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椭圆、双曲线标准方程、性质导学案


椭圆、双曲线标准方程及其性质(湛一教育机构春风老师) 一、椭圆定义、标准方程、几何性质 1、定义:平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于定长 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆,即点集 M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}是椭圆;其中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间 的距离叫焦距.(当 2a=|F1F2|时,点的轨迹为线段 F1F2;当

2a<|F1F2|时,无轨迹) 2、标准方程: x2 y2 y2 x2 焦点在 x 轴上: 2+ 2=1(a>b>0);焦点在 y 轴上: 2+ 2=1(a>b>0). a b a b 3、几何性质: 标准 方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2









|x|≤a,|y|≤b x 轴、y 轴 ________,________

|y|≤a,|x|≤b x 轴、y 轴 ________,________

对称轴 顶点坐标

长轴长:2 a,长半轴长:a ,短轴长:2 b,短半轴长:b,焦距:2c,半焦距:c

c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? c (0 ? e ? 1)
a
考点一:椭圆定义
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) . A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12

1. (08 江西)已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆

2 、已知 F1,F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 25 9 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? .
2 2

3、对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 考点二:椭圆标准方程与几何性质 1、椭圆 D、既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4



A、5 B、8 C、5 或 3 D、20 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.



1 3

B.

3 3

C.

1 2
1

D.

3 2

3、 (09 湖北) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于 A.

x2 y2 x2 y2 C. ? ?1 ? ?1 4 4 2 3 x2 y 2 4、 (2013 年新课标Ⅱ)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C a b 上的点 PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为( )

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

1 ,则 C 的方程是 ( ) 2 x2 y2 D. ? ?1 4 3

A.

B.

C.

D.

5.设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1 PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A. ) C. 2 ? 2 D. 2 ? 1

2 2

B.

2 ?1 2

6、 (09 广东)巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 7.【2012 高考江西】椭圆 .

3 ,且 G 上一点 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分 a 2 b2

别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

8. (2013 年高考新课标) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的 a 2 b2

直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 45 36

x2 y 2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 18

x2 y 2 ? ?1 D. 18 9

9. (2013 年高考上海卷(理) )设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? AB=4, BC ?

?
4

,若

2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为________

, 0) 、F2 (1, 0) 10. (2013 年上海市春季高考数学试卷) 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 B2 。(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; 短轴的两个端点分别为 B1、
(2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点,且 F1 P ? F1Q ,

????

????

2

求直线 l 的方程. 二、双曲线定义、标准方程、性质 1、双曲线定义:平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的动点的轨 迹叫做双曲线,即||MF1|-|MF2||=2a(|F1F2|=2c).这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间 的距离|F1F2|(|F1F2|=2c)叫做焦距. 在定义中,要注意条件 a ? c .否则,当 a=c 时,动点的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射 线;当 a>c 时,动点的轨迹不存在. 2、标准方程:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为: ? ?1 a2 b2
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为: 3、几何性质: 标准 方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

简 图

范 围 顶点坐标 对称轴 渐近线方程
y??

|x|≥a ____________ x 轴、y 轴
b x a y?? a x b

|y|≥a ____________ x 轴、y 轴

长轴长:2 a,长半轴长:a ,短轴长:2 b,短半轴长:b,焦距:2c,半焦距:c

c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? c (e ? 1)
a
考点一:双曲线定义 1 、已知双曲线 x 为 .
2?m m ?1
2

16

?

y2 ? 1 的左支上一点 9

P 到左焦点的距离为 10 ,则点 P 到右焦点的距离

2 2 2.已知方程 x ? y ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围



x2 y2 3.(2012· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点, 16 20 若|PF1|=9,则|PF2|=( A.1 B.17 ) C.1 或 17 D.以上答案均不对

考点二、双曲线标准方程、性质 1. (2013 广东) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ? 3, 0 ? ,离心率等于 的方程是 ( )
3

3 ,在双曲线 C 2

A .

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

2.【2012 高考湖南】已知双曲线 C : 线上,则 C 的方程为( )

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近 a 2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
3. (2013 年高考北京卷(理) )若双曲线

x2 y2 D. =1 20 80
( )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2
C. y ? ?

A.y=±2x

B.y= ? 2 x
2 2

1 x 2

D. y ? ? )

2 x 2

4、 ( 2013 年福建)双曲线 x ? y ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( A.

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

4 x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( ) 3 a b
(A)

5 3

(B)

4 3

(C)

5 4

(D)

3 2


6.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1) 2
C. (2, 5) D. (2,5)

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 7.曲线 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(A)焦距相等
2 2



(B) 离心率相等

(C)焦点相同

(D)准线相同

8、已知双曲线

x y ? 2 ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,双曲线与坐标轴的两个交点分别为 2 a b 5 A 、 B ,若 | F1 F2 |? | AB | ,则双曲线的离心率 e ? ( ) 3 5 5 4 8 A. B. C. D. 3 4 3 3
x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于________. 16 m 4

9. (2013 年高考陕西卷(理) )双曲线

10. (2013 年高考湖南卷(理) )设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P a 2 b2

4

? 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.

5


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