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数学第一轮复习04 对数函数图像及性质


高考文科数学 第一轮复习

4.6 对数函数图像及性质
? ? ? ? 对数函数的定义 对数函数图像作法 对数函数性质 指数函数、对数函数 性质比较 ? 例题讲解 ? 总结

对数函数的定义
? 由y = ax (a 大于零且不等于1)可求出x = Logay( a 大于零 且不等于1,y>0),称之为对数函数 ? 因为习惯上常用x表示自变量,y表示因变量,因此对数函数 通常写成:y = Loga x(a大于零且不等于1,y>0) ? 简要说明反函数定义:称y = ax 与y = Loga x 两个函数互为反 函数(以后学完第五章的“两点关于y = x 对称关系”后再 讲解反函数的性质)

对数图像的作法
作对数图像的三个步骤:
一、列表(根据给定的自变量分别计算 出应变量的值) 二、描点(根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点) 三、连线(将所描的点用平滑的曲线连 接起来)

作Y=Log2x图像 列 表
X 1/4 1/2 Y=Log2x -2 -1 1 0 2 1 4 2 ….. … …

描 点

列 表

X
Y=Log2x

1/4 1/2
-2 -1

连线
0

1

2
1

4
2

…..
… …

连 线

y = Log2 x与y = Log 0.5 x的图像分析
函 数 y = Log2 x y = Log 0.5 x

图 像 定义域 值 域 单调性 过定点 取值范围

R+ R 增函数 ( 1, 0) 0<x<1时,y<0 x>1时,y>0

R+ R 减函数 ( 1, 0) 0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

对数函数y = Loga x的性质分析
函 数
y = Loga x (a>1) y = Loga x (0<a<1)





R+ 值 域 R 单调性 增函数 过定点 ( 1, 0) 0<x<1时,y<0 取值范围 x>1时,y>0
定义域

R+ R 减函数 ( 1, 0) 0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

指 数 函 数 、 对 数 函 数 性 质 比 较 一 览 表

名称 指数函数 y = ax 一般形式 a>1 图像 0<a<1
定义域 值域 单调性 函数的 变化情 况 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 R R+ 增函数 减函数 x<0时,0<y<1, x>0时 , y>1 x<0时,y>1 x>0时 ,0<y<1

对数函数 y = Log a x

R+ R 增函数 减函数 0<x<1时,y<0 x>1时,y>0 0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

例题讲解(一)
? 例1:求下列函数定义域 ? (1) Logax2 ; (2)Loga(4 – x)
求解对数函数定义域问题的关键是要求真数大于零, 分析: 当真数为某一代数式时,可将其看作一个整体单独 提出来求其大于零的解集即该函数的定义域

解答:

解1:要使函数有意义:必须x 2 >0,即x≠0, 所以 Logax2 的定义域是:{x|x ≠0} 解2:要使函数有意义:必须4 – x >0,即x<4, 所 以Loga(4 – x) 的定义域是:{x|x <4}

例题讲解(二)
? 例2:比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) Log23与 Log23.5 (2) Log 0.7 1.6与 Log 0.7 1.8


析 解

比较两个同底对数值的大小时,首先观察底是大于1还是 小于1(大于1时为增函数,大于0且小于1时为减函数); 再比较真数值的大小;最后根据单调性得出结果。

解1:考察函数y=Log 2 x ,
∵a=2 > 1, ∴函数在区间(0,+∞)上是增函数; ∵3<3.5 ∴ Log23< Log23.5 解1:考察函数y=Log
0.7 x



,

∵a=0.7< 1, ∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;

∵1.6<1.8 ∴ Log 0.7 1.6> Log 0.7 1.8

教 学 总 结
?对数函数的定义 ?对数函数图像作法 ?对数函数性质 ?指数函数、对数函数性质比较


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