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三角函数推导及公式大全


三角函数诱导公式
公式一:设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z) tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) cot(2kπ +α )=cotα (k∈Z) 公式二:设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系 si

n(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三:任意角α 与-α 的三角函数值之间的关系 sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα 公式四:利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系 sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα 公式五:利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系 sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 公式六:π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系 sin(π/2+α)=cosα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2+α )=-tanα cot(π /2-α )=tanα

诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 。
“奇、偶”指的是π /2 的倍数的奇偶, “变与不变”指的是三角函数的名称 的变化: “变”是指正弦变余弦,正切变余切。 (反之亦然成立) “符号看象限”

的含义是:把角α 看做锐角,不考虑α 角所在象限,看 n·(π /2)±α 是第几象 限角,从而得到等式右边是正号还是负号。以 cos(π /2+α )=-sinα 为例,等 式左边 cos(π /2+α )中 n=1,所以右边符号为 sinα ,把α 看成锐角,所以π /2< (π /2+α )<π ,y=cosx 在区间(π /2,π )上小于零,所以右边符号为负,所 以右边为-sinα 。 符号判断口诀: 全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三 角函数值都是“+” ;第二象限内只有正弦是“+” ,其余全部是“-” ;第三象限内 只有正切和余切是“+” ,其余全部是“-” ;第四象限内只有余弦是“+” ,其余全 部是“-” 。 也可以这样理解:一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余 弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。 “ASTC”反 Z。意即为“all(全部)” 、 “sin” 、 “tan” 、 “cos”按照将字母 Z 反 过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 另一种口诀:正弦一二切一三,余弦一四紧相连,言之为正。

万能公式推导
sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /[cos2(α )+sin2(α )], (因为 cos2(α )+sin2(α )=1) 再把分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =2tanα /[1+tan2(α )] 然后用α /2 代替α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =[2sinα cos2(α )+cos2(α )sinα -sin3(α )]/[cos3(α )-cosα sin2(α )- 2sin2(α )cosα ] 上下同除以 cos3(α ),得:

tan3α =[3tanα -tan3(α )]/[1-3tan2(α )] sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinα cos2(α )+[1-2sin2(α )]sinα =2sinα -2sin3(α )+sinα -2sin3(α ) =3sinα -4sin3(α ) cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα =[2cos2(α )-1]cosα -2cosα sin2(α ) =2cos3(α )-cosα +[2cosα -2cos3(α )] =4cos3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin3(α ) cos3α =4cos3(α )-3cosα

和差化积公式推导
首先,我们知道 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 同理,若把两式相减,就得到 cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理,两式相减我们就得到 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 这样,我们就得到了积化和差的公式: cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的 四个公式 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

同角三角函数的基本关系式
倒数关系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin2(α)+cos2(α)=1 1+tan2(α)=sec2(α) 1+cot2(α)=csc2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法
构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1”的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数; 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线 两端的三角函数值的乘积,下面 4 个也存在这种关系。 )由此,可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中, 上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函 数值的平方。

总结
两角和差公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα tanβ ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α =cos2(α )-sin2(α )=2cos2(α )-1=1-2sin2(α ) tan2α =2tanα /[1-tan2(α )]

tan*(1/2)α+=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α 半角的正弦、余弦和正切公式 sin2(α /2)=(1-cosα )/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα ) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα 万能公式 sinα=2tan(α/2)/*1+tan2(α/2)+ cosα =[1-tan2(α /2)]/[1+tan2(α /2)] tanα =[2tan(α /2)]/[1-tan2(α /2)] 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α =3sinα -4sin3(α ) cos3α =4cos3(α )-3cosα tan3α =[3tanα -tan3(α )]/[1-3tan2(α )] 三角函数的和差化积公式 sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]sin[(α -β )/2] cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]cos[(α -β )/2] cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]sin[(α -β )/2] 三角函数的积化和差公式 sinα ·cosβ =0.5[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ·sinβ =0.5[sin(α +β )-sin(α -β )]

cosα ·cosβ =0.5[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ·sinβ =- 0.5[cos(α +β )-cos(α -β )]


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