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4-4渐开线与摆线 (精品)


四 渐开线与摆线

探究新知
1、渐开线的定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在 绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳 子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条 曲线。这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨 迹方程?

探究新知
1、渐开线的定义 动点(笔尖)满足什么几何条件?

设开始时绳子外端(笔尖)位于点A, ? 当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角?的一段弧AB,

展开后成为切线,所以切线 BM 的长就是 ?AB 的长,

这是动点(笔尖)满足的几何条件。
y

我们把笔尖画出的曲线叫 做圆的渐开线,
相应的定圆叫做渐开线的 基圆。

M B

?
O A

x

探究新知
2、渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立 平面直角坐标系。 设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x, y) 显然,点M由角 ? 唯一确定。
???? ? ???? ? BM ? ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ),| BM |? r?.

取?为参数,则点B的坐标为 (rcos? ,rsin?),从而 ? 由于向量e1 ? (cos ? ,sin ? )是 ??? ? 与OB同方向的单位向量,

y M B

?
O A

探究新知
? ???? ? 因而向量e 2 ? (sin ? , ? cos ? )是与向量 BM同 ???? ? ? 方向的单位向量。所以 | BM |? ( r? )e 2 , 即
???? ? | BM |? ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ) ? r? (sin ? , ? cos ? )
? x ? r (cos ? ? ? sin ? ) 解得 ? (?是参数)。 ? y ? r (sin ? ? ? cos ? )
y M B

2、渐开线的参数方程

这就是圆的渐开线的参数方程。

?
O A

新知运用
由于渐开线齿行的齿轮磨损少,传动平稳, 制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用 这种齿形。 设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线 方程。 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。

探究新知
3、摆线的定义 思考:如果在自行车的轮子上喷一个白色印记, 那么自行车在笔直的道路上行使时,白色印记 会画出什么样的曲线? 上述问题抽象成数学问题就是: 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周 上一个定点的轨迹是什么?
摆线在它与定直线的两个相邻交 点之间的部分叫做一个拱。
M O

?

B

A

探究新知
3、摆线的定义 同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆周上的 这个动点满足的几何条件。

? 的长,即OA ? r?。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线, 又叫旋轮线。

探究新知

3、摆线的参数方程 根据点M满足的几何条件,我们取定直线为X轴, 定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点, 建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y M O D

?C
A

B

E

x

设开始时定点M 在原点,圆滚动了?角后与x轴 相切于点A,圆心在点B。 从点M 分别做AB,x轴的垂线,垂足分别是C,D。

探究新知
3、摆线的参数方程 设点M 的坐标为( x, y ), 取?为参数,根据点M 满足

的几何条件,有

x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ? ,

y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos ?.
所以,摆线的参数方程为:

? x ? r (? ? sin ? ), (?为参数) ? ? y ? r (1 ? cos ? ).

探究新知
3、摆线的参数方程
M
O

?

B

A

y

M

?C
A

B

O D

E

x

摆线的参数方程为:? x ? r (? ? sin ? ), (?为参数)

? ? y ? r (1 ? cos ? ).

探究新知
3、摆线的参数方程

思考1:在摆线的参数方程中,参数 ? 的取值范 围是什么?一个拱的宽度与高度各是什么?
思考2:若点Q在半径AP上,且AQ=r/2,当圆 滚动时,点Q的轨迹是什么?

课堂小结
1、摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时, 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时,就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为:

? x ? r (? ? sin ? ), (?为参数) ? ? y ? r (1 ? cos ? ).
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时,就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时,若两圆外切,就得 到外摆线或变幅外摆线。 3、参数方程在研究摆线中的作用

课外作业
? 搜集有关摆线的应用实例。 ? 借助P43“阅读”,探究变幅内、外摆线的参 数方程。

摆线应用
平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构)

直 齿

摆线应用

斜齿

摆线应用

齿轮齿条

摆线应用

内齿轮

摆线应用
交错轴齿轮传动机构

斜 齿

摆线应用

蜗杆蜗轮

摆线应用

曲齿

摆线应用

人字齿

摆线应用
相交轴齿轮传动机构(圆锥齿轮传动机构)

直齿

摆线应用

斜齿

摆线应用

曲线齿

摆线应用

准双曲面齿轮


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