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专题:如何解决向量题


专题:如何解决向量题
思路一:利用图形和向量运算的几何意义(数形结合思想) 1. 已 知 点 O 在 ?ABC 内 部 , 且 满 足 OA ? 2OB ? 5OC ? 0 , 则 ?OAB 与 ?OBC 的 面 积 之 比 为 . 若 AO ? x AB ? y AC , 且 32 x ? 25 y ? 25 , ? 16 , AC ? 10 2 ,

2.已知 O 为锐角 ?ABC 的外心, AB 则 AO ? A. .

? 3

B.

? 6

C.

? 2

D.

2? 3
( )

3.已知向量 a ? e , e ? 1 ,对任意 t ? R ,恒有 a ? t e ? a ? e ,则 A. a ? e B. a ? ( a ? e) C. e ? ( a ? e)

D. (a ? e) ? (a ? e)

? 4. 在 Rt?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 3 , ?A ? 90 , AP ? m PB , AQ ? nQC , m, n ? R ,且满足

1 1 1 ? ? , M 是 BC 的中点,对任意的 ? ? R , ? QP ? QM 的最小值记为 f (m) ,则对任意 m ? 0 , m n 2
f (m) 的最大值为
. .

5.已知向量 ? , ? , ? ,满足 ? ? 1, ? ? ? ? ? ? 1, (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 ,则 ? 最大值是

6. (2012 年一模)已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? a ? b ? 2 , (a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 b ? c 的最小值 为( A. )

3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 2

D.

7 2

7. 已 知 a , b , c 满 足 a ? b ? 1 , a ? b ? ? 为 .

1 ? , a ? c 与 b ? c 的 夹 角 为 60 , 则 c 的 最 大 值 2

8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , 两 定 点 A 、 B 满 足 OA ? OB ? OA ? OB ? 2 , 则 点 集

?P OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R?所表示的区域的面积为(
A. 2 2 B. 2 3 C. 4 2 D. 4 3



思路二:运用平面向量基本定理(化归转化思想) 1.在 ?ABC 中,AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 60 , 若 P 是 ?ABC 所在平面内一点, 且 AP ? 2 , 则 PB ? PC
?

的最大值为
2


2

2. P 是圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 1 上的一个动点, A( 3 ,1) ,则 OP ? OA 的最小值为___. 3.(2012 浙江卷)在 ?ABC 中, P 是 BC 的中点, AP ? 3 , BC ? 10 ,则 AB ? AC = 4.(2013 浙江卷)在 ?ABC 中, P0 是 AB 边上的一个定点,且满足 P0 B ? 点 P ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0 C ,则( A. ?ABC ? 90
?



1 AB ,且对于边 AB 上任一 4


?

B. ?BAC ? 90

C. AB ? AC

D. BC ? AC

5.(2013 市二模)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点 之间的线段称为球的弦) , P 为正方体表面上的一个动点,当弦 MN 最长时, PM ? PN 的最大值 为 .

思路三:建立坐标系(特殊化法) 以上三种思路实际上分别运用了向量的几何表示、代数表示和坐标表示. 巩固练习: 1.已知向量 ? , ? , ? ,满足 ? ? 1, ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 ,若对每一确定的 ? , ? 的最大值和 最小值分别为 m , n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是
2

.

2.(2013 浙江省竞赛)已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于点 A, B , M 为 AB 的中点, C 为抛物线上的一 个动点,若 C 0 满足 CA ? CB ? C 0 A ? C 0 B ,则下列一定成立的是( A. C 0 M ? AB C. C 0 A ? C 0 B )

B. C 0 M ? l ,其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2

3. 点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 A1 B1C1 D1 上的一个动点, PA ? PC 的取值范围 为 .


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