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函数奇偶性3k


奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数

称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 例 1: 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2x?+3 (2)f(x)=3x?+2x

(3)f(x)= x ? 2 + 2 ? x
? x (1 ? x ) ? ? x (1 ? x ) ( x ? 0 ), ( x ? 0 ).

(4) f(x)=

简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 跟踪训练: 1.如果偶函数在 A.最大值 2.函数 A.偶函数 例 2: 函数 具有最大值,那么该函数在 B.最小值 , 是( B.奇函数 在 R 上为奇函数, 且 ) C.不具有奇偶函数 D.与 , 则当 , 有关 . 有 ( ) D. 没有最小值

C .没有最大值

例 3:已知



,求

.

例 4:设 f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又 f(-2)=0,求不等式 f(x-1)<0 的解集。

跟踪训练:设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ?? ) 内是增函数,又 f ( ? 3) ? 0 , 则 x ? f ( x ) ? 0 的解集是( A. ? x | ? 3 ? x ? 0或 x ? 3? C. ? x | x ? ? 3或 x ? 3? ) B. ? x | x ? ? 3或 0 ? x ? 3? D. ? x | ? 3 ? x ? 0或 0 ? x ? 3?

y 恒有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) , 例 5: 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x 、 , 且当 x ? 0

时, f ( x ) ? 0 ,又 f (1) ? ? (1)求证: f ( x ) 为奇函数;

2 3



(2)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (3)求 f ( x ) 在[ ? 3 ,6]上的最大值与最小值. 跟踪训练:已知函数 f ( x ) 的定义域是 ( 0 , ?? ) ,且满足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , , 1 f ( ) ?1 2

如果对于 0 ? x ? y ,都有 f ( x ) ? f ( y ) , (1)求 f (1) ; (2)解不等式
f ( ? x ) ? f (3 ? x ) ? ? 2 。

课后作业:

1.函数 f(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数





C.奇函数且偶函数 D.非奇非偶函数 2 2. 已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

3.下列四个命题: (1)f(x)=1 是偶函数; (2)g(x)=x ,x∈(-1,1 ] 是奇函数; (3)若 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 H(x)=f(x) g(x)一定是奇函数; · (4)函数 y= |x|的图象关于 y 轴对称,其中正确的命题个数是 A.1 B.2
4 3
3





C.3

D.4

4.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_____________
?? x2 ? x ? x ? 0? ? f ? x? ? x ? a ? x ? a ?a ? 0? , h ? x? ? ? 5.已知函数 , 2 ?x ? x ? x ? 0? ?

则 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为( A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数



B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

6.若 f ( x ) 是偶函数,其定义域为 ?? ? , ?? ? ,且在 ?0 , ?? ? 上是减函数,
3 5 2 则 f ( ? )与 f ( a ? 2 a ? ) 的大小关系是( ) 2 2 3 5 3 5 2 2 A. f (? ) > f ( a ? 2 a ? ) B. f (? ) < f ( a ? 2 a ? ) 2 2 2 2 3 5 3 5 2 2 C. f (? ) ? f ( a ? 2 a ? ) D. f (? ) ? f ( a ? 2 a ? ) 2 2 2 2

8.课本 p36 练习第 1,2 题 9. 课本 p39A 组第 6 题 B 组第 3 题


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