 2 1 6 3 1 1 1 1 1 2 ? 3n ? n ? 2 ? ?1, ? ? ? , ? ? 3( ? ) ,? ? ? 4 an?1 an an ?1 2 an 2 an?1 4 an 4 i ?1 ai

14.已知 a ? c ? 1, a ? b ? c, 则M ?

1 2 ? 的取值范围是______________ a ?b b?c

仔细观察发现 (a ? b) ? (b ? c) ? a ? c ? 1 ,不妨进行一次换元,设 a ? b ? x, b ? c ? y 则题目可变成“已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0, 则M ?

1 2 ? 的取值范围是___________” x y

8

利用 M ? 等号。

1 2 1 2 y 2x ? ? ( ? )( x ? y ) ? 3 ? ( ? ) ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 ?1, y ? 2 ? 2 时,取 x y x y x y

?3 ? 2 2, ?? ?

?

15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

A? B 3 cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 ,
【答案】解:

? ? ? 由 2cos2

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ,所以, sin B ? . ? sin A sin B a 2

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?
4



?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向 ?ABC 的面积为

1 ? a ? c sin B =2 2

9

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,除棱 PC 外,其余棱均等长,M 为棱 AB 的中点,O 为线段 MC 上 靠近点 M 的三等分点. (1)若 PO ? MC ,求证: PO ? 平面 ABC ; (2)试在平面 PAB 上确定一点 Q ,使得 OQ // 平面 PAC ,且 OQ // 平面 PBC ,并给出证明.

P

A

C

M

O

B (第 16 题) 由题意得: O 为△ABC 的中心,则 CM⊥AB, ∵ M 为 棱 AB 的 中 点 , PA=PB , ∴ PM ⊥ AB,………………………………2 分 又 PM∩CM=M,∴AB⊥平面 PMC, ………………………………4 分 又 PO ? 平面 PMC,∴AB⊥PO. 又 PO⊥MC,MC∩AB=M,∴ PO ? 平面 ABC ………………………………7 分 (2)Q 为线段 MP 上靠近 M 点的三等分点.…………………………………9 分 MQ MO ∵ ,∴OQ//PC,又 OQ ? ? ? 平面 PAC, PC ? 平面 PAC,∴OQ//平面 PAC……12 分 QP OC 同理可证:OQ//平面 PBC. ………………………………………14 分

x3 17.解(1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10; 30 1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. 3x x3 8.1x- -10 (0<x≤10), 30 ∴W= 1 000 98- -2.7x (x>10). 3x x2 (2)①当 0<x<10 时,由 W′=8.1- =0,得 x=9. 10 当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10)时,W′<0.∴当 x=9 时,W 取最大值, 1 3 Wmax=8.1×9- · 9 -10=38.6. 30

? ? ?

10

1 000 1 000 ? ②当 x>10 时,W=98-? · 2.7x=38, ? 3x +2.7x?≤98-2 3x 1 000 100 100 当且仅当 =2.7x,即 x= 时,W=38,故当 x= 时,W 取最大值 38. 3x 9 9 综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌 服装的生产中所获年利润最大.

x2 y2 2 18.设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,点 A(a,0),B(0,-b),原点 O 到直线 AB 的距离 a b 2 为 2 3 . 3

(1) 求椭圆 M 的方程; (2) 设点 C 为(-a,0),点 P 在椭圆 M 上(与 A.C 均不重合),点 E 在直线 PC 上,若直线 PA 的方程 为 y=kx-4,且 PC ? BE ? 0 ,试求直线 BE 的方程. 【分析】本题是椭圆的相关问题,重点考查了椭圆的标准方程及几何性质.在求解时要分清问题条 件,正确进行求解.对于第(1)问,由条件列出参数 a,b 的方程组,解之即可;对于第(2)问,先利 用条件求出直线 BE 的斜率,再由点斜式写出直线 BE 的方程. 2 2 c2 a -b b2 1 【解答】 (1)由 e2= 2= 2 =1- 2= ,得 a= 2b.由点 A(a,0),B(0,-b)知直线 AB 的方程 a a a 2 |0+0- 2b| x y 2b 2 3 为 + =1,即 x- 2y- 2b=0.又 2 = = ,所以 b= 2. 2 a -b 3 3 1 +- 2 x2 y2 所以 b2=2,a2=4,所以椭圆 M 的方程为 + =1. 4 2 (2)由(1)知 A.B 的坐标依次为(2,0).(0,- 2).因为直线 PA 经过点 A(2,0),所以 0=2k-4,得 k 1 =2,即得直线 PA 的方程为 y=2x-4.因为 PC ? BE ? 0 ,所以 kPC· kBE=-1,即 kBE=- . kPC 设 P 的坐标为(x0,y0),则 kPA· kPC=
2 y0 y0 y0 1 1 · = 2 =- =2kPC,得- =4,即直线 BE 的斜率 2 k x0-2 x0+2 x0-4 PC

为 4.又点 B 的坐标为(0,- 2),因此直线 BE 的方程为 y=4x- 2.

11

19 . 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 对 任 意 的
n?3 . a1b 1? a b 2 ? 2 a b 3 ???? 3 ? anbn ? n ? 2

n ? N* , 都 有

(1)若 ?bn ? 的首项为 4,公比为 2,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a1 ? 8 . ①求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; ②试探究:数列 {bn } 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r (r ? N , r ? 2) 项的和? 若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.



:

(1)





n?3 a1b ?1a b ? a ? a3 2 b ???? 2 nbn ? 3 n? 2

,

所 式

以 相



n?2
减 ,



, 得

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?2 anbn ? n ? 2n?3 ? (n ?1) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? 2) ,

,



而当 n ? 1 时, a1b1 ? 16 ,适合上式,从而 anbn ? (n ? 1) ? 2n?2 (n ? N * ) ……………………3 分 又因为 ?bn ? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列,即 bn ? 2n?1 ,所以 an ? 2n ? 2 ………………4 分 从而数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn ? (2)①设 an ? kn ? b ,则 bn ? 设 ?bn ? 的公比为 q ,则
2

n(4 ? 2n ? 2) 4(1 ? 2n ) ? ? 2n? 2 ? n2 ? 3n ? 4 …………6 分 2 1? 2

n ? 1 n?2 n ? 2 (n ? N * ) ,所以 bn ?1 ? ? 2n ?1 (n ? 2) , kn ? b kn ? k ? b

bn n ? 1 kn ? k ? b ? ? ? 2 ? q 对任意的 n ? 2 恒成立 ……………8 分 bn?1 kn ? b n

即 k (2 ? q)n ? b(2 ? q)n ? 2(b ? k ) ? 0 对任意的 n ? 2 恒成立, 又 a1 ? 8 ,故 q ? 2, b ? k ? 4 ,且 b1 ? 2 ……………………………………………………10 分 从而 an ? 4n ? 4, bn ? 2n ……………………………………………………………………11 分
12

② 假 设 数 列 {bn } 中 第 k 项 可 以 表 示 为 该 数 列 中 其 它 r (r ? N , r ? 2) 项

bt1 , bt2 , ???, btr (t1 ? t2 ? ??? ? tr )
的和,即 bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ,易知 k ? tr ? 1
k t t t

(*)………13 分

又 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 r ?
k t t t 1 2 3 t

tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) ? 2 ?2? 2 , 1? 2

所以 k ? tr ? 1 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在…………………………………………16 分

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 20.已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图 ?ln x, x ? 0
象上的两点,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

【答案】解:

? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递减 区间为 ? ??, ?1? ,单调递增区间为 ??1,0? , ?0, ???

? ?? ? 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线 斜率为 f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,故当点
A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2x ? 2 . 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2x1 ? 2?? 2x2 ? 2? ? ?1, 所以 ? 2x1 ? 2? ? 0, ? 2x2 ? 2? ? 0 .

1 ? ? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 2? 3 1 当且仅当 ? ? 2 x1 ? 2? = ? 2 x2 ? 2? =1,即 x1 ? ? 且x2 ? 时等号成立. 2 2
因此 x2 ? x1 ? 所以函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1
13

? ??? ? 当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 .
当 x1 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x1, f ? x1 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,即 y ? ? 2x1 ? 2? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ln x2 ?

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1. x2 x2

? 1 ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 . 由①②得, a ? x12 ? ln
2

① ②

1 ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 . 2 x1 ? 2

设 h ? x1 ? ? x1 ? ln ? 2x1 ? 2? ?1(?1 ? x1 ? 0) , 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

1 ? 0. x1 ? 1

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0? 是减函数. 则 h ? x1 ? ? h ? 0? ? ? ln 2 ?1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又当 x1 ? (?1,0) 且趋近于 ?1 时, h ? x1 ? 无限增大,所以 a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ??? . 故当函数 f ( x ) 的图像在点 A, B 处的切线重合时, a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ???

14

20. (备用题)设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
【答案】解: (I)设 f ( x ) ?

ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? .所以 f ?(1) ? 1 .所以 L 的方程为 y ? x ? 1 . x x2

(II) 令 g ( x) ? x ? 1 ? f ( x) , 则 除 切 点 之 外 , 曲 线 C 在 直 线 l 的 下 方 等 价 于

g ( x) ? 0 (?x ? 0, x ? 1) .

g ( x) 满足 g (1) ? 0 ,且 g ?( x) ? 1 ? f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? ln x . x2

2 当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递减; 2 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递增.

所以, g ( x) ? g (1) ? 0 ( x ? 0, x ? 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 又 解 : g ( x) ? 0 即 x ? 1 ?

ln x ? 0 变 形 为 x 2 ? x ?l n x ? 0, 记 h( x) ? x2 ? x ? ln x , 则 x

h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在(0,1)上单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在(1,+∞)上单调递增. 所以 h( x) ? h(1) ? 0 .)

21B. (选修 4—2:矩阵与变换)
15

已知曲线 C : xy ? 1,现将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45 ,求所得曲线 C ? 的方程.

? ? ?cos 4 解: (1)由旋转坐标公式 M ? ? ? sin ? ? ? 4
? ? x? ? ? 得变换公式为 ? ? y? ? ? ? 2 x? 2 2 x? 2

? sin

4? ? …………………………………………5 分 ? ? cos ? 4 ?

??

2 y 2 ,代入得曲线 C ? 的方程为 y?2 ? x?2 ? 2 ……………10 分 2 y 2

21C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 (3,

?
3

) ,半径为 r ? 3 ,试写出圆 C 的极坐标方程.

2 解:设 ( ? ,? ) 是圆 C 上任一点,由余弦定理,得 9 ? ? ? 9 ? 2 ? 3? cos(? ?

?
3

) …………5 分

整理得圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6 cos(? ?

?
3

) ………………………………………10 分

22 .如图 , 在四棱锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 为梯形 , AB // DC , AB ? BC ,

PA ? AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2 EB .
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PCB ; (2)求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

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23.抛一枚均匀的骰子(骰子的六面分别有数字 1.2.3.4.5.6)来构造数列

?1 {an }, 使an ? ? ??1
(1)求

(当第n次出现奇数时) (当第n次出现偶数时)
2

, 记? ai ? a1 ? a2 ? ? an .
i ?1
7

n

?a
i ?1

7

i

? 3 的概率; (2)若 ? ai ? 0, 求? ai ? 3 的概率.
i ?1 i ?1
7

解: (1)设事件

?a
i ?1

i

? 3 为 A,则在 7 次抛骰子中出现 5 次奇数,2 次偶数
1 2

而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为 p 是相等的,且为 p ?
5 5 2 根据独立重复试验概率公式: P ( A) ? C 7 ( ) ( ) ?

1 2

1 2

21 128

(2)若

?a
i ?1

2

i

? 0, 则? ai ? 2, 或? ai ? ?2
i ?1 i ?1

2

2

即前 2 次抛骰子中都是奇数或都是偶数.
17

若前 2 次都是奇数,则必须在后 5 次中抛出 3 次奇数 2 次偶数, 其概率: P1 ?

1 2 1 3 1 2 5 C5 ( ) ( ) ? 4 2 2 64

若前 2 次都是偶数,则必须在后 5 次中抛出 5 次奇数,其概率:

P2 ?

1 1 5 1 ( ) ? . 4 2 128 5 1 11 ? ? . 64 128 128

? 所求事件的概率 P ? P1 ? P2 ?

18


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