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10.1分类加法记数原理与分步乘法计数原理


第十章 计数原理、概率、随机变

量及其分布 第一节 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理

两个计数原理 分类加法计数原理 两类不同 完成一件事有_________ 方案 在第1类方案中有m _____. 种不同的方法,在第2类 方案中有n种不同的方法 m+n 种 完成这件事共有N=____ 不同的方法 独立 完成整个事件 能否_____ 分步乘法计数原理

条 件

完成一件事需要 两个步骤 ,做第1步有m __________ 种不同的方法,做第2步 有n种不同的方法
m ×n 完成这件事共有N=_____ 种不同的方法 逐步 完成整个事件 能否_____

结 论 依 据

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以 相同.( )

(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成 这件事.( )

(3)如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类中都有若干种 不同的方法mi(i=1,2,3,?,n),那么完成这件事共有 m1+m2+m3+?+mn种方法.( )

(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的.( )

(5)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何 一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,

这件事情才算完成.(

)

(6)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种

不同的方法mi(i=1,2,3,?,n),那么完成这件事共有m1m2m3?mn
种方法.( )

【解析】(1)错误.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的 方法互不相同,即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种 方法没有相同的. (2)正确.在分类加法计数原理中,每类方案中的每一种方法都 能完成这件事,否则就是分步了. (3)正确.这是分类加法计数原理的推广.

(4)正确.在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的
方法如果相同,则可认为是相同的步骤. (5)正确. 在分步乘法计数原理中,如果事情是分两步完成的, 则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事,否则就是分类 了. (6)正确.这是分步乘法计数原理的推广. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√

1.从10名任课教师,50名同学中,选1人参加元旦文艺演出, 共有选法种数为( (A)50 (B)10 ) (C)60 (D)500

【解析】选C.分类完成此事,一类是选教师,有10种选法,另

一类是选学生,有50种选法,由分类加法计数原理可知,共有
10+50=60种选法.

2.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零),
则该城市可增加的电话部数是( )

(A)9×8×7×6×5×4×3
(B)8×96 (C)9×106 (D)81×105 【解析】选D.电话号码是六位数字时,该城市可安装电话9× 105部,同理升为七位时,可安装电话9×106部,所以可增加的 电话部数是9×106-9×105=81×105.

3.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,
则不同的选法有______种.

【解析】分类完成此事,如果选女生,有3种选法;如果选男
生,有2种选法.由分类加法计数原理可知,共有3+2=5种选法.

答案:5

4.将4封信投入3个邮箱,有______种不同的投法.
【解析】分四步:每一封信都有3种不同的投法,由分步乘法 计数原理,共有3×3×3×3=81(种). 答案:81

5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中 各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可 表示第一、二象限内不同的点的个数是______. 【解析】令M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵 坐标,在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有1×2 个.令N中的元素作为点的横坐标,M中的元素作为点的纵坐标, 在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有2×2个.故 所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14. 答案:14

考向 1

分类加法计数原理

【典例1】(1)若x,y∈N*,且x+y≤6,则有序自然数对(x,y)共

有_______个.
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个 数为_______.

【思路点拨】(1)根据题意,用列举法分别求得当x=1,2,3,4,5
时,y值的数目情况,进而由分类加法计数原理,计算可得答 案. (2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类 .

【规范解答】(1)当x=1时,y可取的值为5,4,3,2,1,共5个;
当x=2时,y可取的值为4,3,2,1,共4个;

当x=3时,y可取的值为3,2,1,共3个;
当x=4时,y可取的值为2,1,共2个;

当x=5时,y可取的值为1,共1个;
即当x=1,2,3,4,5时,y值依次有5,4,3,2,1个, 由分类加法计数原理,得不同的数对(x,y)共有 5+4+3+2+1=15(个).

(2)方法一:根据题意,将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6, 7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别 是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计 数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

故共有36个.

方法二:分析个位数字,可分以下几类:
个位是9,则十位可以是1,2,3,?,8中的一个,故共有8个; 个位是8,则十位可以是1,2,3,?,7中的一个,故共有7个;

同理个位是7的有6个; ? 个位是2的有1个.

由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有
8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.

答案:(1)15

(2)36

【互动探究】本例题(2)中条件不变,求个位数字小于十位数 字的两位数且为偶数的个数. 【解析】当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知, 当个位数字是2时,共7个, 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的数共有 1+3+5+7+9=25(个).

【拓展提升】
1.分类加法计数原理的特点

(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准.
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 .

2.使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应 遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.

【变式备选】某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从
中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法 共有( (A)4种 ) (B)10种 (C)18种 (D)20种

【解析】选B.依题意,就所剩余的一本进行分类计数:第一
类,剩余的是一本画册,此时满足题意的赠送方法共有 4种; 第二类,剩余的是一本集邮册,此时满足题意的赠送方法共有 =6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种). C2 4

考向 2

分步乘法计数原理

【典例2】(1)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不

相邻的选法共有(
(A)8种

)
(C)16种 (D)20种

(B)12种

(2)用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区
域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻

区域颜色不同,求共有多少种不同的涂色方
法?

【思路点拨】(1)可分两步完成此事,第一步选两个不相邻的
平面,第二步选与前两个平面都相交的平面.(2)逐步给A,B,

C,D四个区域涂色即可.

【规范解答】(1)选B.完成这件事可先选取2个不相邻的平面,
有2个面不相邻即有一组对面,共有3组,然后再取与这两个平

面都相交的平面,共有4个.由分步乘法计数原理可知,选法为
3×4=12(种).

(2)分4步:涂A有5种方法;
涂B有4种方法;涂C有3种方法; 涂D有3种方法(D与A可以同色). 由分步乘法计数原理得,共有5×4×3×3=180(种).

【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需 要几个步骤,且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定 的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成,这 是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的方法数的积 就是完成事件的方法总数.

【提醒】解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序,使各步 互不干扰、互不影响,还要注意元素是否可以重复选取 .

【变式训练】已知在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任

何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对
角线的条数共有( )

(A)20

(B)15

(C)12

(D)10

【解析】选D.如图,在正五棱柱ABCDE–A1B1C1D1E1中,从顶点 A出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发 的对角线也有两条,共2×5=10(条).

考向 3

两个计数原理的综合应用

【典例3】(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2>a3, 则称这样的三位数为凸数(如120, 343,275等),那么所有凸数的个数为( (A)240 (B)204 (C)729 ) (D)920

(2)用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域
涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有 ______种不同的涂色方法.

【思路点拨】(1)由于中间数最大,可先按中间数进行分类,
再按两边的数分步进行解答.(2)本题是解决涂色问题,要明确 涂色要求,严格区分是“分类”还是“分步”.

【规范解答】(1)选A.分8类,当中间数为2时,有1×2=2(个); 当中间数为3时,有2×3=6(个); 当中间数为4时,有3×4=12(个); 当中间数为5时,有4×5=20(个);

当中间数为6时,有5×6=30(个);

当中间数为7时,有6×7=42(个);
当中间数为8时,有7×8=56(个); 当中间数为9时,有8×9=72(个). 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).

(2)完成该件事可分步进行.
涂区域1,有5种颜色可选.

涂区域2,有4种颜色可选.
涂区域3,可先分类:若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种

颜色可选.若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,
此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3) =260(种)涂色方法. 答案:260

【拓展提升】 1.两个计数原理的区别
区别 原理 分类加法计数原理 每类办法都能独立完成这 件事.它是独立的、一次 的,且每次得到的是最后 结果,只需一种方法就可 完成这件事 分步乘法计数原理 每一步得到的只是中 间结果,任何一步都 不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可, 只有各步骤都完成了 才能完成这件事

区别一

区别二

各步之间是相互依存 各类办法之间是互斥的、 的,并且既不能重复 并列的、独立的 也不能遗漏

2.应用两个计数原理的“两个”注意点
(1)注意在应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步 .在 分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列 出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化 .

【变式训练】某小组有10人,每人至少会英语和法语中的一门, 其中8人会英语,5人会法语,(1)从中任选一个会外语的人, 有多少种选法?(2)从中选出会英语与会法语的各1人,有多少 种不同的选法?

【解析】由于8+5=13>10,所以10人中必有3人既会英语又会 法语,5人只会英语,2人只会法语. (1)可分类完成此事:一类只会英语,一类既会英语也会法语,

一类是只会法语,共有5+3+2=10(种)
(2)同样分3类,共有N=5×2+5×3+2×3=31(种)方法.


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