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3.1.3正弦、余弦、正切的二倍角公式


3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正 切公式

必修4 第三章

三角恒等变换

栏目导引

1.理解二倍角公式的推 导. 2.熟练掌握二倍角公式及 变形公式. 3.灵活运用二倍角公式解 决有关的化简、求值、证 明等问题,并结合实际问 题强化二倍角公式的应用.
必修4 第三章

r />1.二倍角公式.(重点) 2.二倍角公式与两角 的和与差的正弦、余 弦、正切公式的记 忆.(易混点) 3.二倍角公式及变形 公式的应用.(难点)

三角恒等变换

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1.如右图(甲)所示,已知弓弦的长度AB=2a, 弓箭的长度MN=2b(其中MA=MB, MN⊥AB).假设拉满弓时,箭头和箭尾到A、B 的连线的距离相等(如右图(乙)所示),设∠AMN =α,你能用a,b表示∠AMB的正切值即tan 2α 的值吗? tan 2α与tan α之间存在怎样的关系呢?
必修4 第三章 三角恒等变换
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三角恒等变换

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2.我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式, 若α=β时,你能得出sin 2α,cos 2α,tan 2α的 公式吗?

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1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式

2sinαcosα S2α sin2α=____________ C2α T2α

cos2α-sin2α =___________ 1-2sin2α cos2α=____________ =__________ 2cos2α-1

2tanα 1-tan2α tan2α=___________
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2.余弦的二倍角公式的变形

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1.计算 1-2sin2 22.5° 的结果等于( 1 2 A. B. 2 2 3 3 C. D. 3 2

)

2 解析: 1-2sin 22.5° =cos 45° = 2 答案: B
2

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2 2.已知 sin α= ,则 cos (π-2α)( ) 3 5 1 A.- B.- 3 9 1 5 C. D. 9 3 解析: cos (π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α) =2sin2α-1 4 =2× -1 9 1 =- 9 答案: B
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3 3.已知 α 为第三象限角,cos α=- ,则 tan 2α 5 =________. 3 解析: ∵α 为第三象限角,cos α=- 5 4 2 ∴sin α=- 1-cos α=- 5 4 tan α= 3 4 2× 3 2tan α tan 2α= 2 = ?4? 1-tan α ? ?2 1-?3? ? ? 24 =- 7
必修4 第三章 三角恒等变换
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? 3π? 12 ? 4.已知 cos α=- ,α∈?π, 2 ? ?,求 sin 2α,cos 13 ? ? 2α,tan 2α 的值.

? 3π? 12 ? 解析: ∵cos α=- ,α∈?π, 2 ? ?, 13 ? ? 5 2 ∴sin α=- 1-cos α=- . 13

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? ? 5? 12? 120 ? ? ? ? ∴sin2α=2sin αcos α=2×?-13?×?-13?= , 169 ? ? ? ? ? 5? 119 ? ?2 2 cos 2α=1-2sin α=1-2×?-13? = , 169 ? ?

sin 2α 120 tan 2α= = . cos 2α 119

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二倍角公式的应用——给角求值 求下列各式的值: (1)sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° ; 1 2π (2)sin - ; 8 2 1 π (3) -tan . π 12 tan 12
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由题目可获取以下主要信息: ①(1)中的角有二倍关系, ②(2)、(3)中只含有一个角. 解答本题可逆用二倍角公式化简求值.

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[解题过程] (1)方法一:利用二倍角公式的变形 公式 ∵sin 2α=2sin αcos α, sin 2α ∴sin α= . 2cos α sin 20° 1 sin 100°sin 140° ∴原式= ·· · 2cos 10°2 2cos 50°2cos 70° sin 20° 1 sin 80° sin 40° = ·· · 2sin 80°2 2sin 40°2sin 20° 1 = . 16

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方法二:先将正弦变成余弦,再逆用二倍角公式 1 原式=cos 80° ·· cos 40° · cos 20° 2 2sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° = 4sin 20° sin 40° cos 40° cos 80° = 4sin 20° sin 80° cos 80° = 8sin 20° sin 160° = 16sin 20° 1 = . 16
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方法三:构造对偶式列方程求解 令 x=sin 10° sin 50° sin 70° ,y=cos 10° cos 50° cos 70° . 则 xy=sin 10° cos 10° sin 50° cos 50° sin 70° cos 70° 1 1 1 = sin 20° ·sin 100° ·sin 140° 2 2 2 1 = sin 20° sin 80° sin 40° 8 1 1 = cos 10° cos 50° cos 70° = y. 8 8 1 ∵y≠0, ∴x= .从而有 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° 8 1 = . 16
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? ? π π π ? ? 2 2 2sin -1 1-2sin cos?2× 8? 8 8 ? ? (2)原式= =- =- 2 2 2 2 =- 4 ? ? π π ? ? 2 1-tan2 1 - tan 2 12 ? 12? 2 ? ? (3)原式= = = =2 3. π π π tan 2tan tan 12 12 6

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[题后感悟] 对二倍角公式的理解应注意以下几 点: (1)对“二倍角”应该有广义的理解,如:4α 是 2α 3α α 的二倍角,α 是 的二倍角,3α 是 的二倍角等. 2 2 (2)公式逆用:主要形式有 2sin αcos α=sin 2α,sin 1 sin 2α αcos α= sin 2α, cos α= , cos2α-sin2α=cos 2 2sin α 2tan α 2α, 2 =tan 2α. 1-tan α

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1.求下列各式的值. (1)cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° ; ? ? π π? π π? ? ?? ? (2)?cos 8-sin 8 ??cos 8+sin 8 ?; ? ?? ? π tan 8 (3) . 2π 1-tan 8

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1 解析: (1)由于 cos 60° = 2 1 所以原式= cos 20° cos 40° cos 80° 2 1 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° = · 2 sin 20° 1 sin 40° cos 40° cos 80° = · 4 sin 20° 1 sin 80° cos 80° = · 8 sin 20° 1 sin 160° 1 = · = . 16 sin 20° 16
必修4 第三章 三角恒等变换
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π 2 (2)原式=cos -sin =cos = 8 8 4 2 π 2tan 8 1 π (3)原式= = tan 2 4 2π 2(1-tan ) 8 1 = 2





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二倍角公式的应用—给值求值 ?π ? 5 π cos 2x ? ? 已知 sin?4-x?= , 0<x< , 求 ?π ? 13 4 ? ? ? cos ?4+x? ?
? ?

的值.

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? π? ? ? [规范作答] ∵x∈?0,4 ?, ? ? ? ? π π ? 0 , ∴ -x∈? ? ?, 2 分 4? 4 ? ?π ? 5 ? ? 又∵sin?4-x?= , 13 ? ? ?π ? 12 ? ? ∴cos?4-x?= 4 分 13 ? ? ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? ? - 2 x - x - x 又 cos 2x=sin?2 ?=2sin? ?cos? ? 4 4 ? ? ? ? ? ?

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5 12 120 =2× × = .8 分 13 13 169 ?π ?π ?? ?π ? ? ? ? ? ? cos?4+x?=sin? -?4+x?? ? ? ?? ? ? ?2 ?π ? 5 ? ? =sin?4-x?= ,10 分 13 ? ? 120 169 24 ∴原式= = .12 分 5 13 13

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[题后感悟] (1)从角的关系寻找突破口.这类 三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对 题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向 结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变 形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、 函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.

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π (2)当遇到 ± x 这样的角时可利用互余角的关系和 4 诱导公式,将条件与结论沟通. ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? cos 2x=sin?2-2x?=2sin?4-x?cos?4-x? ?. ? ? ? ? ? ?

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类似这样的变换还有: ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? + 2 x + x + x cos 2x=sin? = 2sin cos ? ? ? ? ? ?, ?2 ? ?4 ? ?4 ? ?π ? ? ? ? ? ? 2?π - 2 x - x sin 2x=cos?2 ?=2cos ? ?-1, 4 ? ? ? ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? 2 sin 2x=-cos?2+2x?=1-2cos ?4+x?等等. ? ? ? ?

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sin 2x 2.若例题条件不变,求 ? 的值. ? ?π sin ?4+x? ? ? ? ?π ? ? - 2 x 解析: ∵sin 2x=cos ? ? ? ?2 ? ? ? 2?π =1-2sin ?4-x? ? ? ? ?5 ? 119 ? ?2 =1-2×?13? = , 169 ? ? ? ? π? π? π ? ? ? ∵x∈?0,4?,∴ -x∈?0,4 ? ?, 4 ? ? ? ? ?π ? 5 ? ? 又∵sin ?4-x?= , 13 ? ?
必修4 第三章 三角恒等变换
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?π ? 12 ? ? ∴cos ?4-x?= , 13 ? ? ?π ?π ?? ?π ? ? ?? ? ? ? sin ?4+x?=sin ? -?4-x??=cos ? ?? ? ? ?2

?π ? 12 ? ? ? -x?= 13 ?4 ?

119 169 119 ∴原式= = . 12 156 13

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二倍角公式的应用——化简 cos 10° (1+ 3tan 10° ) 化简:(1) ; cos 70° 1+cos 40° 2cos2α-1 (2) ?π ? ?π ?. ? ? ? 2? - α + α 2tan?4 ?sin ? ? 4 ? ? ? ?

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解答本题可把切化弦,并逆用二倍角公式便可 求解.

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3sin 10° cos 10° (1+ ) cos 10° [解题过程] (1)原式= sin 20° 2cos 20° ?1 ? 3 ? ? 2 cos 10° + sin 10° ? cos 10° + 3sin 10° ? 2 ?2 ? = = 2 2 sin 40° sin 40° 2 2 2 2sin 40° = =2 2. sin 40°

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2cos2α-1 (2)原式= ?π ? ? 2sin?4-α? ? ?π ? ? ? ? ? 2 cos ?4-α? ?π ?· ? ? ? ? cos?4-α? ? ? 2cos2α-1 = ?π ? ?π ? ? ? ? ? 2sin?4-α?· cos?4-α? ? ? ? ? 2cos2α-1 cos 2α = = =1. cos 2α cos 2α

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[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时,常首先切化弦,然后分析角的内部关系, 是否有互余或互补的,若有,应用诱导公式转 化,若没有,再分析角间是否存在线性关系, 并利用两角和与差的三角函数展开,经过这样 处理后,一般就会化简完毕.

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3tan 12° -3 3.化简:(1) ; 2 sin 12° (4cos 12° -2) 1+sin θ-cos θ 1+sin θ+cos θ (2) + . 1+sin θ+cos θ 1+sin θ-cos θ

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3sin 12° ? -3? ? cos 12° ? 解析: (1)原式= 2(2cos2 12° -1)sin 12° 3sin 12° -3cos 12° = 2sin 12° cos 12° cos 24° 2 3(sin 12° cos 60° -cos 12° sin 60° ) = sin 24° cos 24° 4 3sin(12° -60° ) = =-4 3. sin 48°

? ? ? ?

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θ θ 2sin +2sin cos 2 2 2 (2)方法一:原式= + θ θ 2θ 2cos +2sin cos 2 2 2 θ θ 2θ 2cos +2sin cos 2 2 2 θ θ 2θ 2sin +2sin cos 2 2 2 θ θ sin cos 2 2 = θ+ θ cos sin 2 2 1 2 = θ θ=sin θ. cos sin 2 2
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方法二:原式= (1+sin θ-cos θ)2+(1+sin θ+cos θ)2 (1+sin θ+cos θ)(1+sin θ-cos θ) 2(1+sin θ)2+2cos2θ = (1+sin θ)2-cos2θ 4(1+sin θ) 2 = = . 2sin θ(1+sin θ) sin θ

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1.对二倍角的理解及二倍角公式的应用形式 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解,如: 8α 是 4α 的二倍角;6α 是 3α 的二倍角;4α 是 2α 3 α α 的二倍角;3α 是 α 的二倍角;α 是 的二倍角; 2 2 3 α 是 的二倍角;? 6 α α α 又如 α=2× , =2× ,? 2 2 4
必修4 第三章 三角恒等变换
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(2)公式正用 从题设条件出发,顺着问题的线索,正用公式, 通过对信息的感知、加工、转换,运用已知条件 和推算手段逐步达到目的. (3)公式逆用 逆向转换,逆用公式,这种在原有基础上的变通 是创新意识的体现.应用时要求对公式特点有一 个整体感知.主要形式有 2sin αcos α=sin 2α,sin 1 sin 2α αcos α= sin 2α, cos α= , cos2α-sin2α=cos 2 2sin α 2tan α 2α, 2 =tan 2α. 1-tan α
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(4)公式的变形用 公式之间有着密切的联系, 这就要求我们在思考时 因势利导,融会贯通,有目的地活用公式.主要形 式有 1± sin 2α=sin2α+cos2α± 2sin αcos α=(sin α± cos α)2,1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α, 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 cos α= ,sin α= . 2 2

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2.正弦、余弦二倍角与正切单角的关系 2sin αcos α 2tan α (1)sin 2α=2sin αcos α= 2 2 = 2 , sin α+cos α 1+tan α 2tan α 即 sin 2a= 2 . 1+tan α 2 2 2 cos α - sin α 1 - tan α 2 2 (2)cos 2α= cos α-sin α= 2 2 = 2 , cos α+sin α 1+tan α 1-tan2α 即 cos 2α= 2 . 1+tan α 这两个公式叫做万能公式,不要求记忆,但记住 S2α、C2α 与 tan α 之间的关系,会使解题过程更加 简捷.
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◎若sin x+cos x-1>0,求x的取值范围.

【错解】 ∵sin x+cos x>1,两边平方, 得(sin x+cos x)2>1, ∴1+2sin xcos x>1, ∴sin 2x>0 ∴2kπ<2x<2kx+π(k∈Z), π ∴kπ<x<kπ+ (k∈Z). 2
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【错因】 错因 1:忽略 x 为第一象限角(因为|sin x|≤1,|cos x|)≤1,又 sin x+cos x>1,所以必须 sin x>0 与 cos x>0. 错因 2:上述方法引进了 cos x+sin x<-1 的增 ? π? ? ? 解.改用恒等变形,得 2sin?x+4?>1,即 sin ? ? ? π? 2 ? ? ,可避免增解,也无需寻找隐含条件. ?x+ ?> 4? 2 ?

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【正解】 ∵sin x+cos x>1, ∴两边平方,得 sin xcos x>0, ∴必有 sin x>0 且 cos x>0. 又|sin x|≤1,|cos x|≤1, ∴x 为第一象限角, π ∴2kx<x<2kπ+ (k∈Z). 2

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练规范、练技能、练速度


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