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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷5


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷五
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1 . 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程 x2+4xcos?+cos?=0 有 重 根 , 则 ? 的 弧 度 数 为 ( ) A.6 则 (

?

? 5? B.12或12

? 5? C.6或12

D.12

?

2.已知 M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的 m∈R,均有 M∩N??, b 的 取 值 范 围 是 ) 6 6 A.[- 2 , 2 ]
2

6 6 B.(- 2 , 2 )

2 3 2 3 C.(- 3 , 3 ]

2 3 2 3 D.[- 3 , 3 ]

1 3.不等式 log2x-1+2log1 x3+2>0 的解集为 A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]

→ → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC = 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的 比为( ) A.2 3 B.2 C.3 5 D.3

5.设三位数 n=??? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这 样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面 圆内的点,O 为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的 中 点 , 则 当 三 棱 锥 O - HPC 的 体 积 最 大 时 , OB 的 长 为 ( ) 5 A. 3 2 5 B. 3 6 C. 3 2 6 D. 3
A

P

C O H B

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间 上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ; 8.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则 f(x)= ; 9 . 如 图 , 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 二 面 角 A - BD1 — A1 的 度 数 D1 是 ; k= 10.设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k2-pk也是一个正整数,则 ; 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,
A1 B1

C1

D A B

C

1 则 ∑a 的值是
i=0 i

n



12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ; 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所 出现的点数的和大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少?

4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0,3),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围.

2x-t 15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)= x2+1 的定义域为 [?,?]. ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 1 ? ⑵ 证明: 对于 ui∈(0, )(i=1, 3), sinu1+sinu2+sinu3=1, g(tanu )+g(tanu )+g(tanu ) 2, 若 则 2 1 2 3 3 6 < 4 .

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷四
参考答案
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1 . 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程 x2+4xcos?+cot?=0 有 重 根 , 则 ? 的 弧 度 数 为 ( ) A.6

?

? 5? B.12或12

? 5? C.6或12

D.12

?

1 解:由方程有重根,故4?=4cos2?-cot?=0,

? ? 5? ∵ 0<?<2,?2sin2?=1,??=12或12.选 B.
则 ( 2.已知 M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的 m∈R,均有 M∩N??, b 的 取 值 范 围 是 ) 6 6 A.[- 2 , 2 ] 6 6 B.(- 2 , 2 ) 2 3 2 3 C.(- 3 , 3 ] 2 3 2 3 D.[- 3 , 3 ]

6 6 解:点(0,b)在椭圆内或椭圆上,?2b2≤3,?b∈[- 2 , 2 ].选 A. 1 3.不等式 log2x-1+2log1x3+2>0 的解集为
2

A.[2,3)

B.(2,3]

C.[2,4)

D.(2,4]

3 解:令 log2x=t≥1 时, t-1>2t-2.t∈[1,2),?x∈[2,4),选 C. → → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC = 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的 比为( ) A.2 3 B.2 C.3 5 D.3
B B1 O S C C1 D A

解 : 如 图 , 设 ?AOC=S , 则 ?OC1D=3S , ?OB1D=?OB1C1=3S , ?AOB=?OBD=1.5S.?OBC=0.5S,??ABC=3S.选 C. 5.设三位数 n=??? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 解:⑴等边三角形共 9 个; ⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为 a,b),有 36 种取法,以小数为底时总 能构成等腰三角形,而以大数为底时,b<a<2b.a=9 或 8 时,b=4,3,2,1,(8 种);a=7,

6 时,b=3,2,1(6 种);a=5,4 时,b=2,1(4 种);a=3,2 时,b=1(2 种),共有 20 种不能取 的值. 共有 236-20=52 种方法, 而每取一组数, 可有 3 种方法构成三位数, 故共有 523=156 个三位数 即可取 156+9=165 种数.选 C. 6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内 的点,O 为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点, 则 当 三 棱 锥 O - HPC 的 体 积 最 大 时 , OB 的 长 为 ( ) 5 A. 3 2 5 B. 3 6 C. 3 2 6 D. 3

解:AB⊥OB,?PB⊥AB,?AB⊥面 POB,?面 PAB⊥面 POB. OH⊥PB,?OH⊥面 PAB,?OH⊥HC,OH⊥PC, 又,PC⊥OC,?PC⊥面 OCH.?PC 是三棱锥 P-OCH 的高.PC=OC=2. 而?OCH 的面积在 OH=HC= 2时取得最大值(斜边=2 的直角三角形). 2 6 当 OH= 2时,由 PO=2 2,知∠OPB=30?,OB=POtan30?= 3 . 1 又解:连线如图,由 C 为 PA 中点,故 VO-PBC=2VB-AOP, PH PO 而 VO-PHC∶VO-PBC=PB = PB2 (PO2=PH· PB). 记 PO=OA=2 2=R,∠AOB=?,则 1 1 1 VP—AOB=6R3sin?cos?=12R3sin2?,VB-PCO=24R3sin2?. PO2 R2 1 2 sin2? 1 3 PB2 =R2+R2cos2?=1+cos2?=3+cos2?.?VO-PHC=3+cos2??12R . ∴ 令 y= 2cos2?(3+cos2?)-(-2sin2?)sin2? sin2? 1 3 ,y?= =0, cos2?=-3,?cos?= 3 , 得 3+cos2? (3+cos2?)2
2

P

C O A H B

2 6 ∴ OB= 3 ,选 D. 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间 上的图像与函数 g(x)= 解:f(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ; 2? 2? a2+1sin(ax+?),周期= a ,取长为 a ,宽为 2 a2+1的矩形,由对称性知,面

2? 积之半即为所求.故填 a a2+1.

? ?1 2 a2+1 2 2p 2 又解: a +1[1-sin(ax+?)]dx= a (1-sint)dt= a a +1. ?0 0





8.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,

则 f(x)= ; 解:令 x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,?f(1)=2. 令 y=1,得 f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即 f(x+1)=2f(x)-x.① 又, f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2, y=1 代入, f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2, f(x+1)=f(x)+1. 令 得 即 ② 比较①、②得,f(x)=x+1. 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1—A1 的度数是 ; A
1

D1 M N D B1

C1

3 解:设 AB=1,作 A1M⊥BD1,AN⊥BD1,则 BN·BD1=AB ,?BN=D1M=NM= 3 .
2

6 ?A1M=AN= 3 . 2 2 1 2 1 ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2-2A1M·NAcos?,?12=3+3+3-2?3cos?,?cos?=2. ??=60?. 10. p 是给定的奇质数, 设 正整数 k 使得 k2-pk也是一个正整数, k= 则 2 p p 1 解:设 k2-pk=n,则(k-2)2-n2= 4 ,?(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,?k=4(p+1)2.
n

C B

A



1 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑a 的
i=0 i

值是

; 1 2 1 1 1 2 2 1 2n+1-1 1 1 解: =a +3, ?令 bn=a +3, b0=3, n=2bn-1, n=3?2n. a = 3 , ∑a =3(2n+2 得 b ?b 即 ? an+1 n n n i=0 i
n

-n-3). 12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ; y 解: 当∠MPN 最大时, ⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x N 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP?N 更大).于是,延长 NM 交 M x 轴于 K(-3,0),有 KM·KN=KP2,?KP=4.P(1,0),(-7,0),但(1, 0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P 的横坐标=1. O P K 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次, 如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少? 解:⑴ 设他能过 n 关,则第 n 关掷 n 次,至多得 6n 点, 由 6n>2n,知,n≤4.即最多能过 4 关. ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2,第二关时掷 2 次的点数和>4,第三关时掷 3 次的 点数和>8. 4 2 第一关过关的概率=6=3;

x

第二关过关的基本事件有 62 种,不能过关的基本事件有为不等式 x+y≤4 的正整数解的 6 2 个数,有 C4个 (亦可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计 6 种,过关的概率=1-62 5 =6; 第三关的基本事件有 63 种,不能过关的基本事件为方程 x+y+z≤8 的正整数解的总数, 可连写 8 个 1, 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C8= 从 20 能过关的概率=27; 2 5 20 100 ∴连过三关的概率=3?6?27=243. 4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0,3),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围. 解:⑴ 设点 P 的坐标为(x,y), x 3y AB 方程: + 4 =1,?4x-3y+4=0, ① -1 y BC 方程:y=0, ② AC 方程:4x+3y-4=0, ③ 2 ∴ 25|y| =|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|, ?25y2+16x2-(3y-4)2=0,?16x2+16y2+24y-16=0, ?2x2+2y2+3y-2=0. 或 25y2-16x2+(3y-4)2=0,?16x2-34y2+24y-16=0, ?8x2-17y2+12y-8=0. ∴ 所求轨迹为圆:2x2+2y2+3y-2=0, 或双曲线:8x2-17y2+12y-8=0. 但应去掉点(-1,0)与(1,0). 1 1 ⑵ ?ABC 的内心 D(0,2):经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+2. (a) 直线 x=0 与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点; 1 1 5 1 (b) k=0 时,直线 y=2与圆④切于点(0,2),与双曲线⑤交于(±8 2,2),即 k=0 满足要 求. 1 (c) k=±2时,直线⑥与圆只有 1 个公共点,与双曲线⑤也至多有 1 个公共点,故舍去. 1 25 (c) k?0 时, 2时, k? 直线⑥与圆有 2 个公共点, 以⑥代入⑤得: (8-17k2)x2-5kx- 4 =0.
P B K -1 A 1 D C O 1
3

8?7?6 56 7 =56 种, 不能过关的概率= 63 =27, 3?2?1

x

④ ⑤



2 34 2 当 8-17k2=0 或(5k)2-25(8-17k2)=0,即得 k=± 17 与 k=± 2 . 2 34 2 ∴ 所求 k 值的取值范围为{0,± 17 ,± 2 }. 2x-t 15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)= x2+1 的定义域为 [?,?]. ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 1 ? ⑵ 证明: 对于 ui∈(0, )(i=1, 3), sinu1+sinu2+sinu3=1, g(tanu )+g(tanu )+g(tanu ) 2, 若 则 2 1 2 3 3 6 < 4 . 1 解:⑴ ?+?=t,??=-4.故?<0,?>0.当 x1,x2∈[?,?]时, 2(x2+1)-2x(2x-t) -2(x2-xt)+2 ∴ f ?(x)= = (x2+1)2 .而当 x∈[?,?]时,x2-xt<0,于是 f ?(x)>0, (x2+1)2 即 f(x)在[?,?]上单调增. ∴ g(t)= 2?-t 2?-t (2?-t)(?2+1)-(2?-t)(?2+1) (?-?)[t(?+?)-2??+2] - = = ?2+1 ?2+1 (?2+1)(?2+1) ?2?2+?2+?2+1

5 t2+1(t2+2) 8 t2+1(2t2+5) = = 16t2+25 25 t2+16 ⑵ g(tanu)= ∴ 8secu(2sec2u+3) 16+24cos2u 16 6 16sec2u+9 =16cosu+9cos3u≥16+9cos2u, 1 1 1 1 1 + g(tanu ) + g(tanu ) ≤ [16?3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75 - g(tanu1) 2 3 16 6 16 6

9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)] 1 sinu1+sinu2+sinu3 2 而3(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥( ) ,即 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3. 3 1 1 1 1 3 6 ∴g(tanu )+g(tanu )+g(tanu )≤ (75-3)= 4 .由于等号不能同时成立,故得证. 1 2 3 16 6


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