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椭圆中与焦点三角形有关的问题


椭圆中与焦点三角形有关的问题
问题: 题 1:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 Fl、F2,点 P 为其上动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的 9 4

取值范围是_______。 设计意图:从习题入手,不陌生,并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。 (二)问题的分析与引导 问题分解:

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 Fl、F2,点 P 为其上一点,当 ?F1 PF2 为直角时,点 P 的横坐标 问题 1. 椭圆 9 4
是_______。 问题 2. 而此题为钝角,究竟钝角和直角有何联系? 解题的关键在于点动,发现 ?F1 PF2 的大小与点 P 的位置有关,究竟有何联系,成了大家探索的焦点。 设计意图:把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题,是数学常规解题 策略,这个任务不可能一蹴而就,但可以水滴石穿。 性质一:当点 P 从右至左运动时, ?F1 PF2 由锐角变成直角,又变成钝角,过了 Y 轴之后,对称地由 钝角变成直角再变成锐角,并且发现当点 P 与短轴端点重合时, ?F1 PF2 达到最大。 3.“性质一”是为什么呢?你能证明吗? 提示: “这节课我们研究的是焦点三角形,在三角形中,求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学 生思考后回答:求某个三角函数的最值。 问题 3:解三角形中我们常用的理论依据是什么? 问题 4:究竟转化为求哪种三角函数的最值,经大家演算、试验,悟出“欲求 ?F1 PF2 的最大值,只 需求 cos ?F1 PF2 的最小值” (面对 cos ?F1 PF2 =

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 如何求最小值,有的同学尝试后发现若用两次均 2 | PF1 | ? | PF2 |

值不等式,则两次不等号方向相反,达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子 变化的部分是 | PF | ? | PF2 | ,分母变化的部分是 2 | PF | ? | PF2 | ,二者的关系是 1 1
2 2

| PF |2 ? | PF2 |2 ? ?| PF | ? | PF2 |? ? 2 | PF | ? | PF2 |? 4a 2 ? 2 | PF | ? | PF2 | ,于是目标式可分 1 1 1 1
2

成两部分

2b 2 ? 1 ,最后对 | PF1 | ? | PF2 | 利用均值不等式,即可大功告成。 | PF1 | ? | PF2 |

设计意图:在课堂教学和作业中渗透两个 7:3 是我们一直致力在研究的课题,本例很好地体现了三 角及基本不等式的应用。

1

2b 2 从而求得当 | PF |?| PF2 | , 即点 P 与短轴端点重合时, ?F1 PF2 有最小值为 2 ? 1 ,?F1 PF2 有 cos 1 a
最大值。此题结果为 ? ?

? 3 5 3 5? ?。 , ) ? 5 5 ? ? ?

问题 5:由上面的分析,你能得出 cos ?F1 PF2 与离心率 e 的关系吗? 性质二:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 a2 b2

?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 . (当且仅当动点为短轴端点时取等号)
设计意图:进一步的挖掘,可以让问题简单化,应用价值就更高, “看似一小步,其实一大步” ! 题 2:已知 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上一 a2 b2

点 P 使 ?F1 PF2 ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围。 思路:由焦点三角形性质二, cos90 ? 1 ? 2e .
0 2

?

2 ≤ e <1 2
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P, 使 得 a2 b2

变式 1:已知椭圆

?F1 PF2 ? 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。
简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 ? 1 ? 2e . 即 ?
0 2

1 ? 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ? 追问:何时取等号? 变式 2:若椭圆

? 3 ? ,1?. ? ? 2 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1 、 F2 ,试问:椭圆上是否存在点 P ,使 ?F1 PF2 ? 90? ?存在, 4 3

求出点 P 的纵坐标;否则说明理由。 简解:两种做法: 方法一:设 PF ? m , PF2 ? n ,可以得到 ? 1

?m ? n ? 4
2 2 ?m ? n ? 4

,故 mn ? 6 ,所

以 P 的纵坐标的绝对值 yP ? 3 ,故 P 的纵坐标为 3 或-3.

2

方法二: cos90? ? 1 ? 2e ?
2

1 2 ≤ e < 1 ,但椭圆离心率为 ,不在范围内,故不存在。 2 2

两种解法,答案不一致,原因? 设计意图:两个练习题,层层递进,练习 2 直接为“问题引入 2”埋下伏笔,有承上启下的作用。 (三)问题引入 2(一道很普通的错题) 题 3:P 是椭圆 于_______。 多数同学:利用椭圆定义和余弦定理列出方程组,消元,求出 | PF | ? | PF2 | ,代入面积公式。 1 问大家: “既然面积可求,那么 | PF | 、PF2 | 也一定可求,请大家计算一下 | PF | 、PF2 | 的值” 。 | | 1 1 同学们利用根与系数的关系构造一个以 | PF | 、PF2 | 为根的一元二次方程,发现此方程判别式小于 0, | 1 无实根,究竟怎么回事,同学们陷入思考中。两种解法,两种结果,谁对准错,难以定夺,同学们自发地 探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考,发现题目出错,利用刚才—探索出的规律,当点 P 与短轴端点
? 重合时, ?F1 PF2 有最大值,查表求得是 57 ,因此,给定椭圆上不存在点 P,使 ?F1 PF2 ?

? x2 y2 ? ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? ,则 ?PF F2 的面积等 1 3 5 4

?
3

x2 y2 问题 1:已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),F1、F2 是两个焦点,对于给定的角 ? ?0 ? ? ? ? ? , 探求 a b
在 C 上存在点 P,使 ?F1 PF2 ? ? 的条件。 尽量让学生得到:存在点 P 的条件可相应得到: ?F1 BF2 ? ? 。(B 为椭圆短轴的一个端点) 设计意图:要学生养成仔细审题的习惯,就必须从课堂开始训练。 问题 2:怎样改动,使上面不是一个错题?

? x2 y2 ? ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? 改动一:P 是椭圆 ,则 ?PF F2 的面 1 6 5 4
积等于_______。 改动二:P 是椭圆 积等于_______。 问题 3:改动的依据是什么?( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 ,B 为短轴的一个端点) 设计意图:自己编题,体会题目如何来,要考什么。

? x2 ? y 2 ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? ,则 ?PF F2 的面 1 3 4

x2 y2 题 4:若 F1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? ? ,求椭 a b
圆的面积。 解 : 设 PF ? m , PF2 ? n , 由 余 弦 定 理 得 1
3

m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ? F1 F2
由①得: m n ?

2

? 4c 2 ①

由椭圆定义得 m ? n ? 2a ②

? S ?F PF
1

2

2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 ? 1 ? cos? 1 ? cos? 1 sin ? ? ? mn sin ? ? b 2 ? b 2 tan 2 1 ? cos ? 2

x2 y2 性质三:若 F1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? ? , a b
则 S ?F1PF2 ? b tan
2

?
2



继续看题 2:已知 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上一点 P 使 ?F1 PF2 ? 90? ,求椭 a2 b2

圆离心率 e 的取值范围。 思路二:利用焦点三角形性质⑴,从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为 B
2 2 则 S ?F1PF2 ? b tan45? ? b ≤ S ?F1BF2 ?

1 ? 2c ? b ? bc 2
1 c2 ≥ 2 2 a

? b ≤ c ? b 2 ≤ c2 ? a2 ? c2 ≤ c2 ? e2 ?



2 ≤ e <1 2

当然,若用公式去解同学们编制的题目,将是易如反掌的。 如果把图形特殊化,使 PF1⊥F1F2,我们可以得到:

2b 2 性质四:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为 。 a y 2 x2 题 5: 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) , C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1 . 过 求 a b 椭圆 C1 的方程;
这就是 09 年浙江省高考理科试题。展示评分标准。 设计意图:从高考角度出现,进一步体现实用价值。 问题:考察两个定点的位置还有哪些可能。 定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点,甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。 【课堂测试】 1.已知 F、F2 是椭圆 C : 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ? PF2 。若 a 2 b2
. 9(09 上海)

?PF1 F2 的面积为 9,则 b ?

2.已知 F 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围 1 1
4

???? ???? ? ?

是( C ) A. (0,1) B. (0, ]

(09 江西)

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

x2 2 3. 已 知 椭 圆 2 ? y ? 1(a ? 1)的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 为 椭 圆 上 一 点 , 且 ?F PF2 ? 60? , 则 1 a . | PF1 | ? | PF2 | 的值等于
4(选做)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上的一点, AF2 ? F1F2 , a 2 b2
1 OF1 .证明 a ? 2b ; 3

原点 O 到直线 AF1 的距离为

5


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