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2.3函数的单调性与最值


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第三节 函数的单调性与最值

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.函数的单调性,是高考考查的重中之重,主要考查求函数的单调区

1.理解函数的单调 性、最大值、最小值 及其几何意义. 2.会利用函数的图象 理解和研究函数的 性质.

间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值 域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题. 2.函数的最值问题是每年高考的必考内容,一般情况下,不会对最值 问题单独命题,主要是结合其他知识综合在一起考查,主要考查求最 值的基本方法.

[归纳· 知识整合] 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义: 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 定义 个自变量的值 x1,x2. 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的

(2)如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在区间 D 具有 (严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.

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1 [探究] 1.函数 y= 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞),这种表示法对吗? x 提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的形式表示;如果一 个函数有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或” 联结. 2.函数 f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数 f(x)的单调递增区间为[a,b]含义相同吗? 提示:含义不同.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不能排除 f(x)在其他区间上单调递增, 而 f(x)的单调递增区间为[a,b]意味着 f(x)在其他区间上不可能单调递增. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值

[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征? 提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降的,而最大(小)值反映在图象上为其最 高(低)点的纵坐标的值. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)函数 f(x)= 2 ,x∈[2,6],则下列说法正确的有( x-1 )

①函数 f(x)为减函数;②函数 f(x)为增函数;③函数 f(x)的最大值为 2;④函数 f(x)的最 2 小值为 . 5 A.①③ C.②③④ 解析: 选 B 易知函数 f(x)= =2. 2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 1 B.k< 2 1 D.k<- 2 ) B.①③④ D.②④ 2 2 在 x∈[2,6]上为减函数, 故 f(x)min=f(6)= , f(x)max=f(2) 5 x-1

1 解析:选 D 使 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 2k+1<0,即 k<- . 2

?1?? 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??<f(1)的实数 x 的取值范围是(
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)

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A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:选 C ∵函数 f(x)为 R 上的减函数,

?1?? 且 f? ??x??<f(1),
1? ∴? ? x?>1,即|x|<1 且|x|≠0. ∴x∈(-1,0)∪(0,1). 4 . ( 教材习题改编 )f(x) = x2 - 2x(x ∈ [ - 2,4]) 的单调递增区间为 ________ ; f(x)max = ________. 解析:∵函数 f(x)=x2-2x 的对称轴为 x=1. ∴函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调递增区间为[1,4],单调递减区间为[-2,1). 又 f(-2)=4+4=8,f(4)=16-8=8. ∴f(x)max=8. 答案:[1,4] 8 5.(教材习题改编)若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调递增函数,则实数 k 的取 值范围是________. k 解析:∵函数 f(x)=4x2-kx-8 的对称轴为 x= , 8 又函数 f(x)在[5,20]上为增函数, k ∴ ≤5,即 k≤40. 8 答案:(-∞,40]

函数单调性的判断或证明

[例 1] 已知函数 f(x)=

x2+1-ax,其中 a>0.

(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. [自主解答] (1)由 2f(1)=f(-1), 可得 2 2-2a= 2+a,得 a= 2 . 3

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= x2 1+1-ax1- x2 2+1+ax2=
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x2 1+1- =
2 x1 +1+

x2 2+1-a(x1-x2) x2 2+1 -a(x1-x2)

2 x1 -x2 2

=(x1-x2)? ∵0≤x1< ∴0<

x1+x2 ? -a? ?. 2 ? x1+1+ x2 ? 2+1 x2 1+1,0<x2< x2 2+1,

x1+x2 <1. 2 x1+1+ x2 2+1

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. ————— —————————————— 判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是: 取值 ? 作差?商?变形 ? 确定符号 ? 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是: 求导函数 ? 确定符号 ? 得出结论

ax 1.讨论函数 f(x)= 2 (a>0)的单调性. x -1 解:由 x2-1≠0,得 x≠± 1,即 定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). ①当 x∈(-1,1)时,设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)= = ax1 ax2 - 2 x1 -1 x2 2-1

2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 2 2 ?x1-1??x2-1? ?x1 -1??x2 2-1?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1 -1)(x2 2-1)>0.

又 a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. ②设 1<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= = ax1 ax2 - 2 2 x1-1 x2-1

a?x2-x1??x1x2+1? , 2 ?x1 -1??x2 2-1?

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2 ∵1<x1<x2,∴x2 1-1>0,x2-1>0,

x2-x1>0,x1x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(1,+∞)上为减函数. 又函数 f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-∞,-1)上是减函数.

求函数的单调区间

[例 2] 求下列函数的单调区间. (1)y=-x2+2|x|+3; (2)y=log2(x2-1). [自主解答] (1)依题意,可得 当 x≥0 时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当 x<0 时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. 由二次函数的图象知, 函数 y=-x2+2|x|+3 在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函 数. (2)∵y=log2(x2-1), ∴该函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 又∵y=log2(x2-1)可看作由 y=log2μ 和 μ=x2-1 两个函数复合而成的,且 y=log2μ 在 μ∈(0,+∞)上为增函数, 而 μ=x2-1 在(-∞,-1)上为减函数且 μ>0, 在(1,+∞)上为增函数且 μ>0. ∴当 x∈(-∞,-1)时,y=log2(x2-1)为减函数, 当 x∈(1,+∞)时,y=log2(x2-1)为增函数. ————— ——————————————

1.求函数单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集, 求函数的单调区间必须首先确定函数的 定义域,求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行. 2.求复合函数 y=f[g(x)]的单调区间的步骤 (1)确定定义域; (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间;
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(4)若这两个函数同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数;若一增一减,则 y=f[g(x)]为减函 数,即“同增异减”.

2.求函数 y=

x2+x-6的单调区间. x2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数.

解:令 u=x2+x-6,y=

由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数, 在[2,+∞)上是增函数,而 y= ∴y= u在(0,+∞)上是增函数.

x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).

由函数的单调性求参数的值(或范围) x2+a [例 3] 已知函数 f(x)= (a>0)在(2, +∞)上为单调递增函数, 求实数 a 的取值范围. x [自主解答]在区间(2,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2,则 x1 2+a x2 2+a ? a a? f(x1)-f(x2)= - =?x1+x ? -? ?x2+x2? x1 x2 1? a a? a?x2-x1? =(x1-x2)+? ?x1-x2?=(x1-x2)+ x1x2 , ∵f(x)在(2,+∞)上为增函数, a?x2-x1? ∴(x1-x2)+ <0. x1x2 又 x1<x2,即 x1-x2<0, ∴ a <1,即 a<x1x2. x1x2

∵x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, ∴x1· x2>4. ∴a≤4,又 a>0, ∴a 的取值范围为(0,4]. x2+a x-5 若将“f(x)= (a>0)”改为“f(x)= ”,如何求解? x x-a-2 x-5 a-3 解:f(x)= =1+ . x-a-2 x-?a+2? ∵f(x)在(2,+∞)上为增函数,

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a ?3? 0, ∴ a ? 2? 2,
a ? 3, 解得 a ? 0, 即 a≤0.

?

?

故实数 a 的取值范围为?-∞,0].

—————

—————————————— 利用函数的单调性求参数的方法及注意点

利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为:视参数为已知数,依据函数的图象 或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参. 需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

x 3.已知 f(x)= (x≠a),若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. x-a 解:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立.∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是 (0,1].

函数的最值与应用 x2+2x+a [例 4] (2013· 昆明模拟)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 7 [自主解答] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)= . 2 2x 2 a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数. 最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即 a>-3,所以-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=a+3.
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所以 a+3>0,a>-3.所以 0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a ]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x)在[1,+ ∞)上的最小值是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立.综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大 于零时,a 的取值范围是(-3,+∞). ————— ——————————————

1.求函数最值的常用方法 ?1?单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; ?2?图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; ?3?基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值; ?4?导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值; ?5?换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 2.恒成立问题的解法 ?1?m>f?x?恒成立?m>f?x?max; ?2?m<f?x?恒成立?m<f?x?min.

3 2 ? ?x? 4.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈? ?2,+∞?,f?m?-4m f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立, 求实数 m 的取值范围. 3 x2 ? 解:由题意知, 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在 x∈? ?2,+∞?上恒成立, m 即 3 1 3 2 3 3 2 ? -4m2≤- 2- +1 在 x∈? ?2,+∞?上恒成立,当 x=2时,函数 y=-x2- x+1 取得最 m2 x x

5 1 5 3 3 小值- ,所以 2-4m2≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0,解得 m≤- 或 m≥ . 3 m 3 2 2 即实数 m 的取值范围为?-∞,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,+∞ . 2? ?2 ?

2 个防范——函数单调区间的记法及性质的易误点 (1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间 要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. (2)两函数 f(x),g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x?

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2 种形式——单调函数的等价变形 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? (2) <0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 4 种方法——函数单调性的判断方法 判断函数单调性的方法有以下四种: (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)导数法:利用导数研究函数的单调性; (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

易误警示——分段函数单调性中的误区

[ 典例 ]

? ??3a-1?x+4a,x<1, (2013· 福州模拟 ) 已知函数 f(x) = ? 满足对任意的实数 ?logax,x≥1 ?

f?x1?-f?x2? x1≠x2 都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围为( x1-x2 A.(0,1) 1 1? C.? ?7,3? [ 解 析 ] 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?7,1?

)

据 题 意 使 原 函 数 在 定 义 域 R 上 为 减 函 数 , 只 需 满 足 1 1 解得 ≤a< . 7 3

3a-1<0, ? ? ?0<a<1, ? ??3a-1?×1+4a≥loga1, [答案] C [易误辨析]

1. 如果只考虑到使各段函数在相应定义域内为减函数的条件, 而忽视在 R 上为减函数, 易误选 B. 2.一般地,若函数 f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区间[b,c]上为增函数,则不一定

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说明函数 f(x)在[a,c]上为增函数,如图:

,由图象可知函数 f(x)在[a,c]上整

体不呈上升趋势, 故此时不能说 f(x)在[a, c]上为增函数, 若图象满足如图:



即可说明函数在[a,c]上为增函数,即只需 f(x)在[a,b)上的最大值不大于 f(x)在[b,c]上的 最小值即可,同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论. [变式训练] 1,x>0, ? ? 1.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.(-∞,0] C.[1,+∞) x ,x>1, ? ? 解析:选 B g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1.
x 2

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是(

)

B.[0,1) D.[-1,0]

如图所示,其递减区间是[0,1).

a ?x>1?, ? ? 2. 若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为( 4- x+2?x≤1? ? 2 ? ?? A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8)

)

解析:选 B 函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x)在(-∞,1]上的最

? ?4-a>0, 高点不高于其在(1,+∞)上的最低点,即? 2 a ? ?a≥4-2+2,

a>1,

解得 a∈[4,8).

一、选择题 1.(2012· 广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 )

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1?x C.y=? ?2?

1 D.y=x+ x

解析:选 A 选项 A 的函数 y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一 定是增函数. 1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

1 解析:选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0∴当 x1∈(1,2) 1-x 时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 3. 若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) a 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范围是( x+1 B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1] )

解析:选 D ∵函数 f(x)=-x2+2ax 在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1. a 又∵函数 g(x)= 在区间[1,2]上也是减函数, x+1 ∴a>0.∴a 的取值范围是(0,1]. 4.(2013· 潍坊模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 1? 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)<0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关 系为( ) B.c>b>a D.b>a>c

A.c>a>b C.a>c>b

解析:选 D 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+∞)上是减 函数. 1? ?5? a=f? ?-2?=f?2?,所以 b>a>c. 1? 5.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0 且 a≠1)在区间? ?0,2?内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递 增区间为( ) 1 - ,+∞? B.? ? 4 ? 1? D.? ?-∞,-2?
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1 -∞,- ? A.? 4? ? C.(0,+∞)

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1? 1 解析: 选 D 令 g(x)=2x2+x>0, 得 x>0 或 x<- , 所以函数 f(x)的定义域为? ?-∞,-2? 2 1? ? 1? ∪(0,+∞).易知函数 g(x)在? ?0,2?上单调递增,所以在?0,2?上,0<g(x)<1.又因为 f(x)>0 1? 恒成立,故 0<a<1,故函数 y=logax 在其定义域上为减函数.而 g(x)=2x2+x 在? ?-∞,-2? 1? 上是单调递减的,所以 f(x)的单调递增区间为? ?-∞,-2?. 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a, b]上有( ) B.最大值 f(b) D.最大值 f? a+b? ? 2 ?

A.最小值 f(a) C.最小值 f(b)

解析:选 C ∵f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=0,令 y=-x,则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是 R 上的奇函数.设 x1<x2,则 x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1) +f(-x2) =f(x1-x2)>0. ∴f(x)在 R 上是减函数.∴f(x)在[a,b]有最小值 f(b). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1?x 7.函数 f(x)=? ?3? -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 1?x 解析:由于 y=? ?3? 在 R 上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以 f(x)在[-1,1]上单 调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 答案:3 8.(2013· 东城模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的编号). 解析:根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命 题②④是真命题,①是假命题;根据一个命题与其逆否命题等价可知,命题③是真命题. 答案:②③④
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x ? ?e -2,x≤0, 9.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ?2ax-1,x>0 ?

1 ? ①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ③若 f(x)>0 在? ?2,+∞? x1+x2? 上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? ? 2 ? f?x1?+f?x2? < . 2 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 解析:根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数 f(x) 1 ? 在 R 上不是单调函数,故②错误;若 f(x)>0 在? ?2,+∞?上恒成立,则 1 2a× -1>0,a>1,故③正确;由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0, 2 x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? 答案:①③④ 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 1 1 10.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. 解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x ?-?a-x ?
2 1

x1+x2? f?x1?+f?x2? 成立,故④正确. 2 ? 2 ?<

1 1 x2-x1 = - = >0, x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. 1 ? 1 1 ,2 上的值域是? ,2?,又 f(x)在? ,2?上单调递增, (2)∵f(x)在? 2 2 ? ? ? ? ?2 ? 1? 1 2 ∴f? = , f (2) = 2. ∴易得 a = . 2 ? ? 2 5 11.已知函数 f(x)对任意的 a,b∈R 恒有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 解:(1)证明:任取 x1,x2∈R, 且 x1<x2, ∵f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1, 又 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
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∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 即 f(x2)>f(x1). ∴f(x)是 R 上的增函数. (2)令 a=b=2,得 f(4)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1, ∴f(2)=3. 而 f(3m2-m-2)<3,∴f(3m2-m-2)<f(2). 又 f(x)在 R 上是单调递增函数, 4 ∴3m2-m-2<2,解得-1<m< . 3 4? 故原不等式的解集为? ?-1,3?. 12.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时, f?a?+f?b? 有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1? ? 1 ? (2)解不等式 f? ?x+2?<f x-1 ;

?

?

(3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)任取 x1,x2∈[-1,1]且 x1<x2, 则-x2∈[-1,1),∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) = f?x1?+f?-x2? · (x1-x2), x1+?-x2?

f?x1?+f?-x2? 由已知得 >0,x1-x2<0, x1+?-x2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,

? ? 1 ∴?-1≤x+2≤1, 1 ? ≤1, ?-1≤x- 1
∴在[-1,1]上,f(x)≤1.

1 1 x+ < , 2 x-1

3 解得- ≤x<-1. 2

(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增.

问题转化为 m2-2am+1≥1,
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即 m2-2am≥0,对 a∈[-1,1]成立. 下面来求 m 的取值范围. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. ②若 m≠0, 则 g(a)为 a 的一次函数, 若 g(a)≥0, 对 a∈[-1,1]恒成立, 必须 g(-1)≥0, 且 g(1)≥0, ∴m≤-2,或 m≥2. ∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2.

1.求函数 y=log 1 (x2-3x+2)的单调增区间.
2

解:令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x2-3x+2 的复合函数.
2

令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. 所以函数 y=log 1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2

3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 所以 u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而 y=log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数,
2

故 y=log 1 (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).
2

mx 2.讨论函数 f(x)= (m<0)的单调性. x-2 解:函数定义域为{x|x≠2}, 不妨设 x1,x2∈(-∞,2)且 x1<x2, f(x2)-f(x1)= 2m?x1-x2? mx2 mx1 mx2?x1-2?-mx1?x2-2? - = = . x2-2 x1-2 ?x1-2??x2-2? ?x1-2??x2-2?

∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且 x1<x2, ∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0. ∴ m?x1-x2? >0, ?x2-2??x1-2?

即 f(x2)>f(x1),故函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数. 同理可得函数 f(x)在区间(2,+∞)上也是增函数. 综上,函数 f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上为增函数. 3.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)
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2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.再令 y=-x, 得 f(-x)=-f(x).在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又∵x>0 时,f(x)<0.而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二:在 R 上任取 x1,x2,不妨设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)∵f(x)在 R 上为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3), 而 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1) =f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2. ∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2.

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